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高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.1 角与弧度评课课件ppt
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.1 角与弧度评课课件ppt，文件包含711任意角pptx、711任意角doc等2份课件配套教学资源，其中PPT共57页， 欢迎下载使用。
1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义.2.理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示.
在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、任意角的概念1.思考 (1)当钟表慢了(或快了)一点时，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确.在调整的过程中，分针转动的方向是否相同？提示 不同，当钟表慢了时，要顺时针转动分针；当钟表快了时，要逆时针转动分针.
(2)在跳水比赛中，运动员会做“转体两周”“向前翻转两周半”等动作.做上述动作时，运动员转体多少度？转过的度数还能用0°到360°的角表示吗？提示 因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同，因此运动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转720°或逆时针旋转720°，“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转900°或逆时针旋转900°.显然这些角都不在0°～360°范围内，不能用0°到360°的角表示.
这样，就把角的概念推广到了任意角，包括正角、______和零角.
温馨提醒 处理任意角问题的两个关键点(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角.(2)定大小：根据旋转角度的绝对值确定角的大小.
3.做一做 思考辨析，判断正误(1)小于180°的角是钝角、直角或锐角.( ) 提示 0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以(1)错误.(2)始边和终边重合的角是零角.( )提示 360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以(2)错误.(3)从6：00到6：15，分针转过的角度是90°.( )提示 分针是顺时针旋转，应转了－90°.
二、角的加法1.思考 观察图(1)、(2)中的角α，β，γ的度数各是多少？
提示 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.
2.填空 对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β(当β是正角时，按逆时针方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当β是零角时，不旋转)，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作________；射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为______角.角α的相反角记为______，于是α－β＝α＋__________.
3.做一做 (1)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角的度数为________.(2)将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角的度数为________.
三、象限角1.思考 (1)如果将45°，225°角的始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，则45°角的终边OA，225°角的终边OB分别落在第几象限？提示 如图，45°角的终边落在第一象限；225°角的终边落在第三象限.
(2)将角45°，225°推广到任意角α，如何来判断一个角α是第几象限角？提示 判断方法是将角的顶点与原点重合、角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，就说该角是第几象限角.
2.填空 以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是____________；如果角的终边在坐标轴上，称这个角为________.
温馨提醒 当角的终边在坐标轴上时，则该角不属于任何象限.终边落在坐标轴上的角称为轴线角，是一类较为特殊的角.
3.做一做 (1)下列说法中正确的是( )A.120°角与420°角的终边相同B.若α是锐角，则2α是第二象限角C.－240°角与480°角都是第三象限角D.60°角与－420°角的终边关于x轴对称解析 对于A，420°＝360°＋60°，所以60°角与420°角的终边相同，所以A不正确；对于B，α＝30°是锐角，而2α＝60°也是锐角，所以B不正确；对于C，480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以C不正确；对于D，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角的终边关于x轴对称，所以D正确.
(2)(教材二次开发：例题改编)已知0°≤α<360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角.
四、终边相同角的表示1.思考 在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正半轴重合”下，研究下列角：30°，390°，－330°.(1)这三个角的终边位置相同吗？提示 30°，390°，－330°在同一坐标系内如图所示，由图可知三个角的终边位置相同，它们两两之间相差360°的整数倍.
(2)如何用30°表示390°和－330°？提示 390°＝360°＋30°，－330°＝－360°＋30°.(3)对于一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？提示 不唯一.它们相差360°的整数倍.
2.填空 一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝____________________}.
k·360°＋α，k∈Z
3.做一做 (1)与45°角终边相同的角是( )A.－45° B.225°C.395° D.－315°解析 与45°角终边相同的角可以表示为45°＋k·360°，k∈Z，结合四个选项可以发现只有选项D符合题意.
(2)在0°到360°范围内，与－60°角的终边在同一条直线上的角为 ____________________.
解析 根据终边相同角的定义知，与－60°终边相同的角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时，β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内的角为120°，故填120°，300°.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一 与任意角有关的概念辨析
例1 (1)下列说法中正确的是________(填序号).①终边落在第一象限的角为锐角；②第二象限角为钝角；③小于90°的角一定为锐角；④角α与－α的终边关于x轴对称.
解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限角也不一定是钝角，故②的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故③的说法是错误的；④正确.
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
解析 两次旋转后形成的角为60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.
判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
训练1 射线OA绕端点O按逆时针方向旋转120°到达OB位置，由OB位置按顺时针方向旋转270°到达OC位置，则射线OA顺时针旋转到达OC转过的度数为( )A.150° B.－150° C.390° D.－390°
解析 逆时针旋转是正角，顺时针旋转是负角，∴∠AOC＝120°－270°＝－150°，故选B.
例2 在与10 030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)在360°到720°内的角.解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，(1)由－360°
训练2 写出终边落在x轴上的角的集合S.解 S＝{α|α＝k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋180°，k2∈Z}＝{α|α＝2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
题型三 象限角和区间(域)角
例3 (1)－2 021°是第________象限角.
(2)已知，如图所示.
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解 ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}.②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.
迁移1 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解 在0°到360°范围内终边落在阴影部分(包括边界)的角的范围是：150°≤α≤225°，则满足条件的角的集合为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}.
迁移2 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解 由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k1·360°＋60°≤β≤k1·360°＋105°，k1∈Z}∪{β|k2·360°＋240°≤β≤k2·360°＋285°，k2∈Z}＝{β|2k1·180°＋60°≤β≤2k1·180°＋105°，k1∈Z}∪{β|(2k2＋1)·180°＋60°≤β≤(2k2＋1)·180°＋105°，k2∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.
表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
(2)已知α是锐角，那么2α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一或第二象限角
解析 ∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角.
1.掌握3个知识点(1)任意角的概念.(2)终边相同的角与象限角.(3)区域角的表示.2.掌握1种方法——数形结合3.注意2个易错点(1)锐角与小于90°角的区别.(2)终边相同的角表示中漏掉k∈Z.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.(多选)下列说法中正确的是( )A.锐角都是第一象限角B.第二象限角大于第一象限角C.若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合D.若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)解析 A正确，因为锐角是大于0°且小于90°的角，故正确；B错误，α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限角，但α<β；C错误，α＝360°，β＝720°，则α≠β，但二者终边重合；D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z).
2.给出下列命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析 ∵－90°<－75°<0°，∴－75°是第四象限角，①正确；∵180°<225°<270°，∴225°是第三象限角，②正确；∵360°＋90°<475°<360°＋180°，∴475°是第二象限角，③正确；∵－360°<－315°<－270°，∴－315°是第一象限角，④正确.故这4个命题都是正确的.
3.与－468°角的终边相同的角的集合是( )A.{α|α＝k·360°＋456°，k∈Z}B.{α|α＝k·360°＋252°，k∈Z}C.{α|α＝k·360°＋96°，k∈Z}D.{α|α＝k·360°－252°，k∈Z}解析 因为－468°＝－2×360°＋252°，所以252°角与－468°角的终边相同，所以与－468°角的终边相同的角为k·360°＋252°，k∈Z，故选B.
4.已知角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )A.α＋β＝k·360°，k∈ZB.α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC.α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD.α－β＝k·360°，k∈Z解析 法一 (特值法)令α＝30°，β＝150°，则角α与角β的终边关于y轴对称，且α＋β＝180°.法二 (直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角
解析 法一 如图所示，
法二 ∵180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，
6.1 112°角是第________象限角.
解析 ∵1 112°＝360°×3＋32°，∴1 112°与32°的终边相同，均为第一象限角.
7.终边在坐标轴上的角的集合为______________________.
{α|α＝k·90°，k∈Z}
20°，140°，260°
解析 由题意设θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，
9.已知角θ的7倍角的终边与角θ的终边重合，且0°<θ<360°，求满足条件的角θ的集合.
解 由题意知，7θ＝θ＋k·360°，k∈Z，即6θ＝k·360°，k∈Z，∴θ＝k·60°，k∈Z.由0°<θ<360°，得0°
解 由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°.∴取k＝5，β＝210°，α＝5×360°＋210°.又β＝210°是第三象限角，∴α为第三象限角.
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
解 与2 010°终边相同的角为k·360°＋2 010°(k∈Z).令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，
所以k＝－6，－5，－4.将k的值代入k·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.
11.已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角.
A.M＝N B.M⊆NC.N⊆M D.M∩N＝M2
13.在集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中， (1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个在－360°到360°范围内的角？(3)写出其中的第三象限角.
又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3.所以在－360°到360°范围内的角共有8个.(3)其中的第三象限角为k·360°＋225°，k∈Z.
14.在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转的动作让我们叹为观止.运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险.
(1)他们顺时针旋转两圈半转过的角度是________.(2)若是逆时针旋转一圈半，则转过的角度是________.
解析 (1)顺时针旋转两圈半，转过的角度为－(2×360°＋180°)＝－900°.(2)逆时针旋转一圈半，转过的角度为360°×1＋180°＝540°.
1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义.2.理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示.
在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、任意角的概念1.思考 (1)当钟表慢了(或快了)一点时，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确.在调整的过程中，分针转动的方向是否相同？提示 不同，当钟表慢了时，要顺时针转动分针；当钟表快了时，要逆时针转动分针.
(2)在跳水比赛中，运动员会做“转体两周”“向前翻转两周半”等动作.做上述动作时，运动员转体多少度？转过的度数还能用0°到360°的角表示吗？提示 因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同，因此运动员“转体两周”的度数可以是顺时针旋转720°或逆时针旋转720°，“向前翻转两周半”可以是顺时针旋转900°或逆时针旋转900°.显然这些角都不在0°～360°范围内，不能用0°到360°的角表示.
这样，就把角的概念推广到了任意角，包括正角、______和零角.
温馨提醒 处理任意角问题的两个关键点(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角.(2)定大小：根据旋转角度的绝对值确定角的大小.
3.做一做 思考辨析，判断正误(1)小于180°的角是钝角、直角或锐角.( ) 提示 0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以(1)错误.(2)始边和终边重合的角是零角.( )提示 360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以(2)错误.(3)从6：00到6：15，分针转过的角度是90°.( )提示 分针是顺时针旋转，应转了－90°.
二、角的加法1.思考 观察图(1)、(2)中的角α，β，γ的度数各是多少？
提示 题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.
2.填空 对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β(当β是正角时，按逆时针方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当β是零角时，不旋转)，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作________；射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为______角.角α的相反角记为______，于是α－β＝α＋__________.
3.做一做 (1)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角的度数为________.(2)将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角的度数为________.
三、象限角1.思考 (1)如果将45°，225°角的始边与x轴非负半轴重合，顶点与原点重合，则45°角的终边OA，225°角的终边OB分别落在第几象限？提示 如图，45°角的终边落在第一象限；225°角的终边落在第三象限.
(2)将角45°，225°推广到任意角α，如何来判断一个角α是第几象限角？提示 判断方法是将角的顶点与原点重合、角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，就说该角是第几象限角.
2.填空 以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是____________；如果角的终边在坐标轴上，称这个角为________.
温馨提醒 当角的终边在坐标轴上时，则该角不属于任何象限.终边落在坐标轴上的角称为轴线角，是一类较为特殊的角.
3.做一做 (1)下列说法中正确的是( )A.120°角与420°角的终边相同B.若α是锐角，则2α是第二象限角C.－240°角与480°角都是第三象限角D.60°角与－420°角的终边关于x轴对称解析 对于A，420°＝360°＋60°，所以60°角与420°角的终边相同，所以A不正确；对于B，α＝30°是锐角，而2α＝60°也是锐角，所以B不正确；对于C，480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以C不正确；对于D，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角的终边关于x轴对称，所以D正确.
(2)(教材二次开发：例题改编)已知0°≤α<360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角.
四、终边相同角的表示1.思考 在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正半轴重合”下，研究下列角：30°，390°，－330°.(1)这三个角的终边位置相同吗？提示 30°，390°，－330°在同一坐标系内如图所示，由图可知三个角的终边位置相同，它们两两之间相差360°的整数倍.
(2)如何用30°表示390°和－330°？提示 390°＝360°＋30°，－330°＝－360°＋30°.(3)对于一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？提示 不唯一.它们相差360°的整数倍.
2.填空 一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝____________________}.
k·360°＋α，k∈Z
3.做一做 (1)与45°角终边相同的角是( )A.－45° B.225°C.395° D.－315°解析 与45°角终边相同的角可以表示为45°＋k·360°，k∈Z，结合四个选项可以发现只有选项D符合题意.
(2)在0°到360°范围内，与－60°角的终边在同一条直线上的角为 ____________________.
解析 根据终边相同角的定义知，与－60°终边相同的角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时，β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内的角为120°，故填120°，300°.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一 与任意角有关的概念辨析
例1 (1)下列说法中正确的是________(填序号).①终边落在第一象限的角为锐角；②第二象限角为钝角；③小于90°的角一定为锐角；④角α与－α的终边关于x轴对称.
解析 终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限角也不一定是钝角，故②的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故③的说法是错误的；④正确.
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
解析 两次旋转后形成的角为60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.
判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
训练1 射线OA绕端点O按逆时针方向旋转120°到达OB位置，由OB位置按顺时针方向旋转270°到达OC位置，则射线OA顺时针旋转到达OC转过的度数为( )A.150° B.－150° C.390° D.－390°
解析 逆时针旋转是正角，顺时针旋转是负角，∴∠AOC＝120°－270°＝－150°，故选B.
例2 在与10 030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)在360°到720°内的角.解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，(1)由－360°
训练2 写出终边落在x轴上的角的集合S.解 S＝{α|α＝k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋180°，k2∈Z}＝{α|α＝2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
题型三 象限角和区间(域)角
例3 (1)－2 021°是第________象限角.
(2)已知，如图所示.
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解 ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}.②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.
迁移1 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解 在0°到360°范围内终边落在阴影部分(包括边界)的角的范围是：150°≤α≤225°，则满足条件的角的集合为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}.
迁移2 若将例3(2)题改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？
解 由题干图可知满足题意的角的集合为{β|k1·360°＋60°≤β≤k1·360°＋105°，k1∈Z}∪{β|k2·360°＋240°≤β≤k2·360°＋285°，k2∈Z}＝{β|2k1·180°＋60°≤β≤2k1·180°＋105°，k1∈Z}∪{β|(2k2＋1)·180°＋60°≤β≤(2k2＋1)·180°＋105°，k2∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，即所求的集合为{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.
表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
(2)已知α是锐角，那么2α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.小于180°的正角D.第一或第二象限角
解析 ∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角.
1.掌握3个知识点(1)任意角的概念.(2)终边相同的角与象限角.(3)区域角的表示.2.掌握1种方法——数形结合3.注意2个易错点(1)锐角与小于90°角的区别.(2)终边相同的角表示中漏掉k∈Z.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.(多选)下列说法中正确的是( )A.锐角都是第一象限角B.第二象限角大于第一象限角C.若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合D.若角α与角β的终边在一条直线上，则α－β＝k·180°(k∈Z)解析 A正确，因为锐角是大于0°且小于90°的角，故正确；B错误，α＝135°是第二象限角，β＝360°＋45°是第一象限角，但α<β；C错误，α＝360°，β＝720°，则α≠β，但二者终边重合；D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故α－β＝k·180°(k∈Z).
2.给出下列命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析 ∵－90°<－75°<0°，∴－75°是第四象限角，①正确；∵180°<225°<270°，∴225°是第三象限角，②正确；∵360°＋90°<475°<360°＋180°，∴475°是第二象限角，③正确；∵－360°<－315°<－270°，∴－315°是第一象限角，④正确.故这4个命题都是正确的.
3.与－468°角的终边相同的角的集合是( )A.{α|α＝k·360°＋456°，k∈Z}B.{α|α＝k·360°＋252°，k∈Z}C.{α|α＝k·360°＋96°，k∈Z}D.{α|α＝k·360°－252°，k∈Z}解析 因为－468°＝－2×360°＋252°，所以252°角与－468°角的终边相同，所以与－468°角的终边相同的角为k·360°＋252°，k∈Z，故选B.
4.已知角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )A.α＋β＝k·360°，k∈ZB.α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC.α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD.α－β＝k·360°，k∈Z解析 法一 (特值法)令α＝30°，β＝150°，则角α与角β的终边关于y轴对称，且α＋β＝180°.法二 (直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角
解析 法一 如图所示，
法二 ∵180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，
6.1 112°角是第________象限角.
解析 ∵1 112°＝360°×3＋32°，∴1 112°与32°的终边相同，均为第一象限角.
7.终边在坐标轴上的角的集合为______________________.
{α|α＝k·90°，k∈Z}
20°，140°，260°
解析 由题意设θ＝60°＋k·360°(k∈Z)，
9.已知角θ的7倍角的终边与角θ的终边重合，且0°<θ<360°，求满足条件的角θ的集合.
解 由题意知，7θ＝θ＋k·360°，k∈Z，即6θ＝k·360°，k∈Z，∴θ＝k·60°，k∈Z.由0°<θ<360°，得0°
解 由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°.∴取k＝5，β＝210°，α＝5×360°＋210°.又β＝210°是第三象限角，∴α为第三象限角.
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.
解 与2 010°终边相同的角为k·360°＋2 010°(k∈Z).令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)，
所以k＝－6，－5，－4.将k的值代入k·360°＋2 010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.
11.已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第________象限角.
A.M＝N B.M⊆NC.N⊆M D.M∩N＝M2
13.在集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中， (1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个在－360°到360°范围内的角？(3)写出其中的第三象限角.
又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3.所以在－360°到360°范围内的角共有8个.(3)其中的第三象限角为k·360°＋225°，k∈Z.
14.在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转的动作让我们叹为观止.运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险.
(1)他们顺时针旋转两圈半转过的角度是________.(2)若是逆时针旋转一圈半，则转过的角度是________.
解析 (1)顺时针旋转两圈半，转过的角度为－(2×360°＋180°)＝－900°.(2)逆时针旋转一圈半，转过的角度为360°×1＋180°＝540°.
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