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新教材人教B版步步高学习笔记【同步课件】模块综合试卷(二)
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这是一份新教材人教B版步步高学习笔记【同步课件】模块综合试卷(二)，共60页。
模块综合试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.直线3x－ ＋1＝0的倾斜角是A.30° B.60° C.120° D.135°12345678910111213141516171819202122√1234567891011121314152.“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”是“a＝－1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件16171819202122√123456789101112131415若“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”，可得(a－3)a＝a＋5，即a＝－1或a＝5(此时两直线重合，故舍去)，即a＝－1成立；若a＝－1，则两条直线分别为x－y＋1＝0，x－y＋4＝0，故两直线平行成立.综上可得，“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”是“a＝－1”的充要条件.1617181920212212345678910111213141516171819202122√123456789101112131415圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0化为标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)，半径为3.圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，半径为2.1617181920212212345678910111213141516171819202122√1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122√123456789101112131415如图，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B1(0,0,2)，B(0,0,0)，C1(0,1,2)，16171819202122设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则12345678910111213141516171819202122√1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122√12345678910111213141516171819202122设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线AB⊥x轴，则线段AB的中点在x轴上，不合题意.123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122√∵|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，12345678910111213141516171819202122二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)12345678910111213141516171819202122√√12345678910111213141516171819202122∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122√√12345678910111213141516171819202122若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，12345678910111213141516171819202122则k无解，故D正确.1234567891011121314151617181920212211.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k可以取的值是A.1 B.2 C.3 D.4√√123456789101112131415x2＋y2－4x＝0，所以(x－2)2＋y2＝4，过P所作的圆的两条切线相互垂直，16171819202122即(x－2)2＋y2＝8，P在直线y＝k(x＋1)上，12345678910111213141516171819202122√√由题设可知，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0，1)，12345678910111213141516171819202122所以∠APC为锐角等价于cos∠APC>0，即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)>0，12345678910111213141516171819202122123456789101112131415三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知直线y＝2x＋2，那么该直线的单位方向向量d＝____________.16171819202122取直线的方向向量a＝±(1,2).12345678910111213141514.直线mx＋y－2＝0(m∈R)与圆C：x2＋y2－2y－1＝0相交于A，B两点，弦长|AB|的最小值为_____，若△ABC的面积为 ，则m的值为______.161718192021222±112345678910111213141516171819202122直线mx＋y－2＝0(m∈R)恒过圆C：x2＋(y－1)2＝2内的定点M(0,2)，r＝ ，圆心C到直线的距离d≤|CM|＝1，∴|AB|＝ ≥2，即弦长|AB|的最小值为2.12345678910111213141516171819202122设弦AB的中点为N，又|CM|＝1，则m的值为±1.1234567891011121314151617181920212215.在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角的大小是______.30°12345678910111213141516171819202122如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝OS＝OA＝OB＝OC＝a，设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，12345678910111213141516171819202122∴直线BC与平面PAC所成的角为30°.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122由b≤c得，b2≤c2，即a2－c2≤c2，四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知直线l的方程为2x＋my－4m－4＝0，m∈R，点P的坐标为(－1,0).(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；12345678910111213141516171819202122将直线方程化为(2x－4)＋m(y－4)＝0，(2)设点Q为直线l上的动点，且PQ⊥l，求|PQ|的最大值，及取到最大值时m的值.12345678910111213141516171819202122设直线l过定点M(2,4)，12345678910111213141516171819202122当且仅当点Q为定点(2,4)时，|PQ|取得最大值为5，1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122设圆心为C(a，b)(a>0，b>0)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.12345678910111213141516171819202122(2)过点P(1－ ，3)作圆的切线，求切线方程.12345678910111213141516171819202122当切线的斜率存在时，1234567891011121314151617181920212219.(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AC＝ AB，AB＝BC＝2，D为BB1的中点.(1)证明：平面ADC1⊥平面ACC1A1；12345678910111213141516171819202122∴AB2＋BC2＝AC2，由勾股定理知，AB⊥BC，如图所示建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，又D是BB1的中点，12345678910111213141516171819202122∴DE⊥AC1，DE⊥CC1，AC1∩CC1＝C1.∴DE⊥平面ACC1A1，DE⊂平面ADC1，∴平面ADC1⊥平面ACC1A1.12345678910111213141516171819202122(2)求平面ADC1与平面ABC所成角的大小.12345678910111213141516171819202122设平面ADC1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，显然平面ABC的一个法向量为n2＝(0,0,1)，设平面ADC1与平面ABC所成角的大小为θ，1234567891011121314151617181920212220.(12分)如图，四棱锥P－ABCD的一个侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，AD＝2，BD＝ ，∠BAD＝ .(1)求证：BD⊥PD；1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴BD⊥PD.(2)求直线PD与平面PBC所成角的余弦值.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122如图，作PO⊥AD于点O，则PO⊥平面ABCD，过点O作OE⊥BC交CB的延长线于点E，连接PE，以O为坐标原点，分别以OA，OE，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示.设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z).12345678910111213141516171819202122令y＝1，则z＝2，x＝0.所以n＝(0,1,2)，设直线PD与平面PBC所成角为θ，21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x被抛物线C：y2＝2px(p>0)截得的弦长为 ，直线l与抛物线C相交于M，N两点，点A(1,2)，且直线AM，AN的斜率之和为4.(1)求抛物线C的方程；12345678910111213141516171819202122所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)求证：直线l过定点，并求出定点坐标.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122设直线l的方程为x＝my＋b，M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4b，因为点A(1,2)，且直线AM，AN的斜率之和为4，12345678910111213141516171819202122化简得y1＋y2＋y1y2＝0，所以4m－4b＝0，即b＝m，所以直线l的方程为x＝m(y＋1)，所以直线l过定点，定点坐标为(0，－1).1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122又b2＝a2－c2，12345678910111213141516171819202122(2)设直线l过点F，且与坐标轴不垂直，与椭圆C相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B.12345678910111213141516171819202122因为直线l过点F(1,0)，且与坐标轴不垂直，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，设线段PQ的中点为M，12345678910111213141516171819202122所以线段PQ的垂直平分线方程为解得k＝±1，所以直线l的方程为x±y－1＝0.12345678910111213141516171819202122
模块综合试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.直线3x－ ＋1＝0的倾斜角是A.30° B.60° C.120° D.135°12345678910111213141516171819202122√1234567891011121314152.“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”是“a＝－1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件16171819202122√123456789101112131415若“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”，可得(a－3)a＝a＋5，即a＝－1或a＝5(此时两直线重合，故舍去)，即a＝－1成立；若a＝－1，则两条直线分别为x－y＋1＝0，x－y＋4＝0，故两直线平行成立.综上可得，“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”是“a＝－1”的充要条件.1617181920212212345678910111213141516171819202122√123456789101112131415圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0化为标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)，半径为3.圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，半径为2.1617181920212212345678910111213141516171819202122√1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122√123456789101112131415如图，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B1(0,0,2)，B(0,0,0)，C1(0,1,2)，16171819202122设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，则12345678910111213141516171819202122√1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122√12345678910111213141516171819202122设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线AB⊥x轴，则线段AB的中点在x轴上，不合题意.123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122√∵|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，12345678910111213141516171819202122二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)12345678910111213141516171819202122√√12345678910111213141516171819202122∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122√√12345678910111213141516171819202122若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，12345678910111213141516171819202122则k无解，故D正确.1234567891011121314151617181920212211.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k可以取的值是A.1 B.2 C.3 D.4√√123456789101112131415x2＋y2－4x＝0，所以(x－2)2＋y2＝4，过P所作的圆的两条切线相互垂直，16171819202122即(x－2)2＋y2＝8，P在直线y＝k(x＋1)上，12345678910111213141516171819202122√√由题设可知，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0，1)，12345678910111213141516171819202122所以∠APC为锐角等价于cos∠APC>0，即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)>0，12345678910111213141516171819202122123456789101112131415三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知直线y＝2x＋2，那么该直线的单位方向向量d＝____________.16171819202122取直线的方向向量a＝±(1,2).12345678910111213141514.直线mx＋y－2＝0(m∈R)与圆C：x2＋y2－2y－1＝0相交于A，B两点，弦长|AB|的最小值为_____，若△ABC的面积为 ，则m的值为______.161718192021222±112345678910111213141516171819202122直线mx＋y－2＝0(m∈R)恒过圆C：x2＋(y－1)2＝2内的定点M(0,2)，r＝ ，圆心C到直线的距离d≤|CM|＝1，∴|AB|＝ ≥2，即弦长|AB|的最小值为2.12345678910111213141516171819202122设弦AB的中点为N，又|CM|＝1，则m的值为±1.1234567891011121314151617181920212215.在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角的大小是______.30°12345678910111213141516171819202122如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝OS＝OA＝OB＝OC＝a，设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，12345678910111213141516171819202122∴直线BC与平面PAC所成的角为30°.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122由b≤c得，b2≤c2，即a2－c2≤c2，四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知直线l的方程为2x＋my－4m－4＝0，m∈R，点P的坐标为(－1,0).(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；12345678910111213141516171819202122将直线方程化为(2x－4)＋m(y－4)＝0，(2)设点Q为直线l上的动点，且PQ⊥l，求|PQ|的最大值，及取到最大值时m的值.12345678910111213141516171819202122设直线l过定点M(2,4)，12345678910111213141516171819202122当且仅当点Q为定点(2,4)时，|PQ|取得最大值为5，1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122设圆心为C(a，b)(a>0，b>0)，半径为r，则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.12345678910111213141516171819202122(2)过点P(1－ ，3)作圆的切线，求切线方程.12345678910111213141516171819202122当切线的斜率存在时，1234567891011121314151617181920212219.(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AC＝ AB，AB＝BC＝2，D为BB1的中点.(1)证明：平面ADC1⊥平面ACC1A1；12345678910111213141516171819202122∴AB2＋BC2＝AC2，由勾股定理知，AB⊥BC，如图所示建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，又D是BB1的中点，12345678910111213141516171819202122∴DE⊥AC1，DE⊥CC1，AC1∩CC1＝C1.∴DE⊥平面ACC1A1，DE⊂平面ADC1，∴平面ADC1⊥平面ACC1A1.12345678910111213141516171819202122(2)求平面ADC1与平面ABC所成角的大小.12345678910111213141516171819202122设平面ADC1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，显然平面ABC的一个法向量为n2＝(0,0,1)，设平面ADC1与平面ABC所成角的大小为θ，1234567891011121314151617181920212220.(12分)如图，四棱锥P－ABCD的一个侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，AD＝2，BD＝ ，∠BAD＝ .(1)求证：BD⊥PD；1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴BD⊥PD.(2)求直线PD与平面PBC所成角的余弦值.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122如图，作PO⊥AD于点O，则PO⊥平面ABCD，过点O作OE⊥BC交CB的延长线于点E，连接PE，以O为坐标原点，分别以OA，OE，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示.设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z).12345678910111213141516171819202122令y＝1，则z＝2，x＝0.所以n＝(0,1,2)，设直线PD与平面PBC所成角为θ，21.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x被抛物线C：y2＝2px(p>0)截得的弦长为 ，直线l与抛物线C相交于M，N两点，点A(1,2)，且直线AM，AN的斜率之和为4.(1)求抛物线C的方程；12345678910111213141516171819202122所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)求证：直线l过定点，并求出定点坐标.1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122设直线l的方程为x＝my＋b，M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4b，因为点A(1,2)，且直线AM，AN的斜率之和为4，12345678910111213141516171819202122化简得y1＋y2＋y1y2＝0，所以4m－4b＝0，即b＝m，所以直线l的方程为x＝m(y＋1)，所以直线l过定点，定点坐标为(0，－1).1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122又b2＝a2－c2，12345678910111213141516171819202122(2)设直线l过点F，且与坐标轴不垂直，与椭圆C相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点B.12345678910111213141516171819202122因为直线l过点F(1,0)，且与坐标轴不垂直，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，设线段PQ的中点为M，12345678910111213141516171819202122所以线段PQ的垂直平分线方程为解得k＝±1，所以直线l的方程为x±y－1＝0.12345678910111213141516171819202122
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