【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件限时小练6　异面直线所成的角

限时小练6　异面直线所成的角

1.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为(　　)

A.60°   B.75° 

C.105°   D.90°

答案　D

解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，

则A(0，0，1)，B1，C1(0，，0)，B.

∴＝，＝，

∴·＝－－1＝0，

即AB1与C1B所成角的大小为90°.

2.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为(　　)

A.   B.－

C.－   D.

答案　A

解析　不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Sxyz，

则相关各点坐标为A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，S(0，0，0)，M，N.

因为＝，＝，

所以||＝，||＝，·＝－，

cos〈，〉＝＝－，

因为异面直线所成的角为锐角或直角，

所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.

3.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？

解　以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

由题意知A(0，0，0)，C(0，2，0)，

B(，1，0)，B1(，1，2)，M.

又点N在CC1上，

可设N(0，2，m)(0≤m≤2)，

则＝(，1，2)，＝，

所以||＝2，||＝，

·＝2m－1.

如果异面直线AB1和MN所夹的角为45°，那么向量和的夹角为45°或135°.

又cos〈，〉＝＝.

所以＝±，解得m＝－，与0≤m≤2矛盾.

所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°.