【最新版】高中数学（新北师大版）习题+同步课件进阶训练5(范围：第二章§3～§4)

进阶训练5(范围：第二章§3～§4)

一、基础达标

1.抛物线x＝y2的焦点坐标为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　由x＝y2得：y2＝x，∴焦点坐标为.故选C.

2.已知抛物线x2＝ay的焦点为F，且M(2，1)为抛物线上的点，则|MF|＝(　　)

A.1   B.2 

C.3   D.4

答案　B

解析　因为点M(2，1)在抛物线上，所以4＝a，即抛物线的方程为x2＝4y，其准线方程为：y＝－1，由抛物线的定义可知|MF|＝1＋1＝2.故选B.

3.下列直线中与双曲线C：－＝1有两个不同交点的是(　　)

A.y＝x   B.x－y＋＝0

C.y＝x   D.y＝x－3

答案　D

解析　因为双曲线C：－＝1的渐近线方程为x±y＝0，因为直线x－y＋＝0，y＝x与渐近线平行，故与双曲线只有一个交点；联立得－＝1，无解，故与双曲线无交点；联立得x2－12x＋26＝0，Δ＝(－12)2－4×26＞0，故与双曲线有2个交点，故选D.

4.椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线y＝1－x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　联立椭圆方程与直线方程，得ax2＋b(1－x)2＝1，(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝，y1＋y2＝1－x1＋1－x2＝2－＝，

AB中点坐标：，AB中点与原点连线的斜率k＝＝＝.故选A.

5.(多选)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则(　　)

A.椭圆焦距为 B.椭圆方程为＋y2＝1

C.弦长|AB|＝ D.S△OAB＝

答案　BC

解析　因为△AF1B的周长为8，所以4a＝8，得a＝2，因为y＝x－过右焦点F2，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以椭圆焦距为2，故A错误；椭圆方程为＋y2＝1，故B正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x2－8x＋8＝0，解得x1＋x2＝，x1x2＝，

|AB|＝

＝＝，故C正确；原点到直线y＝x－的距离为d＝＝，所以S△OAB＝d|AB|＝××＝，故D错误. 故选BC.

6.已知直线l：x－y＋1＝0与椭圆C：＋y2＝1交于A，B两点，则|AB|＝________.

答案　

解析　由解得，或，

不妨设A(0，1)，B，所以|AB|＝＝.

7.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A为抛物线C上横坐标为3的点，过点A的直线交x轴的正半轴于点B，且△ABF为正三角形，则p＝________.

答案　2

解析　由题意可知，当B在焦点F的右侧时，|AF|＝3＋，|FD|＝3－，又|FD|＝，所以＝3－，解得p＝2；当B在焦点F的左侧时，同理可得p＝18，此时点B在x轴的负半轴，不合题意.

8.已知双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则双曲线C的实轴长为________；△PFO的面积为________.

答案　4　3

解析　因为双曲线C：－＝1，所以实轴长为4；由题意可知右焦点为F，

又|PO|＝|PF|，所以点P在线段OF的中垂线上，所以点P的横坐标为，又双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x，所以点P的纵坐标为±，即△PFO的高为，所以△PFO的面积为×|OF|×＝3.

9.在①|PF|＝x0＋1，②y0＝2x0＝2，③PF⊥x轴时，|PF|＝2这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

问题：已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(x0，y0)在抛物线C上，且________.

(1)求抛物线C的标准方程.

(2)若直线l：x－y－2＝0与抛物线C交于A，B两点，求△ABF的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解　(1)选择条件①.

由抛物线的定义可得|PF|＝x0＋.因为|PF|＝x0＋1，所以x0＋＝x0＋1，解得p＝2.

故抛物线C的标准方程为y2＝4x.

选择条件②.

因为y0＝2x0＝2，所以y0＝2，x0＝1，因为点P(x0，y0)在抛物线C上，

所以y＝2px0，即2p＝4，解得p＝2, 所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.

选择条件③.

当PF⊥x轴时，|PF|＝＋＝2，所以p＝2. 故抛物线C的标准方程为y2＝4x.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)可知F(1，0).由得y2－4y－8＝0，

则y1＋y2＝4，y1y2＝－8，所以|y1－y2|＝＝＝4，

故|AB|＝|y1－y2| ＝×4＝4.因为点F到直线l的距离d＝＝，所以△ABF的面积为|AB|·d＝×4×＝2.

10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的焦点为(0，－)、(0，)，实轴长为2.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点Q(1，1)的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段MN的中点，求直线l的方程及弦|MN|的长.

解　(1)根据题意，焦点在y轴上，且c＝，a＝，所以b＝1，

双曲线的标准方程为C：－x2＝1.

(2)过点Q(1，1)的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段MN的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，则由双曲线对称性可知线段MN的中点在x轴上，所以不满足题意；

当斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－1)＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则化简可得

(k2－2)x2－(2k2－2k)x＋k2－2k－1＝0，

因为有两个交点，所以Δ＝(2k2－2k)2－4(k2－2)(k2－2k－1)＞0，化简可得2k2－2k－1＞0恒成立，

∴因为Q(1，1)恰好为线段MN的中点，则＝2，化简可得k＝2，所以直线方程为y＝2×(x－1)＋1，即2x－y－1＝0.

此时∴|MN|＝·＝·＝.

二、能力提升

11.已知直线l过抛物线C：y2＝x的焦点，并交抛物线C于A，B两点，|AB|＝2，则弦AB中点G的横坐标是(　　)

A.   B.

C.   D.1

答案　C

解析　如图，由题意可得抛物线的准线m的方程为x＝－，过点G作抛物线准线m的垂线GD⊥m于D，过A，B分别作AA′⊥m于点A′，BB′⊥m于点B′，则|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝2，因为弦AB的中点为G，所以|GD|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|＝1，所以点G的横坐标是1－＝，故选C.

12.(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则下列结论正确的有(　　)

A.若抛物线C上一点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标为3

B.过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为4

C.过点(0，2)与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条

D.过点(2，0)的直线l与抛物线C交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－8

答案　ABD

解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，p＝2，设抛物线上点M(x，y)，|MF|＝x＋1＝4，x＝3，A正确；

过抛物线焦点F的弦中弦长最短的为通径，长2p＝4(此时弦与x轴垂直)，B正确；

点(0，2)在抛物线外面(与焦点分列在抛物线的两侧)，过(0，2)的抛物线的切线有两条，另外过(0，2)与抛物线对称轴(x轴)平行的直线与抛物线也只有一个公共点，因此有3条直线，C错；

设过(2，0)的直线方程为x＝my＋2(斜率不可能为0)，代入抛物线方程得y2－4my－8＝0，则y1y2＝－8，D正确.故选ABD.

13.设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上一点M满足|MF1|＋|MF2|＝4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过F1的直线交C于A，B两点，求△ABF2面积的最大值.

解　(1)因M在椭圆上且|MF1|＋|MF2|＝4，结合椭圆定义知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，故a＝2，由离心率e＝＝，

故c＝1，b＝，椭圆方程为＋＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的直线方程为x＝my－1，

联立椭圆方程与直线方程，消去x得

(3m2＋4)y2－6my－9＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝，则△ABF2的面积为：

S△ABF2＝|F1F2|×|y1－y2|＝×2×＝

＝，令t＝m2＋1，t≥1，

则上式＝＝＝，函数y＝9t＋6＋在t≥1时，单调递增，则上式在t＝1，即m＝0时取得最大值，且最大值为＝3.

三、创新拓展

14.(多选)如图，O是坐标原点，P是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且|QF|＝2|FR|，则(　　)

A.E的离心率为 B.E的离心率为

C.S△PQR＝6S△POF D.S△RQF＝3S△POF

答案　AC

解析　如图，取E的左焦点F′，连接PF′，QF′，RF′，

由对称性可知，

|PF′|＝|QF|，PF′∥QF，设|FR|＝m，则|FQ|＝|F′P|＝2m，|PF|＝2m－2a，

|RF′|＝m＋2a，|PR|＝3m－2a.

在Rt△F′PR中，(2m)2＋(3m－2a)2＝(m＋2a)2，解得m＝(m＝0舍去)，所以|PF′|＝，|PF|＝.在Rt△F′PF中，＋＝4c2，整理得＝，故E的离心率为，A正确，B不正确.因为|PF|＝，|FR|＝，O是PQ的中点，

所以S△PQR＝3S△PFQ＝6S△POF，S△RQF＝2S△PFQ＝4S△POF，C正确，D不正确.故选AC.