【最新版】高中数学（新北师大版）习题+同步课件章末检测卷（三）

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章末检测卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
第三章 空间向量与立体几何
B
A
3.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4
A
解析　若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R，即(1，3，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)，
C
解析　因为a＝(1，n，2)，b＝(－2，1，2)，所以2a－b＝(4，2n－1，2).因为2a－b与b垂直，所以(2a－b)·b＝0，所以－8＋2n－1＋4＝0，
B
D
解析　如图所示，建立空间直角坐标系B－xyz.
C
8.在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BB1，AD，AA1的中点，则下列说法正确的是(　　) A.D1F⊥B1C B.FG∥D1E C.FG⊥平面AD1E D.BF∥平面AD1E
D
设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)，
取x＝2，则z＝2，y＝－1，n＝(2，－1，2).
ABC
ABD
ACD
解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝2，|AD|＝3，|AA1|＝1.对于A，∵B(3，2，0)，D1(0，0，1)，
设异面直线A1D与BD1所成角为α，则异面直线A1D与BD1所成角的余弦值为：
对于D，平面A1C1D的一个法向量为n＝(－2，－3，6)，平面A1D1D的一个法向量为m＝(0，1，0)，∴由图知二面角C1－A1D－D1的平面角的为锐角，故余弦值为：
故D正确.故选ACD.
ABD
如图所示，以BD中点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知点A(－1，1，－1)，平面α经过原点O，且垂直于向量n＝(1，－1，1)，则点A到平面α的距离为________.
n＝(1，－1，1)，
①③
16.如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，|PD|＝2，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为60°时，线段PM的长度是________.
解析　以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DP为z轴.建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
∵E是棱PB的中点，∴点E的坐标为(1，1，1).设M(0，2－m，m)，
又|a|＝|b|＝2，|c|＝3，a·b＝0，a·c＝2×3·cos 60°＝3，b·c＝2×3·cos 60°＝3，
解　设a＝(x，y，z)，
∴x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1.∴a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1).
∴AD1⊥AB，AD1⊥AD，∵AB，AD⊂平面ABCD，AD∩AB＝A，∴AD1⊥平面ABCD；
20.(12分)如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为BC和AC的中点，|PA|＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点. (1)求证：AE∥平面PFQ；
证明　如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
∵|AP|＝2，|AB|＝|BC|＝|AC|＝4，又E，F分别是BC，AC的中点，
∴AE∥FQ.又FQ⊂平面PFQ，AE⊄平面PFQ，∴AE∥平面PFQ.
(2)求AE与平面PFQ间的距离.
解　由(1)知，AE∥平面PFQ，∴点A到平面PFQ的距离就是直线AE与平面PFQ间的距离.设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
21.(12分)在①平面PAB⊥平面ABCD，②AP⊥CD，③BC⊥平面PAB这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是梯形，点E在BC上，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥AP，|BC|＝2|AB|＝2|AD|＝2|AP|＝4|BE|＝4，且____.
(1)求证：平面PDE⊥平面PAC；(2)求直线PE与平面PAC所成角的正弦值.解　　选条件①.
(1)证明　∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AP⊂平面PAB，AP⊥AB，∴AP⊥平面ABCD.又AB⊥AD，
∴AB，AD，AP两两垂直.以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(2，4，0)，D(0，2，0)，E(2，1，0)，P(0，0，2)，
∴AC⊥DE，AP⊥DE.又AP∩AC＝A，∴DE⊥平面PAC.又DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC.
设直线PE与平面PAC所成角为θ，
选条件②.(1)证明 ∵底面ABCD为梯形，AD∥BC，∴两腰AB，CD必相交.又AP⊥AB，AP⊥CD，AB，CD⊂平面ABCD，∴AP⊥平面ABCD.又AB⊥AD，∴AB，AD，AP两两垂直.
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，C(2，4，0)，D(0，2，0)，E(2，1，0)，P(0，0，2)，
∴AC⊥DE，AP⊥DE.又AP∩AC＝A，∴DE⊥平面PAC.又DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC.
选条件③.(1)证明　∵BC⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，∴BC⊥AP.又AP⊥AB，AB，BC⊂平面ABCD，AB∩BC＝B，∴AP⊥平面ABCD.又AB⊥AD，∴AB，AD，AP两两垂直.以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(2，4，0)，D(0，2，0)，E(2，1，0)，P(0，0，2)，
∴AC⊥DE，AP⊥DE.又AP∩AC＝A，∴DE⊥平面PAC.又DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC.
22.(12分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AA1|＝|AD|＝1，E为CD的中点. (1)求证：B1E⊥AD1；
设|AB|＝a(a>0)，则A(0，0，0)，
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面AB1E？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；
设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z).
(3)若平面AB1E与平面A1B1E所成二面角的平面角的大小为30°，求AB的长.
解　连接A1D，B1C，由ABCD－A1B1C1D1为长方体及|AA1|＝|AD|＝1，得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C，又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，B1C，B1E⊂平面DCB1A1，
∵平面AB1E与平面A1B1E二面角的平面角的大小为30°，∴|cos θ|＝cos 30°，