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数学2.1 命题、定理、定义评课课件ppt
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这是一份数学2.1 命题、定理、定义评课课件ppt，文件包含21命题定理定义pptx、21命题定理定义doc等2份课件配套教学资源，其中PPT共40页， 欢迎下载使用。
1.能结合实例，判断所给语句是不是命题.2.能找出命题的条件与结论，并判断命题的真假.
通过结合实例理解命题的条件与结论，判断命题的真假，培养学生的数学抽象素养和逻辑推理素养.
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互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
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一、命题1.思考 (1)观察式子“x<3”，这个式子一定成立吗？ 提示 不一定成立.当x＝0时它成立；当x＝4时它不成立，随x的变化而变化，有时成立，有时不成立.
(2)下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；②2＋4＝7；③平行于同一直线的两条不同直线平行；④若x2＝1，则x＝1.提示 都为陈述句，①③为真，②④为假.
2.填空 将可判断______的陈述句叫作命题.数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的______，q叫作命题的______.
温馨提醒 一个语句是命题应具备的两个要素(1)陈述句：一般地，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.例如，疑问句“a是无理数吗？”；祈使句“求证：π是无理数”；感叹句“今天的天气真好啊！”等都不是命题.(2)能判断真假：不能判断真假的就不是命题.这两个条件缺一不可.
3.做一做 判断下列语句是不是命题.①今天天气如何？②这里景色多美啊！③x>4.④－2不是整数.⑤4>3.提示 ①不是(疑问句) ②不是(感叹句) ③不是(无法判断真假) ④是(否定陈述句) ⑤是(肯定陈述句)
二、定理、定义1.思考 (1)以前学习了很多定理、推论，这些定理、推论是命题吗？提示 这些定理、推论是经过推理论证的正确结论，又是以陈述句的形式表述的，是命题.
(2)公理是真命题吗？提示 在一个命题系统中，一个命题的真实性已经由人类实践所证实而被认为不需要证明，并作为证明其他命题的依据，这样的真命题就是公理.因而公理是真命题，不需要证明.
2.填空 (1)有些已经被证明为____的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理.(2)______ 是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.
温馨提醒 数学中定理和命题的区别数学中的定义、定理、公式、公理都是命题，但命题与定理是有区别的，命题有真假之分，而定理都是真的.
3.做一做 判断下列命题的真假：
解 (1)真. (2)假. (3)真. (4)真.
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例1 判断下列语句是否是命题，若不是，说明理由.(1)奇数的平方仍是奇数；(2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；(3)所有的质数都是奇数；(4)5x>4x；(5)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；(6)未来是多么美好啊！(7)你是高二的学生吗？(8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数.
解 (1)是命题.(2)是命题.(3)是命题.(4)不是命题.因为x是未知数，不能判断真假.(5)是命题.(6)是感叹句，不涉及真假，不是命题.(7)是疑问句，不涉及真假，不是命题.(8)是命题.
并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.
训练1 下列语句是否是命题？若不是，说明理由.(1)x≥16.(2)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根.(3)空集是任何非空集合的真子集.(4)一次函数是增函数吗？解 (1)不是命题.因为没有给定变量x的值，无法确定其真假.(2)是命题.(3)是命题.(4)不是命题.因为是疑问句无法判断真假.
题型二 命题的条件与结论
例2 将下列命题改写成“若p，则q”的形式.(1)在△ABC中，大角对大边.(2)矩形的对角线互相垂直.(3)相等的两个角的正弦值相等.(4)等底等高的两个三角形是全等三角形.解 (1)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC.(2)若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直.(3)若∠A＝∠B，则sin A＝sin B.(4)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等.
命题“若p，则q”形式是由条件p和结论q组成的，在写命题时为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论.
训练2 指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若x＋y＝0，则x，y互为相反数.(2)如果x∈A，则x∈A∩B.(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.解 (1)p：x＋y＝0，q：x，y互为相反数.(2)p：x∈A，q：x∈A∩B.(3)p：x＝2，q：x2＋x－6＝0.
题型三 命题真假的判断
例3 判断下列命题的真假：(1)若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根.(2)若A⊆B，则A∩B＝A.(3)如果两个三角形相似，则两个三角形全等.(4)若x＋y>5，则x>2且y>3.解 (1)当k>0时，Δ＝4＋4k>0恒成立，则方程x2＋2x－k＝0一定有实数根，故是真命题.(2)当A⊆B时，任意x∈A，则x∈B，∴A∩B＝A成立，故是真命题.(3)若两个三角形相似，则三个内角对应相等，边长对应成比例，不一定相等，故两个三角形不一定全等，是假命题.(4)若x＋y>5，可取x＝1，y＝6，不满足x>2且y>3，是假命题.
命题真假的判定方法(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.
训练3 判断下列命题的真假.(1)若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根.(2)若x>y，则x2>y2.(3)若x>2，则x>1.解 (1)当mn<0时，Δ＝1－4mn>0恒成立，∴方程mx2－x＋n＝0有实根，是真命题.(2)当x＝1，y＝－2时满足x>y，但x2
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1.下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2的图象是开口向上的抛物线；⑤人类可以在火星上居住；⑥打开窗户.A.1 B.2 C.3 D.4解析 ①③④⑤是命题，②不能判断真假，不是命题，⑥是祈使句不是命题.
2.命题“素数都是奇数”写成“若p，则q”的形式为( )A.若一个数是素数，则一定是奇数B.任一个素数都是奇数C.若一个实数是奇数，则一定是素数D.所有的奇数都是素数
3.给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )A.4 B.2 C.0 D.－3解析 方程无实数根，则Δ＝a2－4<0，故a＝0时适合条件.
4.下面给出的四个命题中，其中真命题有( )①等角的余角相等；②一个角的补角一定大于这个角；③有理数可分为正数和负数；④0是最小的正整数.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
③有理数可分为正有理数，0，负有理数，∴③为假命题；④0不是最小的正整数，1是最小的正整数，∴④为假命题.故选A.
5.(多选)下列说法正确的是( )A.命题“相等的两角为对顶角”是真命题B.语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题C.命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”是真命题D.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题解析 两个角相等，但这两个角不一定是对顶角，所以选项A错误；语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；选项C，D正确.
6.下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平面内，四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中是真命题的序号是________.解析 ①④是真命题；②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形；③平行四边形不是梯形.
7.命题“偶数的平方仍是偶数”是________命题(填“真”或“假”).
8.“不是矩形的四边形对角线不相等”这一命题的条件是___________________，结论是____________________.
9.判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，则x3>x2成立；(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆.解 (1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.(3)真命题.∵m>1，∴Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.(4)假命题.∵不共线的三点确定一个圆，∴任何三角形都有外接圆.
10.判断下列语句是否为命题，若是，是真命题还是假命题？①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？②一个数的绝对值一定是非负数；③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；④请完成第九题.解 ①不是命题，因为它不是陈述句；②是命题，且是真命题；
④不是命题，因为它不是陈述句.
若集合M是集合A∪B的子集，则M是集合A∩B的子集
11.命题“集合M是集合A∪B的子集，所以M是集合A∩B的子集”.写成“若p，则q”形式为________________________________________________，是________命题(填“真”或“假”).
解析 若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2，3}.M⊆A∪B，不妨取M＝{1，2}，则M不是A∩B的子集，故是假命题.
12.下列语句中是命题的是____________，其中的真命题是__________(填序号).①等边三角形是等腰三角形；②一个整数不是偶数就是奇数；③大角所对的边大于小角所对的边；④若xy为有理数，则x，y也都是有理数.
13.写出下列命题的条件p和结论q，并判断真假.(1)若x＋y≠8，则x≠2或y≠6.(2)若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.解 (1)条件p：x＋y≠8，结论q：x≠2或y≠6，是真命题.(2)条件p：xy＝0，结论q：x，y中至少有一个为0，是真命题.
14.是否存在整数m，使得对任意x∈R，－5＜3－4m＜x2＋x＋1是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.解 假设存在整数m，使得对任意x∈R，－5＜3－4m＜x2＋x＋1是真命题.∵对任意x∈R，
又∵m为整数，∴m＝1，∴存在m＝1.
1.能结合实例，判断所给语句是不是命题.2.能找出命题的条件与结论，并判断命题的真假.
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一、命题1.思考 (1)观察式子“x<3”，这个式子一定成立吗？ 提示 不一定成立.当x＝0时它成立；当x＝4时它不成立，随x的变化而变化，有时成立，有时不成立.
(2)下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；②2＋4＝7；③平行于同一直线的两条不同直线平行；④若x2＝1，则x＝1.提示 都为陈述句，①③为真，②④为假.
2.填空 将可判断______的陈述句叫作命题.数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的______，q叫作命题的______.
温馨提醒 一个语句是命题应具备的两个要素(1)陈述句：一般地，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.例如，疑问句“a是无理数吗？”；祈使句“求证：π是无理数”；感叹句“今天的天气真好啊！”等都不是命题.(2)能判断真假：不能判断真假的就不是命题.这两个条件缺一不可.
3.做一做 判断下列语句是不是命题.①今天天气如何？②这里景色多美啊！③x>4.④－2不是整数.⑤4>3.提示 ①不是(疑问句) ②不是(感叹句) ③不是(无法判断真假) ④是(否定陈述句) ⑤是(肯定陈述句)
二、定理、定义1.思考 (1)以前学习了很多定理、推论，这些定理、推论是命题吗？提示 这些定理、推论是经过推理论证的正确结论，又是以陈述句的形式表述的，是命题.
(2)公理是真命题吗？提示 在一个命题系统中，一个命题的真实性已经由人类实践所证实而被认为不需要证明，并作为证明其他命题的依据，这样的真命题就是公理.因而公理是真命题，不需要证明.
2.填空 (1)有些已经被证明为____的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理.(2)______ 是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.
温馨提醒 数学中定理和命题的区别数学中的定义、定理、公式、公理都是命题，但命题与定理是有区别的，命题有真假之分，而定理都是真的.
3.做一做 判断下列命题的真假：
解 (1)真. (2)假. (3)真. (4)真.
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例1 判断下列语句是否是命题，若不是，说明理由.(1)奇数的平方仍是奇数；(2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；(3)所有的质数都是奇数；(4)5x>4x；(5)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；(6)未来是多么美好啊！(7)你是高二的学生吗？(8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数.
解 (1)是命题.(2)是命题.(3)是命题.(4)不是命题.因为x是未知数，不能判断真假.(5)是命题.(6)是感叹句，不涉及真假，不是命题.(7)是疑问句，不涉及真假，不是命题.(8)是命题.
并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.
训练1 下列语句是否是命题？若不是，说明理由.(1)x≥16.(2)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根.(3)空集是任何非空集合的真子集.(4)一次函数是增函数吗？解 (1)不是命题.因为没有给定变量x的值，无法确定其真假.(2)是命题.(3)是命题.(4)不是命题.因为是疑问句无法判断真假.
题型二 命题的条件与结论
例2 将下列命题改写成“若p，则q”的形式.(1)在△ABC中，大角对大边.(2)矩形的对角线互相垂直.(3)相等的两个角的正弦值相等.(4)等底等高的两个三角形是全等三角形.解 (1)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC.(2)若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直.(3)若∠A＝∠B，则sin A＝sin B.(4)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等.
命题“若p，则q”形式是由条件p和结论q组成的，在写命题时为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论.
训练2 指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若x＋y＝0，则x，y互为相反数.(2)如果x∈A，则x∈A∩B.(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.解 (1)p：x＋y＝0，q：x，y互为相反数.(2)p：x∈A，q：x∈A∩B.(3)p：x＝2，q：x2＋x－6＝0.
题型三 命题真假的判断
例3 判断下列命题的真假：(1)若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根.(2)若A⊆B，则A∩B＝A.(3)如果两个三角形相似，则两个三角形全等.(4)若x＋y>5，则x>2且y>3.解 (1)当k>0时，Δ＝4＋4k>0恒成立，则方程x2＋2x－k＝0一定有实数根，故是真命题.(2)当A⊆B时，任意x∈A，则x∈B，∴A∩B＝A成立，故是真命题.(3)若两个三角形相似，则三个内角对应相等，边长对应成比例，不一定相等，故两个三角形不一定全等，是假命题.(4)若x＋y>5，可取x＝1，y＝6，不满足x>2且y>3，是假命题.
命题真假的判定方法(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.
训练3 判断下列命题的真假.(1)若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根.(2)若x>y，则x2>y2.(3)若x>2，则x>1.解 (1)当mn<0时，Δ＝1－4mn>0恒成立，∴方程mx2－x＋n＝0有实根，是真命题.(2)当x＝1，y＝－2时满足x>y，但x2
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拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.下列语句中命题的个数是( )①2<1；②x<1；③若x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2的图象是开口向上的抛物线；⑤人类可以在火星上居住；⑥打开窗户.A.1 B.2 C.3 D.4解析 ①③④⑤是命题，②不能判断真假，不是命题，⑥是祈使句不是命题.
2.命题“素数都是奇数”写成“若p，则q”的形式为( )A.若一个数是素数，则一定是奇数B.任一个素数都是奇数C.若一个实数是奇数，则一定是素数D.所有的奇数都是素数
3.给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )A.4 B.2 C.0 D.－3解析 方程无实数根，则Δ＝a2－4<0，故a＝0时适合条件.
4.下面给出的四个命题中，其中真命题有( )①等角的余角相等；②一个角的补角一定大于这个角；③有理数可分为正数和负数；④0是最小的正整数.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
③有理数可分为正有理数，0，负有理数，∴③为假命题；④0不是最小的正整数，1是最小的正整数，∴④为假命题.故选A.
5.(多选)下列说法正确的是( )A.命题“相等的两角为对顶角”是真命题B.语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题C.命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”是真命题D.“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题解析 两个角相等，但这两个角不一定是对顶角，所以选项A错误；语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；选项C，D正确.
6.下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平面内，四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中是真命题的序号是________.解析 ①④是真命题；②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形；③平行四边形不是梯形.
7.命题“偶数的平方仍是偶数”是________命题(填“真”或“假”).
8.“不是矩形的四边形对角线不相等”这一命题的条件是___________________，结论是____________________.
9.判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，则x3>x2成立；(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆.解 (1)假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.(3)真命题.∵m>1，∴Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.(4)假命题.∵不共线的三点确定一个圆，∴任何三角形都有外接圆.
10.判断下列语句是否为命题，若是，是真命题还是假命题？①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？②一个数的绝对值一定是非负数；③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；④请完成第九题.解 ①不是命题，因为它不是陈述句；②是命题，且是真命题；
④不是命题，因为它不是陈述句.
若集合M是集合A∪B的子集，则M是集合A∩B的子集
11.命题“集合M是集合A∪B的子集，所以M是集合A∩B的子集”.写成“若p，则q”形式为________________________________________________，是________命题(填“真”或“假”).
解析 若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2，3}.M⊆A∪B，不妨取M＝{1，2}，则M不是A∩B的子集，故是假命题.
12.下列语句中是命题的是____________，其中的真命题是__________(填序号).①等边三角形是等腰三角形；②一个整数不是偶数就是奇数；③大角所对的边大于小角所对的边；④若xy为有理数，则x，y也都是有理数.
13.写出下列命题的条件p和结论q，并判断真假.(1)若x＋y≠8，则x≠2或y≠6.(2)若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.解 (1)条件p：x＋y≠8，结论q：x≠2或y≠6，是真命题.(2)条件p：xy＝0，结论q：x，y中至少有一个为0，是真命题.
14.是否存在整数m，使得对任意x∈R，－5＜3－4m＜x2＋x＋1是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.解 假设存在整数m，使得对任意x∈R，－5＜3－4m＜x2＋x＋1是真命题.∵对任意x∈R，
又∵m为整数，∴m＝1，∴存在m＝1.
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