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    2020-2021学年第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制精品教案及反思

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    这是一份2020-2021学年第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制精品教案及反思,共5页。教案主要包含了素养目标,学法解读,对点练习等内容,欢迎下载使用。

    5.1.1 任意角

    【素养目标】

    1.了解任意角的概念,能区分各类角的概念.(数学抽象)

    2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.(直观想象)

    3.理解终边相同的角的含义及表示,并能解决有关问题.(数学运算)

    4.能够根据任意角的概念,结合象限角的概念,分析角、倍角、半角所在象限,为以后的学习打好基础.(逻辑推理)

    【学法解读】

    在本节学习中,学生应用运动的观点来理解角的定义,其关键是抓住角的终边和始边,在学习时提升自己的数学抽象及直观想象等素养.

    必备知识·探新知

    基础知识

    知识点一   角的概念

    角可以看成一条________绕着端点旋转所成的图形.

    思考1:定义中当射线旋转时有几种旋转方向?

    提示:根据旋转方向,射线在旋转时,有逆时针、顺时针和不作任何旋转三种旋转方向.

    知识点二    角的表示

    顶点:用O表示;

    始边:用OA表示,用语言可表示为起始位置;

    终边:用OB表示,用语言可表示为终止位置.

    思考2:(1)当角的始边和终边确定后,这个角就被确定了吗?

    (2)你能说出角的三要素吗?

    提示:(1)不是的.虽然始、终边确定了,但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定,所以角也就不能确定.

    (2)角的三要素是顶点、始边、终边

    知识点三  角的分类

    思考3:(1)正角、负角、零角是根据什么区分的?

    (2)如果一个角的终边与其始边重合,这个角一定是零角吗?

    提示:(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的.

    (2)不一定.零角的终边与始边重合,但终边与始边重合的角不一定是零角,如360°,-360°等,角的大小不是根据始边、终边的位置,而是根据射线的旋转.

    知识点四   象限角

    如果角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

    思考4:把一个角放在平面直角坐标系中时,这个角是否一定就是某一个象限的角?

    提示:象限角是指当角的始边与x轴的非负半轴重合时,终边在哪个象限,我们就说这个角是第几象限角.如果一个角的终边在坐标轴上时,我们认为这个角不在任何象限内,又叫轴线角.

    知识点五  终边相同的角

    所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合  S={β|β=α+k·360°,k∈Z}____,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.

    思考5:反过来,若角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,角α,β是否是终边相同的角?

    提示:当角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,表示角α与β相隔整数个周角,即角α,β终边相同.

     

    基础自测

    1.下列各角:-60°,126°,-63°,0°,99°,其中正角的个数是(  )

    A.1   B.2  C.3   D.4

    [解析] 正角有126°,99°共2个.

    2.将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为(  )

    A.120°  B.-120° C.60°  D.240°

    3.(2018·济南外国语期中)下列各角中,与-1 110°的角终边相同的角是(  )

    A.60°          B.-60°

    C.30° D.-30°

    [解析] -1 110°=-3×360°-30°,所以与-30°的角终边相同.

    4.若-30°角的始边与x轴的非负半轴重合,现将-30°角的终边按逆时针方向旋转2周,则所得角是_________.

    [解析] 因为逆时针方向旋转为正角,所以α=-30°+2×360°=690°.

    5.图中从OA旋转到时所成的角度分别是_________、___________、________.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    [解析] 题图中(1)中的角是正角,α=390°,题图中(2)中的角,一个是负角、一个是正角,β=-150°γ=60°.

    关键能力·攻重难

    题型一 任意角的概念

    例1、下列命题正确的是(  )

    A.终边与始边重合的角是零角

    B.终边和始边都相同的两个角一定相等

    C.在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角

    D.小于90°的角是锐角

    [分析] 角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量.

    [解析] 终边与始边重合的角还可能是360°,720°,…,故A错;终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍,如30°与-330°,故B错;由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角,所以不一定是钝角,C正确;小于90°的角可以是0°,也可以是负角,故D错误.

    [归纳提升] 关于角的概念问题的处理

    正确解答角的概念问题,关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.

    【对点练习】❶ 如图,射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置,并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置,则∠AOC=__________.

    [解析] 由角的定义可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+(-120°)=-75°

     

    题型二 终边相同的角

    例2、已知角α=2 020°.

    (1)把α改写成k·360°β(kZ,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;

    (2)求θ,使θα终边相同,且-360°≤θ<720°.

    [分析] 先求出β,判断角α所在的象限;用终边相同的角表示θ满足的不等关系,求出k和θ.

    [解析] (1)由2 020°除以360°,得商为5,余数为220°.k=5,β=220°,α=5×360°+220°.又β=220°是第三象限角,α为第三象限角.

    (2)与2 020°终边相同的角为k·360°+2 020°(kZ).令-360°≤k·360°+2 020°<720°(kZ).

    解得-6k<-3(kZ).所以k=-6,-5,-4.

    k的值代入k·360°+2 020°中,得角θ的值为-140°,220°,580°.

    [归纳提升] 1.把任意角化为α+k·360°(kZ,且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k,可以用观察法(α的绝对值较小),也可用除法.

    2.要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.

    3.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示

    (1)象限角:

    (2)轴线角:

    【对点练习】 若将例题中α=2 020°”改为“α=-315°”,其他条件不变,结果如何?

    [解析] (1)α=-360°+45°,α是第一象限角.

    (2)与-315°终边相同的角为k·360°-315°(kZ),令-360°≤k·360°-315°<720°(kZ),

    解得-k<(kZ),所以k=0,1,2.将k值代入k·360°-315°中,

    得所求角为-315°,45°和405°.

    题型三 象限角的确定

    例3、α是第一象限角,则2α分别是第几角限角?

    [分析] 由α是第一象限角可知k·360°<α<k·360°+90°(kZ),则2α的范围分别为2k·360°<2α<2k·360°+180°(kZ),k·180°<<k·180°+45°(kZ).再通过对整数k分类讨论即可得结果.

    [解析] 因为k·360°<α<k·360°+90°(kZ),所以2k·360°<2α<2k·360°+180°(kZ).所以2α是第一、二象限角或终边落在y轴非负半轴上的角.

    k·180°<<k·180°+45°(kZ),

    所以当k=2n(nZ)时,n·360°<<n·360°+45°.

    所以是第一象限角.当k=2n+1(nZ)时,

    n·360°+180°<<n·360°+225°,所以是第三象限角.故是第一、三象限角.

    [归纳提升] 已知α角所在象限,判角(nZ)所在象限的方法

    (1)若已知角α是第几象限角,判断等是第几象限角,主要方法是解不等式并对整数k进行分类讨论.求解题的思维模式应是:由欲求想需求,由已知想可知,抓住内在联系,确定解题方略.

    (2)由α的象限确定2α的象限时,应注意2α可能不再是象限角,对此特殊情况应特别指出.如α=135°,而2α=270°就不再是象限角.

    【对点练习】φ是第二象限角,那么和90°-φ都不是(  )

    A.第一象限角    B.第二象限角

    C.第三象限角 D.第四象限角

    [解析] φ是第二象限角,k·360°+90°<φ<k·360°+180°,kZk·180°+45°<<k·180°+90°,kZ,即终边是第一或第三象限角,而-φ显然是第三象限角,90°-φ是第四象限角,故选B.

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