2020-2021学年第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制精品教案及反思
展开5.1.1 任意角
【素养目标】
1.了解任意角的概念,能区分各类角的概念.(数学抽象)
2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.(直观想象)
3.理解终边相同的角的含义及表示,并能解决有关问题.(数学运算)
4.能够根据任意角的概念,结合象限角的概念,分析角、倍角、半角所在象限,为以后的学习打好基础.(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中,学生应用运动的观点来理解角的定义,其关键是抓住角的终边和始边,在学习时提升自己的数学抽象及直观想象等素养.
必备知识·探新知
基础知识
知识点一 角的概念
角可以看成一条________绕着端点旋转所成的图形.
思考1:定义中当射线旋转时有几种旋转方向?
提示:根据旋转方向,射线在旋转时,有逆时针、顺时针和不作任何旋转三种旋转方向.
知识点二 角的表示
顶点:用O表示;
始边:用OA表示,用语言可表示为起始位置;
终边:用OB表示,用语言可表示为终止位置.
思考2:(1)当角的始边和终边确定后,这个角就被确定了吗?
(2)你能说出角的三要素吗?
提示:(1)不是的.虽然始、终边确定了,但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定,所以角也就不能确定.
(2)角的三要素是顶点、始边、终边
知识点三 角的分类
思考3:(1)正角、负角、零角是根据什么区分的?
(2)如果一个角的终边与其始边重合,这个角一定是零角吗?
提示:(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的.
(2)不一定.零角的终边与始边重合,但终边与始边重合的角不一定是零角,如360°,-360°等,角的大小不是根据始边、终边的位置,而是根据射线的旋转.
知识点四 象限角
如果角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
思考4:把一个角放在平面直角坐标系中时,这个角是否一定就是某一个象限的角?
提示:象限角是指当角的始边与x轴的非负半轴重合时,终边在哪个象限,我们就说这个角是第几象限角.如果一个角的终边在坐标轴上时,我们认为这个角不在任何象限内,又叫轴线角.
知识点五 终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}____,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
思考5:反过来,若角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,角α,β是否是终边相同的角?
提示:当角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,表示角α与β相隔整数个周角,即角α,β终边相同.
基础自测
1.下列各角:-60°,126°,-63°,0°,99°,其中正角的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 正角有126°,99°共2个.
2.将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为( )
A.120° B.-120° C.60° D.240°
3.(2018·济南外国语期中)下列各角中,与-1 110°的角终边相同的角是( )
A.60° B.-60°
C.30° D.-30°
[解析] -1 110°=-3×360°-30°,所以与-30°的角终边相同.
4.若-30°角的始边与x轴的非负半轴重合,现将-30°角的终边按逆时针方向旋转2周,则所得角是_________.
[解析] 因为逆时针方向旋转为正角,所以α=-30°+2×360°=690°.
5.图中从OA旋转到时所成的角度分别是_________、___________、________.
[解析] 题图中(1)中的角是正角,α=390°,题图中(2)中的角,一个是负角、一个是正角,β=-150°,γ=60°.
关键能力·攻重难
题型一 任意角的概念
例1、下列命题正确的是( )
A.终边与始边重合的角是零角
B.终边和始边都相同的两个角一定相等
C.在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D.小于90°的角是锐角
[分析] 角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量.
[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°,720°,…,故A错;终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍,如30°与-330°,故B错;由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角,所以不一定是钝角,C正确;小于90°的角可以是0°,也可以是负角,故D错误.
[归纳提升] 关于角的概念问题的处理
正确解答角的概念问题,关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
【对点练习】❶ 如图,射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置,并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置,则∠AOC=__________.
[解析] 由角的定义可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+(-120°)=-75°
题型二 终边相同的角
例2、已知角α=2 020°.
(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°.
[分析] 先求出β,判断角α所在的象限;用终边相同的角表示θ满足的不等关系,求出k和θ.
[解析] (1)由2 020°除以360°,得商为5,余数为220°.∴取k=5,β=220°,α=5×360°+220°.又β=220°是第三象限角,∴α为第三象限角.
(2)与2 020°终边相同的角为k·360°+2 020°(k∈Z).令-360°≤k·360°+2 020°<720°(k∈Z).
解得-6≤k<-3(k∈Z).所以k=-6,-5,-4.
将k的值代入k·360°+2 020°中,得角θ的值为-140°,220°,580°.
[归纳提升] 1.把任意角化为α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k,可以用观察法(α的绝对值较小),也可用除法.
2.要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.
3.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角:
(2)轴线角:
【对点练习】❷ 若将例题中“角α=2 020°”改为“α=-315°”,其他条件不变,结果如何?
[解析] (1)∵α=-360°+45°,∴α是第一象限角.
(2)与-315°终边相同的角为k·360°-315°(k∈Z),令-360°≤k·360°-315°<720°(k∈Z),
解得-≤k<(k∈Z),所以k=0,1,2.将k值代入k·360°-315°中,
得所求角为-315°,45°和405°.
题型三 象限角的确定
例3、若α是第一象限角,则2α,分别是第几角限角?
[分析] 由α是第一象限角可知k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z),则2α,的范围分别为2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z),k·180°<<k·180°+45°(k∈Z).再通过对整数k分类讨论即可得结果.
[解析] 因为k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z),所以2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z).所以2α是第一、二象限角或终边落在y轴非负半轴上的角.
又k·180°<<k·180°+45°(k∈Z),
所以当k=2n(n∈Z)时,n·360°<<n·360°+45°.
所以是第一象限角.当k=2n+1(n∈Z)时,
n·360°+180°<<n·360°+225°,所以是第三象限角.故是第一、三象限角.
[归纳提升] 已知α角所在象限,判角nα,(n∈Z)所在象限的方法
(1)若已知角α是第几象限角,判断,等是第几象限角,主要方法是解不等式并对整数k进行分类讨论.求解题的思维模式应是:由欲求想需求,由已知想可知,抓住内在联系,确定解题方略.
(2)由α的象限确定2α的象限时,应注意2α可能不再是象限角,对此特殊情况应特别指出.如α=135°,而2α=270°就不再是象限角.
【对点练习】❸ 若φ是第二象限角,那么和90°-φ都不是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
[解析] ∵φ是第二象限角,∴k·360°+90°<φ<k·360°+180°,k∈Z,∴k·180°+45°<<k·180°+90°,k∈Z,即终边是第一或第三象限角,而-φ显然是第三象限角,∴90°-φ是第四象限角,故选B.
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