人教版九年级上册22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质图文课件ppt

人教版初中数学九年级上册

22.1.5 《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》教学设计

一、教学目标：

1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.

2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用.(重点）

3.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系.（难点）

二、教学过程：

复习回顾

1.抛物线y=ax2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？
2.抛物线y=a(x-h)2怎样由抛物线y=ax2平移得到？

，

口决：上加下减

，.

口决：左加右减

猜想：抛物线y=a(x-h)2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？

知识精讲

画出函数y=-(x+1)2-1的图像，指出它的开口方向、对称轴和顶点.

解：先列表：

抛物线y=-(x+1)2-1的开口______、对称轴是_________顶点是_________.

怎样移动抛物线y=-x2就可以得到抛物线y=-(x+1)2-1？

平移方法1：

平移方法2：

归纳

    一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.

二次函数y=a(x-h)2+k的性质

【针对练习】完成下列表格:

典例解析

例1.把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位，得到二次函数y=-(x+1)2-1的图象.

(1)试确定a，h，k的值;

(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

解:(1)依题意得，二次函数y=a(x-h)2+k的图象可由二次函数y=-(x+1)2-1的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到，即y=-(x+1-2)2-1-4

∴a=-，h=1，k=-5.

(2)二次函数y=-(x-1)2-5图象的开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,—5).

例2. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？

解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系.

点(1，3)是图中这段抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数解析式是 y=a(x-1)2+3 (0≤x≤3)
∵ 这段抛物线经过点(3，0)
∴ 0=a(3-1)2+3，解得：
∴ y=-(x-1)2+3 (0≤x≤3)
当x=0时，y=2.25
答：水管长应为2.25m.

例3.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)

【分析】根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.

【针对练习】直线不经过第三象限，则抛物线可以是（   ）

【分析】∵直线y＝ax+b（a≠0）不经过第三象限．

∴a<0,b>0 ．

∴抛物线y=-(x-a)2+b 的顶点(a，b)在第二象限，开口向下．

故选：D．

例4.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．

(1)求a的值；

(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系．

解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，

           得0＝4a－4，解得a＝1；

(2)方法一：

  根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，

  ∵y1＝y2，

∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.

∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；

方法二：

∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，

∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2.

【点睛】已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．

【针对练习】已知抛物线y＝a(x﹣2)2+k(a＞0，a，k为常数)，A(﹣3，y1)，B(3，y2)，C(4，y3)是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

达标检测

1.二次函数y=2(x-5)2+3的图象的顶点坐标是(    )

A.(-5，3)       B.(5，3)       C.(5，-3)      D.(-5，-3)

2.已知二次函数y=2(x-3)2+1，下列说法:①其图象开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-3;③当x=3时，函数有最大值1;④当x<3时，y随x增大而减小其中正确说法的个数是(    )

A.1      B.2        C.3       D.4

3.如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是(    )

A.m=n，k>h        B.m=n,k<h        C.m>n，k=h        D.m<n，k=h

4.将抛物线y=-5x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位后，则所得抛物线解析式为(   )

A.y=-5(x+1)2-2  B. y=-5(x-1)2+2   C.y=-5(x-1)2-2   D.y=-5(x+1)2+2

5.二次函数y=x2的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是(   )

A.向左平移2个单位，向下平移2个单位

B.向左平移1个单位，向上平移2个单位

C.向右平移1个单位，向下平移1个单位

D.向右平移2个单位，向上平移1个单位

6.将抛物线y=-2(x-3)2+2向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是_________.

7.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系下此抛物线的解析式是______________.

8.已知二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图所示，则直线y=mx+n不经过第___象限.

9.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(4，2).若抛物线y=-3(x-h)2+k(h、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且AB=2CD，则k的值为_______.

10．已知抛物线C：y＝(x﹣m)2+m+1．

（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；

（2）若m＝-2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．

三、教学反思：

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.