【最新版】高中数学高三培优小题练第11练　函数的图象

第11练　函数的图象

考点一　作函数的图象

1．把函数y＝f(x)＝ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　)

A．g(x)＝ln(2x－1)

B．g(x)＝ln (2x－2)

C．g(x)＝ln

D．g(x)＝ln

答案　D

解析　把y＝ln x图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数y＝ln x的图象，

再把y＝ln x的图象向右平移1个单位长度，

得到函数y＝ln (x－1)＝ln的图象．

2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(1－x)的图象大致为(　　)

答案　A

解析　因为f(1－x)＝f[－(x－1)]，故y＝f(1－x)的图象可以由y＝f(x)的图象按照如下变换得到：先将y＝f(x)的图象关于y轴翻折得到y＝f(－x)的图象，再将y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到y＝f(1－x)的图象．

3．将函数y＝lg x的图象____________________，可得到函数y＝|lg x|的图象；再把y＝|lg x|的图象__________________________，可得到y＝|lg(x＋1)|的图象．

答案　x轴上方图象不变，x轴下方的图象沿x轴往上翻折　向左平移1个单位长度

考点二　函数图象的辨识

4．函数f(x)＝的函数图象是(　　)

答案　A

解析　去绝对值可得

f(x)＝＝

当x>1时，y＝lg单调递增，

当0<x<1时，y＝lg单调递减，且y<0，

当x<0时，y＝－lg单调递增，且y<0，

综上，只有A符合．

5．如图，下列能表达这条曲线的函数是(　　)

A．f(x)＝

B．f(x)＝

C．f(x)＝

D．f(x)＝

答案　C

解析　观察图象可知，函数的图象关于y轴对称，应是偶函数，选项A，C中函数均为偶函数，

选项B，f(－x)＝＝＝－f(x)，是奇函数，图象关于原点对称，不符合题意；

选项D，f(－x)＝＝－＝－f(x)，是奇函数，图象关于原点对称，不符合题意；

选项A，当x∈时，f(x)<0，不符合题意．

6．函数f(x)＝的图象如图所示，则(　　)

A．k>1，a>1   B．k>1，a<1

C．0<k<1，a>1   D．0<k<1，a<1

答案　C

解析　因为f(0)＝－k，据图象知－1<－k<0，

所以0<k<1，排除A，B，

又由x→＋∞时，f(x)→0，从而a>1.

考点三　函数图象的应用

7．若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于(　　)

A．－3  B．－1  C．1  D．3

答案　B

解析　由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，

∴f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.

8．已知函数f(x)＝|x2－2x－3|，则下列结论正确的是(　　)

①f(x)为偶函数；

②f(x)的图象关于直线x＝1对称；

③方程f(x)＝4有3个实数解；

④f(x)在(1,2)上单调递减．

A．①②③   B．②③

C．①④   D．②③④

答案　D

解析　作出函数f(x)＝|x2－2x－3|的图象，如图，

由图可知①不正确，②③④正确．

9．已知y＝f(x)是奇函数，y＝g(x)是偶函数，它们的定义域均为[－3,3]，且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是________________________．

答案　{x|－2<x<－1或0<x<1或2<x<3}

解析　根据图象得

当x∈{x|0<x<1或2<x<3}时，f(x)，g(x)异号；

当1<x<2时，f(x)，g(x)同号，

由y＝f(x)是奇函数，y＝g(x)是偶函数得，

当－2<x<－1时，f(x)，g(x)异号；

当x∈{x|－3<x<－2或－1<x<0}时，f(x)，g(x)同号，

因此不等式<0的解集是{x|－2<x<－1或0<x<1或2<x<3}．

10．定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)＝2x－4.若关于x的方程f(x)＝k恰有两个实根，则实数k的取值范围为__________．

答案　(－3,0)∪(0,3)

解析　由题意知，定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)＝2x－4，

可得f(x)＝

作出函数f(x)的图象，如图所示，

由图象可得，当k∈(－3,0)∪(0,3)时，直线y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，

即当k∈(－3,0)∪(0,3)时，方程f(x)＝k恰有两个实根．

11.(2021·浙江)已知函数f(x)＝x2＋，g(x)＝sin x，则图象如图的函数可能是(　　)

A．y＝f(x)＋g(x)－

B．y＝f(x)－g(x)－

C．y＝f(x)g(x)

D．y＝

答案　D

解析　易知函数f(x)＝x2＋是偶函数，g(x)＝sin x是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数．选项A，y＝f(x)＋g(x)－＝x2＋sin x为非奇非偶函数，不符合题意，排除A；选项B，y＝f(x)－g(x)－＝x2－sin x也为非奇非偶函数，不符合题意，排除B；因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，且f(x)>0，当x∈时，g(x)单调递增，且g(x)>0，所以y＝f(x)g(x)在上单调递增，由图象可知所求函数在上不单调，排除C.

12．(2022·西安模拟)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)

A．f(x－1)－1   B．f(x－1)＋1

C．f(x＋1)－1   D．f(x＋1)＋1

答案　A

解析　因为f(x)＝＝＝1－，

所以f(x)＋f(－2－x)＝1－＋1－＝2，

所以函数f(x)图象的对称中心为(－1,1)，

将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，再将所得图象向下平移1个单位长度，可得到奇函数的图象，

即函数f(x－1)－1为奇函数．

13．(2022·哈尔滨模拟)若函数y＝a|x＋1|＋1的图象恒在函数y＝x＋a的上方，则a的取值范围是________．

答案　1≤a<2

解析　当a≥1时，作出函数y＝a|x＋1|＋1与y＝x＋a的图象，如图，

由图可知解得1≤a<2；

当0<a<1时，作出函数y＝a|x＋1|＋1与y＝x＋a的图象，如图，

由图可知，函数y＝a|x＋1|＋1的图象不恒在函数y＝x＋a的上方；

当a＝0或a<0时，显然函数y＝a|x＋1|＋1的图象不恒在函数y＝x＋a的上方，故不成立．

综上所述，1≤a<2.

14．已知f(x)＝若方程f(x)－a＝0有四个根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是________________．

答案　

解析　由题意，作出函数f(x)＝的大致图象，f(x)－a＝0有四个根，即f(x)与y＝a的图象有四个交点，如图所示，

因为方程f(x)－a＝0有四个根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，

由图象可知x1＋x2＝－2，－log3x3＝log3x4，

可得x3x4＝1，则x1＋x2＋x3＋x4＝－2＋x3＋x4，

设log3x3＝－t，log3x4＝t，

所以x3＋x4＝3－t＋3t，

因为0<t≤1，所以1<3t≤3，

所以2<3－t＋3t≤，

所以0<－2＋3－t＋3t≤，

即0<x1＋x2＋x3＋x4≤，

即x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是.