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【最新版】高中数学高三培优小题练第13练 函数模型的应用
展开这是一份【最新版】高中数学高三培优小题练第13练 函数模型的应用,共8页。试卷主要包含了中国茶文化博大精深等内容,欢迎下载使用。
第13练 函数模型的应用
考点一 用函数图象刻画变化过程
1.如图,在△AOB中,点A(2,1),B(3,0),点E在射线OB上自O开始移动.设OE=x,过E作OB的垂线l,记△AOB在直线l左边部分的面积为S,则函数S=f(x)的图象是( )
答案 D
解析 点E在射线OB上自O向右移动的过程中,面积的增长先快,后慢,最后不变化,结合选项,只有选项D符合.
2.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感的茶水所需的时间,某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律( )
A.y=mx2+n(m>0)
B.y=mx+n(m>0)
C.y=max+n(m>0,a>0,a≠1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
答案 C
解析 由函数图象可知符合条件的只有指数型函数模型.
3.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度,药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示,根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,不正确的是( )
A.首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用
B.每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒
C.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒
答案 D
解析 从图象可以看出,首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用,该药物的血药浓度应大于最低有效浓度,药物发挥治疗作用,A正确;第一次服药后3小时与第2次服药1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,B正确,D错误;服药5.5小时后,血药浓度小于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,正好能发挥作用,C正确.
考点二 已知函数模型的实际问题
4.(2022·南宁模拟)中国高铁技术世界领先,高速列车运行时不仅速度比普通列车快且噪声更小.用声强I(单位:W/m2)表示声音在传播途径中每1平方米面积上声能流密度,声强级LI(单位:dB)与声强I的函数关系式为LI=10lg.若普通列车的声强级是95 dB,高速列车的声强级是45 dB,则普通列车的声强是高速列车声强的( )
A.6倍 B.106倍
C.5倍 D.105倍
答案 D
解析 因为普通列车的声强级是95 dB,高速列车的声强级是45 dB,
所以95=10lg,45=10lg,
相减得5=lg ,
所以=105.
5.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)间的关系为P=P0e-kt,如果在前5个小时消除了20%的污染物,则污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h,参考数据:ln 2≈0.69,ln 10≈2.30)( )
A.13 h B.15 h
C.18 h D.20 h
答案 B
解析 ∵前5个小时消除了20%的污染物,
∴(1-20%)P0=P0e-5k,
即k=-,
当污染物减少50%时,P=(1-50%)P0=0.5P0,
∴0.5P0=,
∴t==-
≈-=15.
6.某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒,根据药学原理,从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y=据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室学习.那么从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室.
答案 0.6
解析 当0≤t≤0.1时,y=10t=0.25,t=0.025,但是随着时间的增加,室内的含药量也在增加,
∴此时学生不能回到教室,
∴有y≤0.25=,
∴t-0.1≤,
∴t-0.1≥,∴t≥0.6,
∴至少需0.6小时后,学生才能回到教室.
7.某工厂常年生产红木家具,根据预测可知,该产品近10年的产量平稳增长.记2017年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(单位:万件)之间的关系如下表所示,
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | 4.00 | 5.61 | 7.00 | 8.87 |
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一:①f(x)=ax+b,②f(x)=2x+a,③f(x)=+a.则你认为最适合的函数模型的序号为________.
答案 ①
解析 符合条件的是①f(x)=ax+b,
若模型为f(x)=2x+a,
则由f(1)=2+a=4,得a=2,
即f(x)=2x+2,
此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与已知相差太大,不符合,
若模型为f(x)=+a,
则f(x)是减函数,与已知不符合.
考点三 构造函数模型的实际问题
8.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则每天应该从报社买进报纸( )
A.215份 B.350份
C.400份 D.250份
答案 C
解析 设每天从报社买进x(250≤x≤400,x∈N)份报纸时,每月所获利润为y元,具体情况如下表.
| 数量/份 | 单价/元 | 金额/元 |
买进 | 30x | 2 | 60x |
卖出 | 20x+10×250 | 3 | 60x+7 500 |
退回 | 10 | 0.8 | 8x-2 000 |
则推销员每月所获得的利润
y=(60x+7 500)+(8x-2 000)-60x=8x+5 500(250≤x≤400,x∈N),
又由y=8x+5 500在上单调递增,
所以当x=400时,y取得最大值8 700.
9.某创业公司2020年投入的科研资金为100万元,在此基础上,每年投入的科研资金比上一年增长20%,则该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是( )
A.2022年 B.2023年
C.2024年 D.2025年
答案 C
解析 某创业公司2020年投入的科研资金为100万元,
在此基础上,每年投入的科研资金比上一年增长20%,
则x年后投入的科研资金为y=100(1+20%)x=100×1.2x,
由100×1.2x>200,解得x≥4.
故该厂投入的科研资金开始超过200万元的年份是2024年.
10.旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为10 000元,旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团的人数在20或20以下,飞机票每人收费800元;若旅游团的人数多于20,则实行优惠方案,每多1人,机票费每张减少
10元,但旅游团的人数最多为75,则该旅行社可获得利润的最大值为( )
A.12 000元 B.15 000元
C.12 500元 D.20 000元
答案 B
解析 设旅游团的人数为x,每张机票为y元,该旅行社可获得利润为W元,
当0≤x≤20时,y=800,W=800x-10 000,显然当x=20时,W有最大值,最大值为Wmax=6 000;
当20<x≤75时,y=800-10(x-20)=-10x+1 000,
W=(-10x+1 000)x-10 000
=-10x2+1 000x-10 000
=-10(x-50)2+15 000,
显然当x=50时,W有最大值,最大值为Wmax=15 000.
综上,当x=50时,Wmax=15 000.
11.(2022·日照模拟)老舍在《济南的冬天》中写到济南的冬天是没有风声的,济南的冬天是响晴的,济南真得算个宝地.济南市某一天内的气温Q(t)(单位:℃)与时刻t(单位:时)之间的关系如图所示,令C(t)表示时间段[0,t]内的温差(即时间段[0,t]内最高温度与最低温度的差),C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则下列正确的图象是( )
答案 D
解析 由题意知,当0≤t≤4时,C(t)由0增大到2;
当4<t≤t1(4<t1<8且Q(t1)=-2)时,C(t)=2不变;
当t1<t≤12时,C(t)增大到8;
当12<t≤20时,C(t)=8不变;
当20<t≤24时,C(t)增大到16.
因此选项D的图象正确.
12.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:
(1)如果不超过200元,则不给予优惠;
(2)如果超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;
(3)如果超过500元,其500元内的按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.
某人单独购买A,B商品分别付款168元和423元,假设他一次性购买A,B两件商品,则应付款( )
A.413.7元 B.513.7元
C.546.6元 D.548.7元
答案 C
解析 依题意可得,因为168<200×0.9=180,所以购买A商品没有优惠,则A商品的价格为168元.
当购买价值500元的物品时实际付款为500×0.9=450>423,
所以购买B商品享受了9折优惠,
则B商品的原价为=470(元).
若一次性购买A,B两件商品,则付款总额为168+470=638(元),
则应付款为(638-500)×0.7+500×0.9=546.6(元).
13.(2022·太原模拟)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》,文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂,处于良好的通风环境下时,竣工1周后室内甲醛浓度为6.25 mg/m3,3周后室内甲醛浓度为1 mg/m3,且室内甲醛浓度ρ(t)(单位:mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N*)(单位:周)近似满足函数关系式ρ(t)=eat+b,则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准,至少需要放置的时间为( )
A.5周 B.6周
C.7周 D.8周
答案 B
解析 由题意可知,ρ(1)=ea+b=6.25,ρ(3)=e3a+b=1,=e2a=,解得ea=.
设该文化娱乐场所竣工后放置t0周后甲醛浓度达到安全开放标准,
即ρ(t0)==ea+b·=6.25×≤0.1,
整理得62.5≤,设62.5=m-1,因为4<62.5<5,
所以4<m-1<5,即5<m<6,
则t0-1≥m-1,即t0≥m.
故至少需要放置的时间为6周.
14.新能源汽车是战略性新兴行业之一,发展新能源汽车是中国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路,某汽车企业为了适应市场需求引进了新能源汽车生产设备,2020年该企业新能源汽车的销售量逐月平稳增长,1,2,3月份的销售量分别为1.2千台、1.4千台、1.8千台,为估计以后每个月的销售量,以这三个月的销售量为依据,用一个函数模拟汽车的月销售量y(单位:千台)和月份x之间的函数关系,有以下两个函数模型可供选择:
①f(x)=ax2+bx+c(a≠0);②g(x)=pqx+r(q>0,q≠1),如果4月份的销售量为2.3千台,选择一个效果较好的函数进行模拟,则估计5月份的销售量为________千台.
答案 3.2
解析 将(1,1.2),(2,1.4),(3,1.8)代入f(x)得,
得
解得 ∴f(x)=0.1x2-0.1x+1.2,
f(4)=0.1×16-0.1×4+1.2=2.4.
将(1,1.2),(2,1.4),(3,1.8)代入g(x)得,
整理得,q==,
解得r=1,q=2,p=0.1,g(x)=0.1×2x+1,
g(4)=0.1×24+1=2.6.
用两个模拟函数求出4月份的销售量,
f(x)更接近2.3千台,选择f(x)作为模拟函数,
f(5)=0.1×25-0.1×5+1.2=3.2(千台).
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