【最新版】高中数学高三培优小题练第31练　三角函数的图象与性质

第31练　三角函数的图象与性质

考点一　三角函数的定义域和值域

1．函数y＝ 的定义域是(　　)

A.

B.

C.

D.

答案　D

解析　要使原函数有意义，则2cos 2x＋1≥0 ，

即cos 2x≥－，

所以2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以原函数的定义域为.

2．已知函数f(x)＝cos 2x－4sin x，则函数f(x)的最大值是(　　)

A．4  B．3  C．5  D.

答案　B

解析　f(x)＝cos 2x－4sin x＝1－2sin2x－4sin x，

从而当sin x＝－1时，f(x)有最大值，

∴f(x)的最大值是3.

3．(2022·青岛模拟)函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋在上的值域为______．

答案　(－1,2]

解析　函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋

＝sin 2x－2×＋

＝sin 2x－cos 2x

＝2sin.

由x∈，

故可得2x－∈，

则sin∈，

所以f(x)的值域为(－1,2]．

考点二　三角函数的周期性与对称性

4．下列函数中，周期为π的奇函数为(　　)

A．y＝sin xcos x   B．y＝sin2x

C．y＝tan 2x   D．y＝sin 2x＋cos 2x

答案　A

解析　B项y＝sin2x为偶函数，C项y＝tan 2x的周期为，D项y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，故B，C，D都不正确，只有A项y＝sin xcos x＝sin 2x既是奇函数，且周期为π.故选A.

5．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)

A．关于点对称

B．关于点对称

C．关于直线x＝对称

D．关于直线x＝对称

答案　B

解析　因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期是4π，即T＝＝4π，所以ω＝，

即f(x)＝2sin.

令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)．

故f(x)图象的对称轴为直线x＝＋2kπ(k∈Z)，

令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z)．

故f(x)图象的对称中心为点(k∈Z)，对比选项可知B正确．

6．(2022·甘肃天水一中月考)若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f ＝f(－x)，则f 等于(　　)

A．－3或0   B．－3或3

C．0   D．3或0

答案　B

解析　函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f ＝f(－x)，

所以直线x＝是函数图象的对称轴，

所以f ＝－3或3.

考点三　三角函数的单调性

7．函数y＝tan的单调递增区间为(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

答案　A

解析　函数y＝tan，

令kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，

即kπ－<x<kπ＋，k∈Z，

所以函数的单调递增区间为(k∈Z)．

8．下列函数中，周期为π，且在上单调递减的是(　　)

A．y＝sin   B．y＝cos

C．y＝cos   D．y＝sin

答案　D

解析　由题意得，函数的周期为π，只有C，D满足题意，

函数y＝cos＝－sin 2x在上单调递增，

函数y＝sin＝cos 2x在上单调递减．故选D.

9．(2022·邢台模拟)函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω的最小值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　因为f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以f ＝sin＝1，

ω＋＝2kπ＋，k∈Z，ω＝6k＋，k∈Z，

＝≥⇒0<ω≤3，

所以ω的最小值为.

10．函数f(x)＝2sin＋1，若x∈R，则f(x)的单调递增区间为________；若x∈[0，π]，则f(x)的单调递增区间为________．

答案　，k∈Z　

解析　f(x)＝2sin＋1

＝－2sin＋1，

令＋2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，

解得π＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，

∴当x∈R时，f(x)的单调递增区间为，k∈Z，

∵∩[0，π]

＝，

∴当x∈[0，π]时，f(x)的单调递增区间为.

11．(2022·宜宾模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间(0，π)内恰好有3个零点，则ω的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　因为x∈(0，π)，所以ωx＋∈，因为f(x)＝sin(ω>0)在区间(0，π)内恰好有3个零点，结合函数图象可得，ωπ＋∈(3π，4π]，解得ω∈，所以ω的取值范围是.

12．设函数f(x)＝2cos2＋sin，x∈(0,3π)，则下列判断正确的是(　　)

A．函数图象的一条对称轴为直线x＝

B．函数在区间上单调递增

C．∃x∈(0,3π)，使f(x)＝－1

D．∃a∈R，使得函数y＝f(x＋a)在其定义域内为偶函数

答案　D

解析　函数f(x)＝1＋cos＋sin＝1＋cos 2x，

当x∈(0,3π)，x＝时，2x＝不能使函数取得最值，

所以直线x＝不是函数图象的对称轴，A错；

当x∈时，2x∈，函数先增后减，B错；

若f(x)＝－1，那么cos 2x＝－不成立，C错；

当a＝时，f(x＋a)＝1－cos 2x，函数是偶函数，D正确．

13．已知函数f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)在上单调递减，则ω的取值不可能为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　由题意，得f(x)＝cos，

令2kπ≤ωx＋≤π＋2kπ(k∈Z)，

解得－＋≤x≤＋(k∈Z)，

∴解得ω≤，又ω>0，

则0<ω≤.

14．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)·|sin x－cos x|，下列说法正确的序号是________．

①f(x)是周期函数；

②f(x)在区间上单调递增；

③若＋＝2，则x1＋x2＝(k∈Z)；

④函数g(x)＝f(x)＋1在区间[0,2π]上有且仅有1个零点．

答案　①③

解析　①显然2π是函数f(x)的周期，所以f(x)是周期函数是正确的；

②由题意得f(0)＝1，f ＝1，

所以函数f(x)在区间上单调递增是错误的；

③由题意得|f(x)|＝|sin x＋cos x||sin x－cos x|＝|cos 2x|≤1，

因为＋＝2，

所以只能有|f(x1)|＝|f(x2)|＝1，

所以|cos 2x1|＝1，|cos 2x2|＝1，

所以2x1＝k1π，2x2＝k2π，k1，k2∈Z，

所以x1＋x2＝＝(k∈Z)，

所以③是正确的；

④对x分类讨论，当x∈时，f(x)＝cos 2x，f(x)＋1＝0，所以cos 2x＝－1，显然无解；

当x∈时，f(x)＝－cos 2x，f(x)＋1＝0，

所以cos 2x＝1，

所以x＝π；

当x∈时，f(x)＝cos 2x，f(x)＋1＝0，

所以cos 2x＝－1，

所以x＝.

所以④错误．