【最新版】高中数学高三培优小题练第12练　函数的零点与方程的根

第12练　函数的零点与方程的根

考点一　函数零点所在区间的判定

1．函数f(x)＝lg x－的零点所在区间为(　　)

A．(0,1)   B．(1,2)

C．(2,3)   D．(3,4)

答案　B

解析　因为函数f(x)＝lg x－，

所以f(1)＝lg 1－＝－<0，

f(2)＝lg 2－＝lg 2－>0，

所以f(1)·f(2)<0，

由零点存在定理可知，零点在区间(1,2)内．

2．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x＋x－4的零点，则g等于(　　)

A．4  B．5  C．2  D．3

答案　C

解析　函数f(x)＝ln x＋x－4在(0，＋∞)上单调递增，

且f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>0，

所以函数f(x)存在唯一的零点x0∈(2,3)，

故g(x0)＝2.

3．若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)在区间(0,1)上不一定有零点

B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点

C．f(x)在区间(1,2)上可能有零点

D．f(x)在区间(1,2)上一定有零点

答案　C

解析　因为f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，

所以f(0)·f(1)<0，

因为函数f(x)的图象在R上连续不断，

由零点存在定理，可得f(x)在区间上一定有零点．

又f(1)·f(2)>0，

因此无法判断f(x)在区间上是否有零点，故选C.

考点二 　函数零点个数的判定

4．函数f(x)＝的零点的个数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　C

解析　当x≤－2时，令f(x)＝x2＋4x＋3＝0，

解得x＝－3或x＝－1，

∵x≤－2，

∴x＝－3.

当x>－2时，令f(x)＝lg＝0，

解得x＝－.

综上，f(x)有2个零点．

5．函数f(x)＝2x－的零点的个数为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

答案　B

解析　当x<0时，f(x)＝2x－>0恒成立，无零点；又易知f(x)＝2x－在(0，＋∞)上单调递增，最多有一个零点．又f ＝－2<0，f(1)＝2－1>0，所以有一个零点．

6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log4|x||的零点个数为(　　)

A．2  B．4  C．6  D．8

答案　D

解析　令y＝f(x)－|log4|x||＝0，

得f(x)＝|log4|x||，

在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝|log4|x||的图象，如图所示，

因为函数y＝f(x)－|log4|x||的零点个数，即为函数y＝f(x)与y＝|log4|x||图象的交点个数，

由图象知，共有8个交点．

考点三　函数零点的应用

7．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是(　　)

A．(7，＋∞)

B．(－∞，－1)

C．(－∞，－1)∪(7，＋∞)

D．(－1,7)

答案　D

解析　∵y＝2x和y＝－在(0，＋∞)上都是增函数，

∴f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上是增函数，

∴只需f(1)·f(3)<0即可，即(－1－a)·(7－a)<0，解得－1<a<7.

8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a有2个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,2]   B．(－∞，0)∪{2}

C．(－∞，0)   D．(－∞，2]

答案　B

解析　当x≤0时，函数f＝x3－3x，

可得f′(x)＝3x2－3，

当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；

当x∈(－1,0]时，f′(x)<0，

所以f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0]上单调递减，所以当x≤0时，f(x)max＝f(－1)＝－1＋3＝2.

由此可得f(x)的图象如图所示，

若函数g(x)＝f(x)－a有2个零点，则y＝f(x)的图象与直线y＝a有2个交点，

由图象可知，a<0或a＝2.

9．已知函数f(x)＝有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

答案　[1，＋∞)

解析　由对数函数和二次函数知，

log2(x＋a)＝0在(－∞，0]上有一个根．

解得x＋a＝1，即x＝1－a.

因为1－a≤0，所以a≥1.

则x2－3ax＋a＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的根．

即

解得a>.综上，a≥1.

10．已知函数f(x)＝－2ax恰有三个零点，则实数a的取值范围为____________．

答案　

解析　如图，函数f(x)恰有三个零点，等价于方程＝2ax有三个解，

即函数y＝与函数y＝2ax的图象有三个交点，

又y＝2ax为过原点的直线，

由图可知，当a≤0时，函数y＝的图象与函数y＝2ax的图象没有三个交点，不满足条件．

当a>0时， 当且仅当y＝2ax为y＝ln x的切线时，方程＝2ax恰有两个解，

所以令y＝2ax为y＝ln x的切线，

设切点为A，

则切线的方程为y－ln x0＝，

由于切线过原点，所以ln x0＝1，

即x0＝e，此时直线的斜率为，

由题意知，当0<2a<，即a∈时，函数f(x)有三个零点．

11．(2022·郑州模拟)函数f(x)＝则函数g(x)＝3f2(x)－8f(x)＋4的零点个数是(　　)

A．5  B．4  C．3  D．2

答案　A

解析　由题设，令g(x)＝3f2(x)－8f(x)＋4＝[3f(x)－2][f(x)－2]＝0，

∴f(x)＝或f(x)＝2，

根据f(x)的解析式，当x≤0时，f(x)单调递增且值域为(0,1]；当0<x≤1时，f(x)单调递减且值域为(0，＋∞)；当x>1时，f(x)单调递增且值域为(0，＋∞)，f(x)函数图象如图所示，

∴当f(x)＝时，有3个零点；

当f(x)＝2时，有2个零点．

∴g(x)共有5个零点．

12．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分成两组，选其中一组

4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过____次检测(　　)

A．3  B．4  C．6  D．7

答案　B

解析　先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测．继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测．选认定的这组的2人中一人进行样本混合检查，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测．所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．

13．已知函数f(x)＝2x＋log2x，且实数a>b>c>0，满足f(a)f(b)f(c)<0，若实数x0是函数y＝f(x)的一个零点，那么下列不等式中一定不成立的是(　　)

A．x0<a   B．x0>a

C．x0<b   D．x0<c

答案　D

解析　由函数的单调性可得，

函数f(x)＝2x＋log2x在上为增函数，

由f(a)f(b)f(c)<0,

则f(a)，f(b)，f(c)为负数的个数为奇数，

选项A，B，C可能成立；

对于选项D，当x0<c时，

由函数的单调性可得f(a)>0，f(b)>0，f(c)>0，

即不满足f(a)f(b)f(c)<0，

故选项D不可能成立．

14．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的所有零点之和为________．

答案　－1

解析　由g(x)＝f(x)－＝0，得f(x)＝，

则g(x)＝f(x)－的零点就是f(x)的图象与直线y＝的交点的横坐标．

由已知，可画出f(x)的图象与直线y＝(如图)，

根据y＝|x－3|－1的对称性可知xD＋xE＝6，同理可得xA＋xB＝－6，则xA＋xB＋xD＋xE＝0，从而xA＋xB＋xC＋xD＋xE＝xC，即y＝与y＝log2(x＋1)(0≤x<1)的交点的横坐标．

由log2(x＋1)＝，解得xC＝－1，

即g(x)＝f(x)－的所有零点之和为－1.