【最新版】高中数学高三培优小题练第32练　函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象与性质

第32练　函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图象与性质

考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及其变换

1．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式是(　　)

A．y＝sin   B．y＝sin

C．y＝sin   D．y＝sin

答案　C

解析　将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin，

再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式是y＝sin.

2．(2022·云南师大附中模拟)函数y＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则ω的一个可能取值是(　　)

A．2  B.  C.  D.

答案　B

解析　y＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得y＝sin，

因为其图象关于y轴对称，

所以＝＋kπ，k∈Z，

所以ω＝＋3k，k∈Z.令k＝0，得ω＝.

3．(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　)

A．sin   B．sin

C．sin   D．sin

答案　B

解析　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sin

y＝sin的图象f(x)＝sin的图象．

考点二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

4．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________.

答案　－

解析　方法一　(五点作图法)由题图可知T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，得T＝π，所以＝π，即ω＝2.

故f(x)＝2cos(2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，

即f(x)＝2cos，

所以f ＝2cos＝－.

方法二　(平移法)由题意知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，

所以T＝π，＝π，

即ω＝2.函数y＝2cos 2x的图象与x轴的一个交点是，

对应函数f(x)＝2cos (2x＋φ)的图象与x轴的一个交点是，

所以f(x)＝2cos(2x＋φ)的图象是由y＝2cos 2x的图象向右平移－＝个单位长度得到的，

所以f(x)＝2cos(2x＋φ)＝2cos＝2cos，

所以f＝2cos＝－2cos＝－.

5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f(x)图象上的点，K，L是函数f(x)的图象与x轴的交点，且△KLM为等腰直角三角形，则f(x)＝________.

答案　cos πx

解析　由题图得A＝，∵f(x)为偶函数，

∴φ＝kπ＋，k∈Z，

∵0<φ<π

∴φ＝，

∴f(x)＝sin，

∵△KLM为等腰直角三角形，

∴×＝可得ω＝π，

∴f(x)＝cos πx.

6．(2022·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝cos x与g(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象有一个横坐标为的交点，若函数g(x)的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)倍后，得到函数h(x)的周期为2π，则h的值为________．

答案　1

解析　因为f ＝cos ＝，且f(x)与g(x)的图象有一个横坐标为的交点，

所以g＝sin＝⇒＋φ＝＋2kπ(k∈Z)或＋2kπ(k∈Z)，

解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)或＋2kπ(k∈Z)，又0<φ<π，

所以φ＝，则g(x)＝sin，

根据题意h(x)＝sin，

因为h(x)的周期为2π，所以T＝＝2π⇒ω＝，

所以h(x)＝sin，h＝sin ＝1.

考点三　三角函数图象、性质的综合应用

7．已知函数f(x)＝3cos，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为(　　)

A．4  B．1  C.  D．2

答案　D

解析　对任意的x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，

所以f(x1)＝f(x)min＝－3，f(x2)＝f(x)max＝3，

所以|x1－x2|min＝＝2.

8．把函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向左平移个单位长度，则所得图象(　　)

A．在上单调递增

B．关于点对称

C．最小正周期为4π

D．关于y轴对称

答案　A

解析　将y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，

得到函数y＝sin的图象，再将图象向左平移个单位长度，

得到函数y＝sin ，

即y＝sin的图象．

显然函数是非奇非偶函数，最小正周期为π，排除选项C，D；

令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－＋(k∈Z)，不关于点对称，排除选项B；

令－＋2kπ<2x＋<＋2kπ (k∈Z)，

得－＋kπ<x<＋kπ(k∈Z)，

所得函数在上单调递增，故A正确．

9．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于(　　)

A．1   B.

C.   D.

答案　D

解析　由图象得A＝1，＝＝－，解得ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，点相当于y＝sin x中的(π，0)，代入点可得sin＝0，∴＋φ＝π，∴φ＝，

∴f(x)＝sin，∴sin＝1，

即图中最高点的坐标为.

又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，

∴x1＋x2＝×2＝，

∴f(x1＋x2)＝sin＝.

10．(2022·连云港质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移α(α>0)个单位长度后，所得图象关于直线x＝对称，则α的最小值为________．

答案　

解析　根据函数

f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，

可得A＝1，·＝－，求得ω＝2.

根据图象可得，函数过，

所以f ＝sin＝0，

即2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，

故有f(x)＝sin.

将函数f(x)的图象向左平移α(α>0)个单位长度后，得到函数y＝sin的图象，

由所得图象关于直线x＝对称，

可得2×＋2α＋＝kπ＋，k∈Z，

即2α＝kπ－，k∈Z.因为α>0，

所以当k＝2时，可得α的最小值为.

11．若函数f(x)＝2sin(2x＋φ)在x＝处有最小值，为了得到g(x)＝2cos 2x的图象，则只需将f(x)的图象(　　)

A．向右平移个单位长度

B．向左平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

答案　C

解析　因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)在x＝处有最小值，

所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，

可得φ＝＋2kπ(k∈Z)，

因为φ∈，

所以φ＝，

所以f(x)＝2sin

＝2cos＝2cos

＝2cos，

将f(x)＝2cos＝2cos 2的图象向左平移个单位长度可得

y＝2cos 2＝2cos 2x＝g(x)的图象．

12．将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g(x)的图象．若g(x1)g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x2－x1的最大值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　由题意可得g(x)＝f ＋1

＝2sin＋1，所以g(x)max＝3.

又g(x1)g(x2)＝9，所以g(x1)＝g(x2)＝3.

由g(x)＝2sin＋1＝3，

得2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)．

因为x1，x2∈[－2π，2π]，

所以(2x2－x1)max＝2×－＝，故选C.

13．函数f(x)＝2sin(ω>0)，在x∈[0,1]上恰好取得5个最大值，则实数ω的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　设f(x)＝2，所以ωx＋＝＋2kπ，k∈Z，

解得x＝，k∈Z，

所以满足0≤x＝≤1的k(k∈Z)值恰好只有5个，

因为－≤k≤－，k∈Z，

所以k的取值可能为0,1,2,3,4，

由 ⇒ ⇒ ω∈.

14．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件>0的最小正整数x为________．

答案　2

解析　由题图可知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)，得T＝π，

所以ω＝2，

所以f(x)＝2cos(2x＋φ)．

点可看作“五点作图法”中的第二个点，

则2×＋φ＝，得φ＝－，

所以f(x)＝2cos，

所以f ＝2cos

＝2cos＝2cos ＝1，

f ＝2cos＝2cos ＝0，

所以>0，

即[f(x)－1]·f(x)>0，

可得f(x)>1或f(x)<0，

所以cos>或cos<0.当x＝1时，2x－＝2－∈，

cos∈，不符合题意；

当x＝2时，2x－＝4－∈，cos<0，符合题意．

所以满足题意的最小正整数x为2.