【最新版】高中数学高三培优小题练第23练　高考大题突破练——零点问题

第23练　高考大题突破练——零点问题

考点一　判断、证明或讨论函数零点个数

1．已知f(x)＝x－aex，a∈R.

(1)当a＝时，证明：f(x)＋ln x－x＋1≤0在(0，＋∞)上恒成立；

(2)讨论函数f(x)的零点个数．

(1)证明　当a＝时，f(x)＋ln x－x＋1≤0，

即－＋ln x＋1≤0，亦即－ln x－1≥0.

设g(x)＝－ln x－1，x>0，且g(1)＝0，

g′(x)＝－，令t(x)＝－，

则t′(x)＝＋>0，故g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g′(1)＝0，

∴当0<x<1时，g′(x)<0，故g(x)单调递减；

当x>1时，g′(x)>0，故g(x)单调递增，

∴g(x)min＝g(1)＝0，即g(x)＝－ln x－1≥0，

∴f(x)＋ln x－x＋1≤0在(0，＋∞)上恒成立．

(2)解　f(x)＝0等价于x－aex＝0，即＝a，

设h(x)＝，则h′(x)＝，

当x<1时，h′(x)>0，h(x)单调递增；

当x>1时，h′(x)<0，h(x)单调递减，

∴h(x)max＝h(1)＝，

又当x<0时，h(x)<0，且x→－∞时，h(x)→－∞；

当x>0时，h(x)>0，且x→＋∞时，h(x)→0，

∴当a≤0或a＝时，f(x)在R上有唯一零点，

当a>时，f(x)在R上无零点，

当0<a<时，f(x)在R上有两个零点．

2．已知函数f(x)＝(2－a)cos x－xsin x.

(1)当a＝0时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)当1<a<2，x∈时，证明：函数f(x)有两个零点．

(1)解　当a＝0时，函数f(x)＝2cos x－xsin x，f(0)＝2.

f′(x)＝－2sin x－sin x－xcos x＝－3sin x－xcos x,

所以切线的斜率k＝f′(0)＝0,

所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2.

(2)证明　f′(x)＝(a－3)sin x－xcos x，

因为1<a<2，当x∈时，f′(x)≤0，仅在x＝0处f′(x)＝0，其余各处f′(x)<0，

所以f(x)在上单调递减，

因为f(0)＝2－a>0，f＝－<0,

所以存在唯一x0∈，使得f(x0)＝0，

即f(x)在上有且只有一个零点，

因为f(－x)＝(2－a)cos(－x)＋xsin(－x)

＝(2－a)cos x－xsin x＝f(x)，

所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，

所以f(x)在上有且只有一个零点，

所以f(x)在上有两个零点．

考点二　已知零点个数求参数

3．(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)．

(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；

(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．

解　(1)当a＝2时，f(x)＝(x>0)，

f′(x)＝(x>0)，

令f′(x)>0，则0<x<，此时函数f(x)单调递增，

令f′(x)<0，则x>，此时函数f(x)单调递减，

所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，

可转化为方程＝1(x>0)有两个不同的解，即方程＝有两个不同的解．

设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝(x>0)，

令g′(x)＝＝0，得x＝e，

当0<x<e时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，

当x>e时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，

故g(x)max＝g(e)＝，

且当x>e时，g(x)∈，

又g(1)＝0，所以0<<，所以a>1且a≠e，

即a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞)．

4．已知函数f＝ln x－ax.

(1)若曲线y＝f与直线x－y－1＝0相切，求实数a的值；

(2)若函数y＝f有两个零点x1，x2，证明：＋>2.

(1)解　由f＝ln x－ax，得f′＝－a，设切点横坐标为x0，依题意得

解得a＝0，x0＝1.

(2)证明　不妨设0<x1<x2，

由

得ln x2－ln x1＝a，

即＝，

所以＋－2＝＋－2

＝－2

＝，

设t＝>1，则ln>0，－－2ln＝t－－2ln t，

设g＝t－－2ln t，则g′＝>0，

即函数g在上单调递增，

所以g>g＝0，从而>0，

即＋>2.