【最新版】高中数学高三培优小题练第78练　高考大题突破练——范围与最值问题

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考点一 范围问题
1. 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1,0)，点P是其渐近线上的一点，且以PF为直径的圆过点A，|PO|＝2，点O为坐标原点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当点P在x轴上方时，过点P作y轴的垂线与y轴相交于点B，设直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围．
解 (1)∵F(－c,0)，A(a,0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，
以PF为直径的圆过点A，∴PA⊥AF，
不妨取点P在y＝eq \f(b,a)x上，设点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t，\f(b,a)t))，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－a，\f(bt,a)))，eq \(FA,\s\up6(→))＝(a＋c,0)，
∵PA⊥AF，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(FA,\s\up6(→))＝(t－a)(a＋c)＝0，可得t＝a，则点P(a，b)，
∵|PO|＝2，则a2＋b2＝4，
∵a＝1，则b2＝3，
∴双曲线C的标准方程为x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)由题意可知B(0，eq \r(3))，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
线段MN的中点为Q(x0，y0)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,x2－\f(y2,3)＝1，))得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，
依题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－k2≠0，,Δ＝－2km2－43－k2－m2－3>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－k2≠0，,3＋m2－k2>0，))①
由根与系数的关系可得x1＋x2＝eq \f(2km,3－k2)，x1x2＝－eq \f(m2＋3,3－k2)，
则x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(km,3－k2)，y0＝kx0＋m＝eq \f(3m,3－k2)，
∵|BM|＝|BN|，
∴BQ⊥MN，
∴kBQ＝eq \f(y0－\r(3),x0)＝eq \f(\f(3m,3－k2)－\r(3),\f(km,3－k2))＝－eq \f(1,k)，
∴3－k2＝eq \f(4\r(3),3)m，②
又k2＝3－eq \f(4\r(3),3)m>0，③
由①②③得m<－eq \f(4\r(3),3)或02．(2022·天津南开区模拟)设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.已知C的离心率为eq \f(1,2)，过焦点F2的直线l交C于A，B两点，当焦点F1到直线l的距离最大时，恰有|AF2|＝eq \f(3,2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(a，b)且斜率为eq \r(3)的直线交C于E，F两点，E在第一象限，点P在C上．若线段EF的中点为M，线段EM的中点为N，求eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围．
解 (1)设椭圆C的半焦距为c，当焦点F1到直线l的距离取最大值时有l⊥x轴，此时|AF2|＝eq \f(b2,a)＝eq \f(3,2).①
又C的离心率e＝eq \f(1,2)，即e2＝eq \f(c2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2，②
∴联立①②，得a2＝4，b2＝3.
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)依题意及(1)得，直线EF为y－eq \r(3)＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2))，即y＝eq \r(3)x－eq \r(3).
由E，F为直线交椭圆C的两个交点，且点E在第一象限，联立直线EF与椭圆方程，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x－\r(3)，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))可得Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(3\r(3),5)))，F(0，－eq \r(3))，
又线段EF的中点为M，线段EM的中点为N，
∴M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(\r(3),5)))，点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(\r(3),5))).
设点P的坐标为(x0，y0)，则－2≤x0≤2，且eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)－x0，－\f(\r(3),5)－y0))，eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)－x0，\f(\r(3),5)－y0))，
∴eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－2x0＋eq \f(21,25).③
由P在椭圆C上，即eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，
则yeq \\al(2,0)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),4)))，④
将④代入③，得eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝xeq \\al(2,0)＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),4)))－2x0＋eq \f(21,25)＝eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)－2x0＋eq \f(96,25)＝eq \f(1,4)(x0－4)2－eq \f(4,25)，又－2≤x0≤2，
∴当x0＝2时，eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))取得最小值eq \f(21,25)；当x0＝－2时，eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))取得最大值eq \f(221,25).
故所求eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(21,25)，\f(221,25))).
考点二 最值问题
3．已知抛物线N：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2.
(1)求抛物线N的方程；
(2)点M(2,2)和点C(2,1)为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上(O为坐标原点)，求△ABC面积的最大值．
解 (1)由题意得抛物线N的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
在方程y2＝2px中，令x＝eq \f(p,2)，可得y＝±p，
所以弦长为2p，即2p＝2，解得p＝1，
所以抛物线N的方程为y2＝2x.
(2)由(1)知抛物线N的方程为y2＝2x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
因为线段AB的中点Q在直线OM上，
由M(2,2)可知直线OM的方程为y＝x，
设Q(m，m)(m≠0)，又A，B在抛物线N上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝2x1，,y\\al(2,2)＝2x2，))
所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，
又y1＋y2＝2m，eq \f(y1－y2,x1－x2)＝k，
所以km＝1，即得k＝eq \f(1,m)，
设直线AB的方程为y－m＝eq \f(1,m)(x－m)，
即x－my＋m2－m＝0，联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－my＋m2－m＝0，,y2＝2x，))
整理得y2－2my＋2m2－2m＝0，
所以Δ＝8m－4m2>0，即0由根与系数的关系得y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－2m，
则|AB|＝eq \r(1＋m2)|y1－y2|＝eq \r(1＋m2)·eq \r(y1＋y22－4y1y2)
＝eq \r(1＋m2)·eq \r(4m2－42m2－2m)
＝2eq \r(1＋m2)·eq \r(2m－m2)，
又由点C到直线AB的距离为d＝eq \f(|2－2m＋m2|,\r(1＋m2))，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)|AB|·d
＝eq \f(1,2)×2eq \r(1＋m2)·eq \r(2m－m2)×eq \f(|2－2m＋m2|,\r(1＋m2))
＝eq \r(2m－m2)×|2－2m＋m2|，
记t＝eq \r(2m－m2)，因为0所以S△ABC＝t(2－t2)＝－t3＋2t，t∈(0,1]，
令f(t)＝－t3＋2t，t∈(0,1]，
可得f′(t)＝－3t2＋2，
令f′(t)＝0，可得t＝eq \f(\r(6),3)，
当t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),3)))时，f′(t)>0；
当t∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，1))时，f′(t)<0，所以当t＝eq \f(\r(6),3)时，
f(t)取得最大值eq \f(4\r(6),9)，
即S△ABC有最大值为eq \f(4\r(6),9).
4．(2022·南京模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，椭圆的中心O到直线x＋y－2b＝0的距离为5eq \r(2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过椭圆C的右焦点F且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点，对于椭圆C上任意一点M，若eq \(OM,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，求λμ的最大值．
解 (1)∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，
∴c2＝eq \f(3,4)a2，
∴b2＝a2－c2＝eq \f(1,4)a2.
∵椭圆的中心O到直线x＋y－2b＝0的距离为5eq \r(2)，
∴eq \f(|－2b|,\r(2))＝5eq \r(2)，
∴b＝5.
∴b2＝25，a2＝4b2＝100.
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,25)＝1.
(2)由(1)可知F(5eq \r(3)，0)，由题可知直线AB的方程为y＝x－5eq \r(3)，与椭圆C的方程联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－5\r(3)，,\f(x2,100)＋\f(y2,25)＝1，))
∴x2－8eq \r(3)x＋40＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1＋x2＝8eq \r(3)，x1x2＝40.
设M(x，y)，由eq \(OM,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))得(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)＝(λx1＋μx2，λy1＋μy2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝λx1＋μx2，,y＝λy1＋μy2，))
又∵点M在椭圆上，
∴x2＋4y2＝100，
∴(λx1＋μx2)2＋4(λy1＋μy2)2＝100，
∴λ2(xeq \\al(2,1)＋4yeq \\al(2,1))＋μ2(xeq \\al(2,2)＋4yeq \\al(2,2))＋2λμ(x1x2＋4y1y2)＝100.①
∵点A，B在椭圆上，
∴xeq \\al(2,1)＋4yeq \\al(2,1)＝100，xeq \\al(2,2)＋4yeq \\al(2,2)＝100.②
∵x1x2＋4y1y2＝x1x2＋4(x1－5eq \r(3))(x2－5eq \r(3))＝5x1x2－20eq \r(3)(x1＋x2)＋300＝20.③
将②③代入①，可得λ2＋μ2＋eq \f(2λμ,5)＝1，
∵λ2＋μ2＋eq \f(2λμ,5)≥2λμ＋eq \f(2λμ,5)＝eq \f(12,5)λμ，
∴λμ≤eq \f(5,12)，当且仅当λ＝μ时取“＝”．
∴λμ的最大值为eq \f(5,12).