【最新版】高中数学高三培优小题练第94练　高考大题突破练——概率与统计

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考点一 离散型随机变量及其分布列
1．(2022·重庆模拟)某中学在该校高一年级开设了选修课《中国数学史》．经过一年的学习，为了解同学们在数学史课程的学习后，学习数学的兴趣是否浓厚，该校随机抽取了200名高一学生进行调查，得到统计数据如下：
(1)求2×2列联表中的数据x，y，m，n的值，并确定能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为对数学兴趣浓厚与选学《中国数学史》课程有关；
(2)在选学了《中国数学史》的120人中按对数学是否兴趣浓厚，采用分层抽样的方法抽取12人，再从12人中随机抽取3人做进一步调査．若初始总分为10分，抽到的3人中，每有一人对数学兴趣薄弱减1分，每有一人对数学兴趣浓厚加2分．设得分结果总和为X，求X的分布列和均值．
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)，n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由题意得x＝60，y＝20，m＝40，n＝80.则K2＝eq \f(200×100×20－20×602,160×40×120×80)＝eq \f(25,12)≈2.083>2.072，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为对数学兴趣浓厚与选学《中国数学史》课程有关．
(2)在选学了《中国数学史》的120人中按对数学是否兴趣浓厚，采用分层抽样的方法抽取12人，可知其中对数学兴趣浓厚有10人，对数学兴趣薄弱有2人，再从12人中抽取3人，当这3人中恰有2人对数学兴趣薄弱时，X＝10；当这3人中恰有1人对数学兴趣薄弱时，X＝13；当这3人都对数学兴趣浓厚时，X＝16，
故P(X＝10)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,10),C\\al(3,12))＝eq \f(1,22)，
P(X＝13)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,10),C\\al(3,12))＝eq \f(9,22)，
P(X＝16)＝eq \f(C\\al(0,2)C\\al(3,10),C\\al(3,12))＝eq \f(6,11)，
所以X的分布列为
X的均值E(X)＝10×eq \f(1,22)＋13×eq \f(9,22)＋16×eq \f(6,11)＝eq \f(29,2).
考点二 用样本估计总体
2．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2 000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65,75)，第二组[75,85)，…，第八组[135,145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
(1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；
(2)用样本数据估计该校的2 000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值)；
(3)若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．
解 (1)由频率分布直方图得第七组的频率为
1－(0.004＋0.012＋0.016＋0.030＋0.020＋0.006＋0.004)×10＝0.08.
完成频率分布直方图如图所示．
(2)用样本数据估计该校的2 000名学生这次考试成绩的平均分为
70×0.004×10＋80×0.012×10＋90×0.016×10＋100×0.030×10＋110×0.020×10＋120×0.006×10＋130×0.008×10＋140×0.004×10＝102.
(3)样本成绩属于第六组的有0.006×10×50＝3(人)，样本成绩属于第八组的有0.004×10×50＝2(人)，
从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，
基本事件总数n＝10，
他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数m＝4，
∴他们的分差的绝对值小于10分的概率
p＝eq \f(m,n)＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).
考点三 回归分析
3．新个体经济是中国经济社会数字化转型条件下出现的新生事物，指微商电商、网络直播、职业创作者等，下表是2022年1至4月份某市新增“微商电商”的统计数据：
(1)请利用所给数据求新增微商电商个数y与月份x之间的线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，并预测该市2022年5月新增“微商电商”的个数(结果用四舍五入法保留整数)；
(2)一般认为当|r|≥0.9时，线性回归方程的拟合效果非常好；当0.75≤|r|<0.9时，线性回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．
参考公式：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x)\x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)，
r＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x)\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2\i\su(i＝1,n,y)\\al(2,i)－n\x\t(y)2))
＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2))，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)，
参考数据：eq \r(290)≈17.029 4，eq \r(330)≈18.165 9，eq \r(370)≈19.235 4.
解 (1)eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4,4)＝eq \f(5,2)，
eq \x\t(y)＝eq \f(90＋105＋125＋140,4)＝115，
则eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\t(x)\x\t(y),\i\su(i＝1,4,x)\\al(2,i)－4\x\t(x)2)＝eq \f(1 235－1 150,30－25)＝17，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝115－17×eq \f(5,2)＝72.5，
故所求线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝17x＋72.5，
令x＝5，则eq \(y,\s\up6(^))＝17×5＋72.5＝157.5≈158(个)，
预测该市2022年5月新增“微商电商”的个数约为158.
(2)eq \i\su(i＝1,4,x)iyi－4eq \x\t(x)eq \x\t(y)＝1 235－1 150＝85，
eq \i\su(i＝1,4,x)eq \\al(2,i)－4eq \x\t(x)2＝5，eq \i\su(i＝1,4,y)eq \\al(2,i)－4eq \x\t(y)2＝1 450，
所以r＝eq \f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\t(x)\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,4,x)\\al(2,i)－4\x\t(x)2\i\su(i＝1,4,y)\\al(2,i)－4\x\t(y)2))＝eq \f(17,\r(290))
≈eq \f(17,17.029 4)≈0.998>0.9.
故该线性回归方程的拟合效果非常好．
4．(2022·兰州模拟)2021年五一期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握五一期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了5月
1日上午9：20～10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如图所示，其中时间段9：20～9：40记作区间[20,40)，9：40～10：00记作[40,60)，10：00～10：20记作[60,80)，10：20～10：40记作[80,100]．例如：10点04分，记作时刻64.
(1)估计这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点数代表)；
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与均值；
(3)由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ可用这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)，已知5月5日全天共有1 000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数(结果保留到整数)．
参考数据：若T～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解 (1)由题意，得这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均数为
(30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，即10点04分．
(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20,60)这一区间内的车辆数，即(0.005＋0.015)×20×10＝4，所以X的可能取值为0,1,2,3,4.
所以P(X＝0)＝eq \f(C\\al(4,6),C\\al(4,10))＝eq \f(1,14)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(3,6)C\\al(1,4),C\\al(4,10))＝eq \f(8,21)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),C\\al(4,10))＝eq \f(3,7)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(3,4),C\\al(4,10))＝eq \f(4,35)，
P(X＝4)＝eq \f(C\\al(0,6)C\\al(4,4),C\\al(4,10))＝eq \f(1,210)，
所以X的分布列为
所以E(X)＝0×eq \f(1,14)＋1×eq \f(8,21)＋2×eq \f(3,7)＋3×eq \f(4,35)＋4×eq \f(1,210)＝eq \f(8,5).
(3)由(1)可得μ＝64，
σ2＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324，
所以σ＝18.
估计在9：46～10：40这一时间段内通过的车辆数，也就是46由T～N(μ，σ2)，得
P(64－18所以估计在9：46～10：40这一时间段内通过的车辆数为1 000×0.818 6≈819(辆)．对数学兴
趣浓厚
对数学兴
趣薄弱
总计
选学了《中国数学史》
100
20
120
未选学《中国数学史》
x
y
n
总计
160
m
200
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
X
10
13
16
P
eq \f(1,22)
eq \f(9,22)
eq \f(6,11)
月份
1
2
3
4
新增微商电商个数
90
105
125
140
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,14)
eq \f(8,21)
eq \f(3,7)
eq \f(4,35)
eq \f(1,210)