河南省鹤壁市淇滨区2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试卷(word版含答案)

这是一份河南省鹤壁市淇滨区2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试卷(word版含答案)，共24页。试卷主要包含了填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年河南省鹤壁市淇滨区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内.
1．（3分）目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻．体温T超过37.3℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.3℃”用不等式表示为（　　）
A．T＞37.3℃ B．T＜37.3℃ C．T≤37.3℃ D．T≤﹣37.3℃
2．（3分）2022年北京将举办冬奥会和冬残奥会．下列冬奥元素中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　）

A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O
C．∠AOB＝∠A′OB′ D．∠ACB＝∠C′A′B′
5．（3分）小飞家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，后来发现，只用一种正八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种形状的地砖混合使用，要使地面铺满，小飞选择的另一种地砖的形状应是（　　）
A．正方形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形
6．（3分）在中央电视台“开心辞典“节目中，某期的一道题目是：如图，两个天平都平衡，则1个苹果的重量是1个香蕉重量的（　　）

A．倍 B．倍 C．2倍 D．3倍
7．（3分）如图，是多功能扳手和各部分功能介绍的图片．阅读功能介绍，计算图片中∠α的度数为（　　）

A．60° B．120° C．135° D．150°
8．（3分）如图，∠C＝90°，将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移5cm，得到三角形A′B′C，已知BC＝3cm，AC＝4cm，AB＝5cm，则阴影部分的周长为（　　）

A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm
9．（3分）《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？……”其大意是：今有绢与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢与布各有多少．设绢有x疋，布有y疋，依据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（　　）

A．30° B．45° C．55° D．60°
二、填空题（每小题3分，共15分）.
11．（3分）已知关于x的一元一次方程2x+m＝1的解是x＝﹣1，则m的值为 　 　．
12．（3分）如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片，旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转 　 　°．

13．（3分）如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠l，∠2，∠3分别是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，则∠l+∠2+∠3的度数为 　 　．

14．（3分）若有理数a、b满足|2a+b﹣2|+（a﹣b+1）2＝0，则a+b的值为 　 　．
15．（3分）已知△ABC中，∠A＝α．在图1中∠B、∠C的平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C＝90°+α；在图2中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O2、O3，则∠BO3C＝　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）解不等式与方程组．
（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来；
（2）解方程组．

17．（9分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）平移△ABC，使点C平移到点C2，画出平移后的图形；
（3）四边形BCC1B1的面积为 　 　．

18．（9分）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的七折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低20元销售8件的销售额相等，求这种服装每件的标价．
19．（9分）如图，已知△ABC≌△AEF中，∠EAB＝26°，∠F＝54°．
（1）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；
（2）求∠AMB的度数．

20．（9分）2022年2月，全国爱卫会发布了关于2021年度国家卫生城镇复审结果的通报，驻马店市以优异成绩通过复审测评，再次被确认为“国家卫生城市”，在“创卫”过程中，有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米．
（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
小明同学：
设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得．
小华同学：
设整治任务完成后，m表示 　 　，n表示 　 　．
根据题意，得：．
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
（2）请从（1）中任选一个解题思路写出完整的解答过程．
21．（9分）艳艳家准备用一段长28m的篱笆围成一个三角形状的场地，用于饲养家兔．已知第二条边长为am，第二条边长是第一条边长的2倍少3m．
（1）请用a表示第三条边长；
（2）第三条边长可以为7m吗？请说明理由；
（3）如果围成的三角形是等腰三角形，直接写出a的值．
22．（10分）2021年是中国共产党建党100周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的大客车（每种型号至少一辆）送549名学生和11名教师参加此次实践活动，每辆汽车上至少要有一名教师．
甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如表所示：

甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
40
55
租金/（元/辆）
500
600
（1）共需租 　 　辆大客车；
（2）最多可以租用多少辆甲种型号大客车？
（3）有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？
23．（10分）△ABC中，∠C＝70°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．

初探：
（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝　 　；
（2）如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，∠α之间的关系为 　 　；
（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2，∠α之间的关系为 　 　；
再探：
（4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，写出此时∠1，∠2，∠α之间的关系，并说明理由．



2021-2022学年河南省鹤壁市淇滨区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内.
1．（3分）目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻．体温T超过37.3℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.3℃”用不等式表示为（　　）
A．T＞37.3℃ B．T＜37.3℃ C．T≤37.3℃ D．T≤﹣37.3℃
【分析】根据题意可知，体温超过37.3℃，说明体温大于37.3℃，从而可以用相应的不等式表示出来．
【解答】解：体温“超过37.3℃”用不等式表示为T＞37.3℃，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式．
2．（3分）2022年北京将举办冬奥会和冬残奥会．下列冬奥元素中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式＞1，得：x＞1，
解不等式5﹣3x≥﹣1，得：x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
4．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　）

A．点A与点A′是对称点 B．BO＝B′O
C．∠AOB＝∠A′OB′ D．∠ACB＝∠C′A′B′
【分析】根据中心对称的性质判断即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴点A与A′是一组对称点，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，
∴A，B，C都不合题意．
∵∠ACB与∠C′A′B′不是对应角，
∴∠ACB＝∠C′A′B′不成立．
故选：D．
【点评】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键．
5．（3分）小飞家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，后来发现，只用一种正八边形地砖是不能铺满地面的，但可以与另外一种形状的地砖混合使用，要使地面铺满，小飞选择的另一种地砖的形状应是（　　）
A．正方形 B．正六边形 C．正十边形 D．正十二边形
【分析】正八边形的一个内角为135°，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
【解答】解：A、正方形、八边形内角分别为90°、135°，由于135°×2+90°＝360°，故能铺满；
B、正六边形和正八边形内角分别为120°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
C、正八边形、正十边形内角分别为135°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
D、正八边形的内角为135°，正十二边形的内角为150°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故选：A．
【点评】本题考查平面镶嵌（密铺），解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．
6．（3分）在中央电视台“开心辞典“节目中，某期的一道题目是：如图，两个天平都平衡，则1个苹果的重量是1个香蕉重量的（　　）

A．倍 B．倍 C．2倍 D．3倍
【分析】设一个苹果的重量为x、一个香蕉的重量为y、一个砝码的重量为z，先用含z的代数式表示x，y，再利用等式的性质计算即可求解．
【解答】解：设一个苹果的重量为x、一个香蕉的重量为y、一个砝码的重量为z，
由题意得：z＝x＝，
解得x＝y，
故选：B．
【点评】本题主要考查了等式的性质，理解题意是解题的关键．
7．（3分）如图，是多功能扳手和各部分功能介绍的图片．阅读功能介绍，计算图片中∠α的度数为（　　）

A．60° B．120° C．135° D．150°
【分析】由图可得∠α所在的图形是正六边形，根据正六边形的内角和公式可得答案．
【解答】解：由图可得，∠α所在的图形是正六边形，
正六边形的内角和是（6﹣2）×180°＝720°，
所以∠α＝720°÷6＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
8．（3分）如图，∠C＝90°，将直角三角形ABC沿着射线BC方向平移5cm，得到三角形A′B′C，已知BC＝3cm，AC＝4cm，AB＝5cm，则阴影部分的周长为（　　）

A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm
【分析】先根据平移的性质得到AA′＝BB′＝5cm，A′B′＝AB＝5cm，则CB′＝2cm，然后计算AC+CB′+A′B′+AA′即可．
【解答】解：∵直角三角形ABC沿着射线BC方向平移5cm，得到三角形A′B′C，
∴AA′＝BB′＝5cm，A′B′＝AB＝5cm，
∴CB′＝BB′﹣BC＝5﹣3＝2（cm），
∴阴影部分的周长＝AC+CB′+A′B′+AA′＝4+2+5+5＝16（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
9．（3分）《增删算法统宗》提到：“今有布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？……”其大意是：今有绢与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢与布各有多少．设绢有x疋，布有y疋，依据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】依据“今有绵与布30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯”列出方程组，此题得解．
【解答】解：根据题意得：
．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（3分）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（　　）

A．30° B．45° C．55° D．60°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式求出∠ABN，再根据角平分线的定义求出∠ABE和∠BAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．
【解答】解：根据三角形的外角性质，可得∠ABN＝∠AOB+∠BAO，
∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO，
∴∠ABE＝∠ABN，∠BAC＝∠BAO，
∴∠C＝∠ABE﹣∠BAC＝（∠AOB+∠BAO）﹣∠BAO＝∠AOB，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴∠C＝×90°＝45°．
故选：B．

【点评】本题怎样考查了三角形外角的性质，以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
二、填空题（每小题3分，共15分）.
11．（3分）已知关于x的一元一次方程2x+m＝1的解是x＝﹣1，则m的值为 　3　．
【分析】将x＝﹣1代入方程2x+m＝1，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．
【解答】解：∵关于x的一元一次方程2x+m＝1的解为x＝﹣1，
∴﹣2+m＝1，
解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
12．（3分）如图是在北京冬奥会会徽征集过程中征集到的一幅图片，旋转图片中的“雪花图案”，旋转后要与原图形重合，至少需要旋转 　60　°．

【分析】“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为60°，即可解决问题．
【解答】解：“雪花图案”可以看成正六边形，
∵正六边形的中心角为60°，
∴这个图案至少旋转60°能与原雪花图案重合．
故答案为：60．
【点评】本题考查旋转对称图形，生活中的旋转现象等知识，解题的关键是理解题意，掌握正六边形的性质，属于中考常考题型．
13．（3分）如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠l，∠2，∠3分别是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，则∠l+∠2+∠3的度数为 　180°　．

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得到以点A、点E为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：延长BA，DE，

∵AB∥ED，
∴∠4+∠5＝180°，
根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．
14．（3分）若有理数a、b满足|2a+b﹣2|+（a﹣b+1）2＝0，则a+b的值为 　　．
【分析】首先根据非负数的性质得到2a+b﹣2＝0，a﹣b+1＝0，可得出a，b的值，再代入所求的式子运算即可．
【解答】解：∵|2a+b﹣2|+（a﹣b+1）2＝0，、
∴，
解得：，
∴a+b＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，非负数的性质，解答的关键是由非负数性质得出关于a，b的二元一次方程组．
15．（3分）已知△ABC中，∠A＝α．在图1中∠B、∠C的平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C＝90°+α；在图2中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O2、O3，则∠BO3C＝　60°+α　．

【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，再由三等分角线可得∠CBO3+∠BCO3＝（∠ABC+∠ACB）＝120°﹣α，由三角形内角和定理即可求得∠BO3C．
【解答】解：∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O2、O3，
∴∠CBO3+∠BCO3＝（∠ABC+∠ACB）＝120°﹣α，
∴∠BO3C＝180°﹣（∠CBO3+∠BCO3）＝60°+α，
故答案为：60°+α．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用三等分角线．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）解不等式与方程组．
（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来；
（2）解方程组．

【分析】（1）不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）去分母：3（x+1）﹣6≤2（2x﹣1），
去括号得：3x+3﹣6≤4x﹣2，
移项合并得：﹣x≤1，
解得：x≥﹣1；
；
（2）方程组整理得，
①﹣②得：﹣4y＝28，
解得y＝﹣7，
将y＝﹣7代入②得：2x﹣7＝﹣4，
解得x＝，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（9分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）平移△ABC，使点C平移到点C2，画出平移后的图形；
（3）四边形BCC1B1的面积为 　12　．

【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据平移的性质作图即可．
（3）利用梯形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．

（3）四边形BCC1B1的面积为＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、平移变换，熟练掌握平移和轴对称的性质是解答本题的关键．
18．（9分）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的七折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低20元销售8件的销售额相等，求这种服装每件的标价．
【分析】设这种服装每件的标价是x元，可得：x×10＝8（x﹣20），即可解得这种服装每件的标价是160元．
【解答】解：设这种服装每件的标价是x元，
根据题意得：x×10＝8（x﹣20），
解得x＝160，
答：这种服装每件的标价是160元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
19．（9分）如图，已知△ABC≌△AEF中，∠EAB＝26°，∠F＝54°．
（1）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；
（2）求∠AMB的度数．

【分析】（1）根据△ABC≌△AEF，∠EAB＝26°，即可确定图形所做的变换；
（2）根据全等三角形的性质可得∠C＝∠F，∠EAF＝∠BAC，进一步可得∠FAC的度数和∠C的度数，再根据三角形外角的性质可得∠AMB的度数．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△AEF，∠EAB＝26°，
∴△ABC绕点A顺时针旋转26°得到△AEF．
（2）∵△ABC≌△AEF，∠F＝54°，
∴∠C＝∠F＝54°，∠EAF＝∠BAC，
∴∠FAC＝∠EAB＝26°，
∴∠AMB＝∠C+∠FAC＝54°+26°＝80°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
20．（9分）2022年2月，全国爱卫会发布了关于2021年度国家卫生城镇复审结果的通报，驻马店市以优异成绩通过复审测评，再次被确认为“国家卫生城市”，在“创卫”过程中，有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米．
（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
小明同学：
设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得．
小华同学：
设整治任务完成后，m表示 　甲工程队工作的时间　，n表示 　乙工程队工作的时间　．
根据题意，得：．
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
（2）请从（1）中任选一个解题思路写出完整的解答过程．
【分析】（1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于x，y的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表示的意义；
（2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论．
【解答】解：（1）小明同学：
设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得；
小华同学：
设整治任务完成后，m表示甲工程队工作的时间，n表示乙工程队工作的时间．
根据题意，得：．
故答案为：甲工程队工作的时间；乙工程队工作的时间．
（2）小明同学：
设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得，
解之，得．
答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米．
小华同学：
设整治任务完成后，甲工程队工作了m天，乙工程队工作了n天，
根据题意，得，
解之，得，
∴8m＝8×15＝120，12n＝12×5＝60．
答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．（9分）艳艳家准备用一段长28m的篱笆围成一个三角形状的场地，用于饲养家兔．已知第二条边长为am，第二条边长是第一条边长的2倍少3m．
（1）请用a表示第三条边长；
（2）第三条边长可以为7m吗？请说明理由；
（3）如果围成的三角形是等腰三角形，直接写出a的值．
【分析】（1）先表示出第二条边长，作差求出第三边长；
（2）先根据a＝7，求出三边边长，根据三角形三边关系进行判断；
（3）根据题意进行分类讨论，分别求出a的值，然后可以得出三个边长，再根据三角形三边关系进行判断．
【解答】解：（1）∵第二条边长为：（2a﹣3）m，
∴第三条边长为：28﹣a﹣（2a﹣3）＝31﹣3a（m）；
（2）当31﹣3a＝7时，
三边长分别为a＝8，2a﹣3＝13，31﹣3a＝10，
符合三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，
∴第三条边长可以为7m；
（3）当a＝2a﹣3时，a＝3，三边长为3、3、22，不符合三边关系；
当a＝31﹣3a时，a＝，三边长为、、，符合三边关系；
当31﹣3a＝2a﹣3时，a＝，三边长为、、，符合三边关系；
∴a＝或．
【点评】本题考查了三角形三边关系的相关问题，解题关键在于要知道在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
22．（10分）2021年是中国共产党建党100周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的大客车（每种型号至少一辆）送549名学生和11名教师参加此次实践活动，每辆汽车上至少要有一名教师．
甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如表所示：

甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
40
55
租金/（元/辆）
500
600
（1）共需租 　11　辆大客车；
（2）最多可以租用多少辆甲种型号大客车？
（3）有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？
【分析】（1）利用租用乙种型号大客车的数量＝师生人数÷每辆车的载客量，可求出租用乙种型号大客车的数量，结合共有11名教师且每辆客车上至少要有一名教师，即可得出租车数量；
（2）设租用x辆甲种型号大客车，则租用（11﹣x）辆乙种型号大客车，根据可乘坐人数＝每辆车的载客量×租车数量，结合560人都有座，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论；
（3）由（2）中x的取值范围结合x为正整数，即可得出各租车方案，利用总租金＝每辆车的租金×租车数量，可分别求出选择各方案所需租车费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）∵549+11＝560（人），560÷55＝10（辆）……10（人），10+1＝11（辆），且共有11名教师，每辆客车上至少要有一名教师，
∴共需租11辆大客车．
故答案为：11．
（2）设租用x辆甲种型号大客车，则租用（11﹣x）辆乙种型号大客车，
依题意得：40x+55（11﹣x）≥560，
解得：x≤3．
答：最多可以租用3辆甲种型号大客车．
（3）∵x≤3，且x为正整数，
∴x＝1或2或3，
∴有3种租车方案，
方案1：租用1辆甲种型号大客车，10辆乙种型号大客车；
方案2：租用2辆甲种型号大客车，9辆乙种型号大客车；
方案3：租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车．
选择方案1所需租车费用为500×1+600×10＝6500（元），
选择方案2所需租车费用为500×2+600×9＝6400（元），
选择方案3所需租车费用为500×3+600×8＝6300（元）．
∵6500＞6400＞6300，
∴租车方案3最节省钱．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）利用租用乙种型号大客车的数量＝师生人数÷每辆车的载客量，求出租用乙种型号大客车的数量；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）利用总租金＝每辆车的租金×租车数量，分别求出选择各方案所需租车费用．
23．（10分）△ABC中，∠C＝70°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．

初探：
（1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝　130°　；
（2）如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，∠α之间的关系为 　∠1+∠2∠＝70°+∠α　；
（3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2，∠α之间的关系为 　∠1﹣∠2＝70°+∠α　；
再探：
（4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，写出此时∠1，∠2，∠α之间的关系，并说明理由．


【分析】（1）连接PC，证明∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE即可；
（2）利用（1）中结论解答即可；
（3）利用三角形的外角性质求解即可；
（4）利用三角形的外角性质求解即可．
【解答】解：（1）如图，连接PC，

∵∠1＝∠DCP+∠DPC，
∠2＝∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2∠＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠CPE＝∠ACB+∠DPE＝∠ACB+∠α，
∵∠ACB＝70°，∠α＝60°，
∴∠1+∠2＝60°+70°＝130°，
故答案为：130°；
（2）由（1）可知，
∠1+∠2∠＝∠ACB+∠α＝70°+∠α，
故答案为：∠1+∠2∠＝70°+∠α；
（3）如图标记，

∵∠1＝∠C+∠CFD，
∠CFD＝∠2+∠α，
∴∠1＝70°+∠2+∠α，
即∠1﹣∠2＝70°+∠α，
故答案为：∠1﹣∠2＝70°+∠α；
（4）∠1+∠2＝430°﹣∠α，证明如下：
如图，连接CP，

∵∠1＝∠DCP+∠DPC，
∠2＝∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+360°﹣∠DPE＝70°+360°﹣∠α，
∴∠1+∠2＝430°﹣∠α．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角和性质，关键是灵活运用所学知识解答．