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河南省鹤壁市淇滨区致远中学2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷（含答案）
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这是一份河南省鹤壁市淇滨区致远中学2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷（含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省鹤壁市淇滨区致远中学九年级（上）开学数学试卷（附答案与解析）
一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1．（3分）使式子有意义的x的取值是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x＞2 D．x＜2
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．4﹣3＝1 C．+＝ D．2＝
3．（3分）直线l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）的图象如图，化简：|m﹣3|﹣得（ ）
A．3﹣m﹣n B．5 C．﹣1 D．m+n﹣5
4．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝﹣3x﹣3的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（3分）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（ ）
A．580（1+x）2＝1185 B．1185（1+x）2＝580
C．580（1﹣x）2＝1185 D．1185（1﹣x）2＝580
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（ ）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
7．（3分）如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影长为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（ ）
A．m B．m C．m D．m
8．（3分）已知在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝12，CD＝5，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．41
10．（3分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）
11．（3分）写出一个比大且比小的整数 ．
12．（3分）当x＝ 时，代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2．
13．（3分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为 米．
14．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，G为BC上一点，连接AG交DE于点F，已知AF＝2，AG＝6，EC＝5，则AC＝ ．
15．（3分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是 ．（只填序号）
三、解答题（本题共计8小题，共计75分）
16．（8分）计算：
①；
②．
17．（8分）解方程：
①x2﹣10x+24＝0；
②5x2﹣4x﹣4＝0．
18．（9分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
19．（9分）“题载思想”，马明同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自他的一篇究错日记，请你对马明所编的习题进行解答．
【错题日期】
9月18日
【错题来源】
当堂测验
【错题重现】
已知代数式2x2﹣4x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值很小，最小值是多少？
【所属考点】
配方法的应用
【错因分析】
误把代数式变形等同于方程变形，把二次项系数化为1时，直接除以二次项系数，导致本题错误．
【马明编题】
已知代数式﹣2x2+4x﹣7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？
20．（10分）如图1，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小丽从灯杆的底部B处沿直线前进4m到达D点，在D处测得自己的影长DE＝1m．小丽身高CD＝1.2m．
（1）求灯杆AB的长；
（2）若小丽从D处继续沿直线前进4m到达G处（如图2），求此时小丽的影长GH的长．
21．（10分）网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，某销售商亲自在一网络平台上进行直播销售某品牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售价不低于成本价格且不高于30元/kg．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售价x之间的函数关系式；
（2）当W＝46400元时，此时的销售单价定为多少元？
22．（10分）如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：AP＝ ，AQ＝ ．
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
23．（11分）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．
2022-2023学年河南省鹤壁市淇滨区致远中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1．（3分）使式子有意义的x的取值是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x＞2 D．x＜2
【分析】直接利用二次根式有意义的条件结合分式有意义的条件得出答案．
【解答】解：使式子有意义，则x﹣2＞0，
解得：x＞2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．4﹣3＝1 C．+＝ D．2＝
【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：A.＝2，故此选项不合题意；
B.4﹣3＝，故此选项不合题意；
C.+无法合并，故此选项不合题意；
D.2＝2×＝，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
3．（3分）直线l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）的图象如图，化简：|m﹣3|﹣得（ ）
A．3﹣m﹣n B．5 C．﹣1 D．m+n﹣5
【分析】先从一次函数的图象判断m﹣3的正负值，n﹣2的正负值，然后再化简原代数式．
【解答】解：直线l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）的图象可知，
n﹣2＜0，m﹣3＞0．
|m﹣3|﹣
＝m﹣3﹣
＝m﹣3+n﹣2
＝m+n﹣5
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的性质及其化简，绝对值的化简．
4．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝﹣3x﹣3的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】化为一般形式，求出判别式Δ即可得答案．
【解答】解：将原方程整理得x2+2x+1＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
5．（3分）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（ ）
A．580（1+x）2＝1185 B．1185（1+x）2＝580
C．580（1﹣x）2＝1185 D．1185（1﹣x）2＝580
【分析】根据降价后的价格＝原价（1﹣降低的百分率），本题可先用x表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得出方程为：1185（1﹣x）2＝580．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2＝c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（ ）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，利用根与系数的关系及一元二次方程的解，找出x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3是解题的关键．
7．（3分）如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影长为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（ ）
A．m B．m C．m D．m
【分析】由平行得到两三角形相似，根据相似三角形的对应高的比等于相似比求解．
【解答】解：设点P到AB的距离是xm
∵AB∥CD
∴△ABP∽△CDP
∴
∴x＝
故选：C．
【点评】此题主要考查相似三角形的对应高的比等于相似比．
8．（3分）已知在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【解答】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项A不符合题意；
B、不能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
9．（3分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝12，CD＝5，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．41
【分析】根据勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝＝13，
∵E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，
∴EF＝AD＝3.5，GH＝AD＝3.5，EH＝BC＝6.5，GF＝BC＝6.5，
∴四边形EFGH的周长＝3.5+3.5+6.5+6.5＝20，
故选：A．
【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF＝AB＝AD＝BD＝5且∠ABF＝∠BFD，结合角平分线可得∠CBF＝∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE＝8，由EF＝DE﹣DF可得答案．
【解答】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB＝90°，
∵AB＝10，D为AB中点，
∴DF＝AB＝AD＝BD＝5，
∴∠ABF＝∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即，
解得：DE＝8，
∴EF＝DE﹣DF＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）
11．（3分）写出一个比大且比小的整数 3或4或5 ．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可．
【解答】解：∵2＜＜3，5＜＜6，
∴比大且比小的整数有3、4、5，
故答案为：3或4或5．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
12．（3分）当x＝ ﹣1 时，代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2．
【分析】代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2，即将两式相减值为2，即可得到关于x的方程，解方程可得出答案．
【解答】解：由题意得：x2﹣3x﹣（2x2﹣x﹣1）＝2
∴可得：﹣x2﹣2x﹣1＝0
∴（x+1）2＝0，故x＝﹣1．
【点评】本题考查用开平方法解一元二次方程，注意题目中信息的提取，本题属于比较典型的题目．
13．（3分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为 7 米．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴＝，
∴AC＝7（米），
故答案为：7．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，G为BC上一点，连接AG交DE于点F，已知AF＝2，AG＝6，EC＝5，则AC＝ ．
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得到AC的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即，
∴AE＝，
∴AC＝AE+EC＝+5＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例是解答本题的关键．
15．（3分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是 ② ．（只填序号）
【分析】仿照案例，构造面积是（x+x﹣4）2的大正方形，由它的面积为4×12+42，可求出x＝6，此题得解．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣12＝0即x（x﹣4）＝12，
∴构造如图②中大正方形的面积是（x+x﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，
据此易得x＝6．
故答案为：②．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，仿照案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．
三、解答题（本题共计8小题，共计75分）
16．（8分）计算：
①；
②．
【分析】①先化简，然后合并同类二次根式即可；
②先化简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：①；
＝2+2+1﹣3+﹣1﹣5
＝﹣3；
②
＝4﹣2+﹣7
＝﹣4．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．（8分）解方程：
①x2﹣10x+24＝0；
②5x2﹣4x﹣4＝0．
【分析】①利用因式分解法把方程转化为x﹣6＝0或x﹣4＝0，然后解一次方程即可；
②先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解．
【解答】解：①x2﹣10x+24＝0，
（x﹣6）（x﹣4）＝0，
x﹣6＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝6，x2＝4；
②5x2﹣4x﹣4＝0，
a＝5，b＝﹣4，c＝﹣4，
Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣4）＝16×6＞0，
x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．
18．（9分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（m+2）2﹣4m×2＝（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
Δ＝（m+2）2﹣4m×2
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，
x﹣1＝0或mx﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝，
当m为正整数1或2时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1或2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
19．（9分）“题载思想”，马明同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自他的一篇究错日记，请你对马明所编的习题进行解答．
【错题日期】
9月18日
【错题来源】
当堂测验
【错题重现】
已知代数式2x2﹣4x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值很小，最小值是多少？
【所属考点】
配方法的应用
【错因分析】
误把代数式变形等同于方程变形，把二次项系数化为1时，直接除以二次项系数，导致本题错误．
【马明编题】
已知代数式﹣2x2+4x﹣7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？
【分析】首先将代数式2x2﹣4x+7变形为2（x﹣1）2+5，根据非负数的意义即可得到结论．
首先将代数式﹣2x2+4x﹣7变形为﹣2（x﹣1）2﹣5，根据非负数的意义即可得到结论．
【解答】解：∵2x2﹣4x+7＝2（x2﹣2x）+7＝2（x﹣1）2+5≥5＞0，
∴不论x取何值，这个代数式的值总是正数；当x取1时，这个代数式的值很小，最小值是5；
∵﹣2x2+4x﹣7＝﹣2（x2﹣2x）﹣7＝﹣2（x﹣1）2﹣5≤﹣5＜0，
∴不论x取何值，这个代数式的值总是负数；当x取1时，这个代数式的值最大，最大值是﹣5．
【点评】本题考查了配方法的应用：配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
20．（10分）如图1，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小丽从灯杆的底部B处沿直线前进4m到达D点，在D处测得自己的影长DE＝1m．小丽身高CD＝1.2m．
（1）求灯杆AB的长；
（2）若小丽从D处继续沿直线前进4m到达G处（如图2），求此时小丽的影长GH的长．
【分析】（1）根据题意得出AB∥CD，由平行线得出△EAB∽△ECD，得出对应边成比例，即可得出结果．
（2）根据相似三角形△HGF∽△HBA的对应边成比例列出比例式，代入相关数值解答即可．
【解答】（1）解：如图1，根据题意得：AB∥CD，BE＝1+4＝5（米），
∴△EAB∽△ECD，
∴＝，
即＝，
解得：AB＝6（米）；
答：灯杆AB的高度为6m；
（2）如图2，根据题意得：AB∥FG，BE＝1+4＝5（米），
∴△HGF∽△HBA，
∴＝，
即＝，
解得：GH＝2（米）；
答：此时小丽的影长GH的长是2m．
【点评】本题考查了中心投影及相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．
21．（10分）网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，某销售商亲自在一网络平台上进行直播销售某品牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售价不低于成本价格且不高于30元/kg．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售价x之间的函数关系式；
（2）当W＝46400元时，此时的销售单价定为多少元？
【分析】（1）日获利为W＝每千克利润×销售量﹣2000，代入数据可得答案；
（2）结合（1）的结论，令W＝46400解出x的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：W＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，
∴日获利W与销售价x之间的函数关系式为W＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）；
（2）当W＝46400时，
﹣100x2+5600x﹣32000＝46400，
解得x＝28，
答：销售单价定为28元．
【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
22．（10分）如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：AP＝ 2t ，AQ＝ 16﹣3t ．
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
【分析】（1）利用速度公式求解；
（2）由于∠PAQ＝∠BAC，利用相似三角形的判定，当＝时，△APQ∽△ABC，即＝；当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，然后分别解方程即可．
【解答】解：（1）AP＝2t，AQ＝16﹣3t．
（2）∵∠PAQ＝∠BAC，
∴当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；
当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝4．
∴运动时间为秒或4秒．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
23．（11分）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．
【分析】（1）利用同角的余角相等，判断出∠BAE＝∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；
（2）先求出BE＝8，进而表示出EG＝2+FG，由△BAE∽△GEF，得出＝，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF＝﹣（x﹣5）2+，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∵∠B＝∠G＝90°，
∴△BAE∽△GEF；
（2）∵AB＝BC＝10，CE＝2，
∴BE＝8，
∴FG＝CG，
∴EG＝CE+CG＝2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴＝，
∴，
∴FG＝8，
∴S△ECF＝CE•FG＝×2×8＝8；
（3）设CE＝x，则BE＝10﹣x，
∴EG＝CE+CG＝x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴＝，
∴，
∴FG＝10﹣x，
∴S△ECF＝×CE×FG＝×x•（10﹣x）＝﹣（x2﹣10x）＝﹣（x﹣5）2+，
当EC＝5时，S△ECF最大＝．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．
2022-2023学年河南省鹤壁市淇滨区致远中学九年级（上）开学数学试卷（附答案与解析）
一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1．（3分）使式子有意义的x的取值是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x＞2 D．x＜2
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．4﹣3＝1 C．+＝ D．2＝
3．（3分）直线l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）的图象如图，化简：|m﹣3|﹣得（ ）
A．3﹣m﹣n B．5 C．﹣1 D．m+n﹣5
4．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝﹣3x﹣3的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（3分）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（ ）
A．580（1+x）2＝1185 B．1185（1+x）2＝580
C．580（1﹣x）2＝1185 D．1185（1﹣x）2＝580
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（ ）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
7．（3分）如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影长为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（ ）
A．m B．m C．m D．m
8．（3分）已知在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝12，CD＝5，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．41
10．（3分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）
11．（3分）写出一个比大且比小的整数 ．
12．（3分）当x＝ 时，代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2．
13．（3分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为 米．
14．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，G为BC上一点，连接AG交DE于点F，已知AF＝2，AG＝6，EC＝5，则AC＝ ．
15．（3分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是 ．（只填序号）
三、解答题（本题共计8小题，共计75分）
16．（8分）计算：
①；
②．
17．（8分）解方程：
①x2﹣10x+24＝0；
②5x2﹣4x﹣4＝0．
18．（9分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
19．（9分）“题载思想”，马明同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自他的一篇究错日记，请你对马明所编的习题进行解答．
【错题日期】
9月18日
【错题来源】
当堂测验
【错题重现】
已知代数式2x2﹣4x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值很小，最小值是多少？
【所属考点】
配方法的应用
【错因分析】
误把代数式变形等同于方程变形，把二次项系数化为1时，直接除以二次项系数，导致本题错误．
【马明编题】
已知代数式﹣2x2+4x﹣7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？
20．（10分）如图1，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小丽从灯杆的底部B处沿直线前进4m到达D点，在D处测得自己的影长DE＝1m．小丽身高CD＝1.2m．
（1）求灯杆AB的长；
（2）若小丽从D处继续沿直线前进4m到达G处（如图2），求此时小丽的影长GH的长．
21．（10分）网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，某销售商亲自在一网络平台上进行直播销售某品牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售价不低于成本价格且不高于30元/kg．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售价x之间的函数关系式；
（2）当W＝46400元时，此时的销售单价定为多少元？
22．（10分）如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：AP＝ ，AQ＝ ．
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
23．（11分）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．
2022-2023学年河南省鹤壁市淇滨区致远中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1．（3分）使式子有意义的x的取值是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x＞2 D．x＜2
【分析】直接利用二次根式有意义的条件结合分式有意义的条件得出答案．
【解答】解：使式子有意义，则x﹣2＞0，
解得：x＞2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣2 B．4﹣3＝1 C．+＝ D．2＝
【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案．
【解答】解：A.＝2，故此选项不合题意；
B.4﹣3＝，故此选项不合题意；
C.+无法合并，故此选项不合题意；
D.2＝2×＝，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
3．（3分）直线l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）的图象如图，化简：|m﹣3|﹣得（ ）
A．3﹣m﹣n B．5 C．﹣1 D．m+n﹣5
【分析】先从一次函数的图象判断m﹣3的正负值，n﹣2的正负值，然后再化简原代数式．
【解答】解：直线l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）的图象可知，
n﹣2＜0，m﹣3＞0．
|m﹣3|﹣
＝m﹣3﹣
＝m﹣3+n﹣2
＝m+n﹣5
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的性质及其化简，绝对值的化简．
4．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣2）＝﹣3x﹣3的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】化为一般形式，求出判别式Δ即可得答案．
【解答】解：将原方程整理得x2+2x+1＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
5．（3分）某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x，列出方程正确的是（ ）
A．580（1+x）2＝1185 B．1185（1+x）2＝580
C．580（1﹣x）2＝1185 D．1185（1﹣x）2＝580
【分析】根据降价后的价格＝原价（1﹣降低的百分率），本题可先用x表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得出方程为：1185（1﹣x）2＝580．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2＝c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（ ）
A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，利用根与系数的关系及一元二次方程的解，找出x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3是解题的关键．
7．（3分）如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影长为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（ ）
A．m B．m C．m D．m
【分析】由平行得到两三角形相似，根据相似三角形的对应高的比等于相似比求解．
【解答】解：设点P到AB的距离是xm
∵AB∥CD
∴△ABP∽△CDP
∴
∴x＝
故选：C．
【点评】此题主要考查相似三角形的对应高的比等于相似比．
8．（3分）已知在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【解答】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项A不符合题意；
B、不能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原△ABC相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
9．（3分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝12，CD＝5，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）
A．20 B．24 C．36 D．41
【分析】根据勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝＝13，
∵E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，
∴EF＝AD＝3.5，GH＝AD＝3.5，EH＝BC＝6.5，GF＝BC＝6.5，
∴四边形EFGH的周长＝3.5+3.5+6.5+6.5＝20，
故选：A．
【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF＝AB＝AD＝BD＝5且∠ABF＝∠BFD，结合角平分线可得∠CBF＝∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE＝8，由EF＝DE﹣DF可得答案．
【解答】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB＝90°，
∵AB＝10，D为AB中点，
∴DF＝AB＝AD＝BD＝5，
∴∠ABF＝∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，即，
解得：DE＝8，
∴EF＝DE﹣DF＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）
11．（3分）写出一个比大且比小的整数 3或4或5 ．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可．
【解答】解：∵2＜＜3，5＜＜6，
∴比大且比小的整数有3、4、5，
故答案为：3或4或5．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
12．（3分）当x＝ ﹣1 时，代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2．
【分析】代数式x2﹣3x比代数式2x2﹣x﹣1的值大2，即将两式相减值为2，即可得到关于x的方程，解方程可得出答案．
【解答】解：由题意得：x2﹣3x﹣（2x2﹣x﹣1）＝2
∴可得：﹣x2﹣2x﹣1＝0
∴（x+1）2＝0，故x＝﹣1．
【点评】本题考查用开平方法解一元二次方程，注意题目中信息的提取，本题属于比较典型的题目．
13．（3分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为 7 米．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴，
∴＝，
∴AC＝7（米），
故答案为：7．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，G为BC上一点，连接AG交DE于点F，已知AF＝2，AG＝6，EC＝5，则AC＝ ．
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例．依据平行线分线段成比例定理，即可得到AC的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即，
∴AE＝，
∴AC＝AE+EC＝+5＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例是解答本题的关键．
15．（3分）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是 ② ．（只填序号）
【分析】仿照案例，构造面积是（x+x﹣4）2的大正方形，由它的面积为4×12+42，可求出x＝6，此题得解．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣12＝0即x（x﹣4）＝12，
∴构造如图②中大正方形的面积是（x+x﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，
据此易得x＝6．
故答案为：②．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，仿照案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．
三、解答题（本题共计8小题，共计75分）
16．（8分）计算：
①；
②．
【分析】①先化简，然后合并同类二次根式即可；
②先化简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：①；
＝2+2+1﹣3+﹣1﹣5
＝﹣3；
②
＝4﹣2+﹣7
＝﹣4．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．（8分）解方程：
①x2﹣10x+24＝0；
②5x2﹣4x﹣4＝0．
【分析】①利用因式分解法把方程转化为x﹣6＝0或x﹣4＝0，然后解一次方程即可；
②先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解．
【解答】解：①x2﹣10x+24＝0，
（x﹣6）（x﹣4）＝0，
x﹣6＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝6，x2＝4；
②5x2﹣4x﹣4＝0，
a＝5，b＝﹣4，c＝﹣4，
Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣4）＝16×6＞0，
x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法解一元二次方程．
18．（9分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（m+2）2﹣4m×2＝（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解方程得到x1＝1，x2＝，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
Δ＝（m+2）2﹣4m×2
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）＝0，
x﹣1＝0或mx﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝，
当m为正整数1或2时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1或2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
19．（9分）“题载思想”，马明同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自他的一篇究错日记，请你对马明所编的习题进行解答．
【错题日期】
9月18日
【错题来源】
当堂测验
【错题重现】
已知代数式2x2﹣4x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值很小，最小值是多少？
【所属考点】
配方法的应用
【错因分析】
误把代数式变形等同于方程变形，把二次项系数化为1时，直接除以二次项系数，导致本题错误．
【马明编题】
已知代数式﹣2x2+4x﹣7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是负数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最大，最大值是多少？
【分析】首先将代数式2x2﹣4x+7变形为2（x﹣1）2+5，根据非负数的意义即可得到结论．
首先将代数式﹣2x2+4x﹣7变形为﹣2（x﹣1）2﹣5，根据非负数的意义即可得到结论．
【解答】解：∵2x2﹣4x+7＝2（x2﹣2x）+7＝2（x﹣1）2+5≥5＞0，
∴不论x取何值，这个代数式的值总是正数；当x取1时，这个代数式的值很小，最小值是5；
∵﹣2x2+4x﹣7＝﹣2（x2﹣2x）﹣7＝﹣2（x﹣1）2﹣5≤﹣5＜0，
∴不论x取何值，这个代数式的值总是负数；当x取1时，这个代数式的值最大，最大值是﹣5．
【点评】本题考查了配方法的应用：配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．
20．（10分）如图1，平直的公路旁有一灯杆AB，在灯光下，小丽从灯杆的底部B处沿直线前进4m到达D点，在D处测得自己的影长DE＝1m．小丽身高CD＝1.2m．
（1）求灯杆AB的长；
（2）若小丽从D处继续沿直线前进4m到达G处（如图2），求此时小丽的影长GH的长．
【分析】（1）根据题意得出AB∥CD，由平行线得出△EAB∽△ECD，得出对应边成比例，即可得出结果．
（2）根据相似三角形△HGF∽△HBA的对应边成比例列出比例式，代入相关数值解答即可．
【解答】（1）解：如图1，根据题意得：AB∥CD，BE＝1+4＝5（米），
∴△EAB∽△ECD，
∴＝，
即＝，
解得：AB＝6（米）；
答：灯杆AB的高度为6m；
（2）如图2，根据题意得：AB∥FG，BE＝1+4＝5（米），
∴△HGF∽△HBA，
∴＝，
即＝，
解得：GH＝2（米）；
答：此时小丽的影长GH的长是2m．
【点评】本题考查了中心投影及相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．
21．（10分）网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，某销售商亲自在一网络平台上进行直播销售某品牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售价不低于成本价格且不高于30元/kg．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售价x之间的函数关系式；
（2）当W＝46400元时，此时的销售单价定为多少元？
【分析】（1）日获利为W＝每千克利润×销售量﹣2000，代入数据可得答案；
（2）结合（1）的结论，令W＝46400解出x的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：W＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，
∴日获利W与销售价x之间的函数关系式为W＝﹣100x2+5600x﹣32000（6≤x≤30）；
（2）当W＝46400时，
﹣100x2+5600x﹣32000＝46400，
解得x＝28，
答：销售单价定为28元．
【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
22．（10分）如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：AP＝ 2t ，AQ＝ 16﹣3t ．
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
【分析】（1）利用速度公式求解；
（2）由于∠PAQ＝∠BAC，利用相似三角形的判定，当＝时，△APQ∽△ABC，即＝；当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，然后分别解方程即可．
【解答】解：（1）AP＝2t，AQ＝16﹣3t．
（2）∵∠PAQ＝∠BAC，
∴当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；
当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝4．
∴运动时间为秒或4秒．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
23．（11分）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．
【分析】（1）利用同角的余角相等，判断出∠BAE＝∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；
（2）先求出BE＝8，进而表示出EG＝2+FG，由△BAE∽△GEF，得出＝，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；
（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF＝﹣（x﹣5）2+，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∵∠B＝∠G＝90°，
∴△BAE∽△GEF；
（2）∵AB＝BC＝10，CE＝2，
∴BE＝8，
∴FG＝CG，
∴EG＝CE+CG＝2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴＝，
∴，
∴FG＝8，
∴S△ECF＝CE•FG＝×2×8＝8；
（3）设CE＝x，则BE＝10﹣x，
∴EG＝CE+CG＝x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
∴＝，
∴，
∴FG＝10﹣x，
∴S△ECF＝×CE×FG＝×x•（10﹣x）＝﹣（x2﹣10x）＝﹣（x﹣5）2+，
当EC＝5时，S△ECF最大＝．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．
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