人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算教学设计，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学方法等内容，欢迎下载使用。

复数的加、减运算及其几何意义
教材分析
本节课选自人民教育出版社《普通高中教科书数学必修第二册（A版）》第七章第二节第一课时《复数的加、减运算及其几何意义》。主要内容是复数的加减运算及其几何意义，是学生首次接触复数集中的运算。学生的知识基础是已经学习的复数的概念和坐标表示以及实数与平面向量加减运算，在这节内容中，借助向量的加减法解释和“形化”了复数的加减法，充分体现了复数的“数”和“形”的双重特征，揭示了复数的加减运算与平面向量的加减法具有完全等价的法则。在教学中，既要求学生掌握复数代数形式的加减运算法则，又要理解和初步应用加减法的几何意义，为进一步运用复数运算几何意义奠定基础。
三、教学目标
1、知识与技能目标：
理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。
过程与方法目标：
在问题探究过程中，体会和学习类比，数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。
情感、态度与价值观目标：
通过探究学习,培养学生观察、理解、推理论证的能力。在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.
四、教学重点
理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。
五、教学难点
复数加减法的几何意义及其应用
六、教学方法
探究法
教学过程
复习回顾，引入新课
教师：复数产生的背景:为了解决方程在实数范围无解的问题,引入了虚数单位;引入虚数单位后，方程无解的问题得意解决，而数集也随之扩大，实数集扩大到复数集。
复习：
1．什么是复数？对于形如的数叫做复数。其中叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部，
2.两个复数相等的条件是什么？
当且仅当
3．复数几何意义
4．复数的模：，从几何上来看复数的模表示点到原点的距离。
设计意图：通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.
新课探究
师：我们知道实数有加、减、乘、除等运算，且有运算律：
加法：
乘法：

那么，复数是否也具有这些运算及其运算律呢？
探究一:复数的加法
我们规定,复数的加法法则如下:设，()是任意两个复数,那么：
提出问题：
()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?
()当时,与实数加法法则一致吗?
()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法?
学生明确:
()两个复数的和仍然是个复数,且是一个确定的复数，它可以推广到多个复数相加;
()当时, 复数的加法与实数加法法则一致;
()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．
设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性。将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣．
师：实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗?
对任意的,有
（交换律）,
（结合律）.
证明：设，()



∴.
同理可证
因此复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的,有
（交换律）,
（结合律）.
设计意图：提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力．
师：我们规定了复数的加法法则，复数的减法法则又该如何呢？
类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗?
探究二:复数的减法
类比实数减法的意义，我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足

的复数叫做复数减去复数的差,记作.
根据复数相等的定义,有
,
因此 ,
所以 ,
即 .
两个复数的差是一个确定的复数. 这就是复数的减法法则,因此复数的减法法则为：
设 ，
则
提醒：我们在推导两个复数减法的运算法则时，应用了待定系数法，即，这种方法也是确定未知复数实部与虚部经常用的一种方法.
设计意图：复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力．
总结
1、两个复数的和与差仍然是个复数,且是一个确定的复数。
2、两个复数的和与差实质是实部与实部相加减作为实部, 虚部与虚部相加减作为虚部,类似于实数运算中的合并同类项；
3、复数的加、减法与实数加、减法法则一致，且加法满足实数的运算率。
设计意图：加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力
我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量有一一对应的关系。而我们
讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？
设及分别与复数复数对应，则，
由平面向量的坐标运算法则，
得
而
这说明两个向量与的和就是与复数对应的向量。
由图可以看出，以与为邻边的平行四边形，其对角线所表示
的向量就是复数。
因此复数的加法与向量的加法相对应,复数加法可以按照向量的加法来进行(如图）,这
就是复数加法的几何意义.
师：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？
探究三:复数减法运算的几何意义：
y
O
x
设及分别与复数对应，则，，
=-=
这说明两个向量于的差向量 就是与复数对应的向量。
因此复数的减法与向量的减法相对应,复数减法可以按照向量的减法来进行(如
图）, 这就是复数减法的几何意义.
说明:的几何意义就是复数对应复平面上两点间的距离。
在复平面上，这个结论你能证明吗？
设计意图：通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,加深复数几何意义的理解，也培养了学生的数形结合思想.
复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法.
（三）例题讲解
例1.（1）已知复数，试求它们的和
（2）计算：;
变式训练
（1）若,求复数；
（2）已知复数
；
已知复数满足,求复数.
例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点之间的距离。
例3 已知复平面内一平行四边形AOBC的点A、O、B对应复数是 -3+2i ，0 , 2+i，求：
① 点C对应的复数； ② 向量对应的复数；
③ A，B两点间的距离。
设计意图：巩固复数加、减运算。变式（1）意在巩固减法是加法的逆运算；（2）（3）在渗透待定系数法，把复数问题实数化。 三个变式既复习了概念,又锻炼了学生的计算能力和解决问题的能力例2利用复数及其几何意义研究复平面内两点的距离问题，将复平面内两点之间的距离转化为，使得几何问题代数化。例3巩固复数的几何意义,加深对几何意义的理解。
（四）总结
（1）复数代数形式的加法、减法的运算法则。
复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;
（2）复数加法减法的几何意义.
复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形法则）来进行，复数的减法可以按照向量的减法（三角形法则）来进行。
设计意图：通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解, 引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成.