2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市德强高中高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市德强高中高一（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知复数满足为虚数单位，则复数的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示，中，，，，是的中点，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，为两个不同平面，，为不同的直线，下列命题不正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

4. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况、统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例；得到如下饼图：
   
   则下面结论中不正确的是(    )

A. 新农村建设后，种植收入减少
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

5. 某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生之间的随机整数，当出现随机数，或时，表示该天下雪，其概率为，每个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的组随机数．

则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知定点和直线：，则点到直线的距离的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字，，，连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则(    )

A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与相互独立

8. 设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点不含端点，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知圆心为的圆与点，则(    )

A. 圆的半径为
B. 点在圆外
C. 点与圆上任一点距离的最大值为
D. 点与圆上任一点距离的最小值为

10. 随机地排列数字，，得到一个三位数，则(    )

A. 可以排成个不同的三位数 B. 所得的三位数是奇数的概率为
C. 所得的三位数是偶数的概率为 D. 所得的三位数大于的概率为

11. 正三棱锥底面边长为，侧棱长为，则下列叙述正确的是(    )

A. 正三棱锥高为． B. 正三棱锥的斜高为
C. 正三棱锥的体积为 D. 正三棱锥侧面积为

12. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有(    )

A.
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若两条直线和互相垂直，则的值为______．
14. 已知某工厂生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种型号的螺帽，且这三种型号螺帽的周产量之比为：：，现在用分层抽样的方法从某周生产的螺帽中抽取若干个进行质量检查，若抽取Ⅲ型号螺帽个，则这三种型号螺帽共抽取的个数为          ．
15. 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为根据以上性质，函数的最小值为          ．
16. 四面体中，是中点，在面的射影为中点，则该四面体外接球的表面积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上．
    求边所在直线的方程；
    求矩形外接圆的标准方程．
18. 某社区名居民参加消防安全知识竞赛，竞赛后对其成绩满分分进行统计，将数据按，，，分为组，其频率分布直方图如图所示．
    求直方图中的值；
    试估计这名居民竞赛成绩的平均分；同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
    该社区准备对本次安全知识竞赛成绩较差的的居民开展消防安全知识讲座，则需要参加讲座的居民分数不超过多少？

19. 四棱锥中，底面是平行四边形，，，且平面底面，点在棱上，直线平面．
    求证：为棱的中点；
    设二面角的大小为，且求直线与平面所成的角的正切值．

20. 体育测试成绩分为四个等级，优、良、中、不集合．某班名学生惨叫测试结果如下：

从该班任意抽取名学生，求该名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；
测试成绩为“优”的名男生记为，，，名女生的成绩记为，，现从这人中任选人参加学校的某项体育比赛：
写出所有可能的基本事件；
求参赛学生中恰有一名女生的概率．

21. 如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中设计时要求绿地部分如图中阴影部分所示有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形和现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点，均不重合，落在边上且不与端点，重合，设．
    若，求此时公共绿地的面积；
    为方便小区居民的行走，设计时要求，的长度最短，求此时绿地公共走道的长度．

22. 如图梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过，，三点的平面交于．
    
    证明：是的中点；
    证明：平面；
    是上一点，已知二面角为，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数满足为虚数单位，
，
复数的虚部是，
故选：．
根据已知条件求出复数即可得解．
本题考查复数的运算，复数的基本概念，属基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．属于基础题．
根据已知条件代入化简，通过向量的数量积的定义求解即可．

【解答】

解：中，，，，是的中点，，
．
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：对于，若，则取内任意两条相交直线，，使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A正确；
对于，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确；
对于，若，，如图，设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故C错误；

对于，由面面垂直的判定定理可得，故D正确；
故选：．
由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以长方体为载体逐一分析即可得出结论．
本题考查了空间中直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系的判断，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：设新农村建设前农村经济收入为，可得新农村建设后农村的经济收入为，
则新农村建设前，农村的种植收入为，其他收入为，养殖收入为，第三产业收入为，
新农村建设后，农村的种植收入为，其他收入为，养殖收入为，第三产业收入为，
对于，新农村建设后，种植收入增加，故选项A错误；
对于，新农村建设后，其他收入增加了倍，故选项B正确；
对于，新农村建设后，养殖收入增加了一倍，故选项C正确；
对于，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和点总收入的比例为，超过经济收入的一半，D正确．
故选：．
利用题中扇形图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．
本题考查了扇形图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了概率的求解，解题的关键是正确理解题意，找到表示三天中有两天下雪的随机数的个数，属于基础题．
根据题中的条件，找出个随机数中表示三天中有两天下雪的随机数，确定其个数，利用概率计算公式求解即可．

【解答】

解：在组随机数中，三位数中有个数字为，或的即可，
故表示三天中有两天下雪的随机数有：，，，，，，，，，一共有个，
据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：直线：，
整理得，
由，解得，
故点到直线的距离的最大值为．
故选：．
根据条件，得到直线经过定点，再利用两点间的距离公式，求出距离的最大值．
本题考查的知识要点：定点的直线系方程，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，．
其中事件包括：，，，，，，，．
事件包括：，，，，，，，，，，
事件包括：，，，，，，，，
事件包括：，，，，，，，，
对于：因为事件与有相同的基本事件，，，，，故A与互斥不成立，故A错误；
对于：因为事件与有相同的基本事件，，，，，故C与对立不成立，故B错误；
对于：因为，，，因为，所以与不是相互独立，故C错误；
对于：因为，，而，因为两个事件的发生与否互不影响且，所以与相互独立，故D正确．
故选：．
列举出基本事件，对四个选项一一判断：对于：由事件与有相同的基本事件，否定结论；对于：由事件与有相同的基本事件，否定结论；对于、：利用公式法进行判断．
本题考查的知识点是对立事件和独立事件，难度不大，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间三种角的求法，考查以三棱锥为载体，常规解法下易出现的错误的有：不能正确作出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简单解法，为拔高题．
综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍角的概念和计算，解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小，充分运用图象，则可事半功倍．

【解答】

解：方法一、如图为的中点，在底面的射影为，
则在底面上的射影在线段上，作于，易得，
过作于，过作，交于，

则，，，
则
，可得；
，可得，
方法二、由最小值定理可得，
记的平面角为显然，
由最大角定理可得；
方法三、特殊图形法设三棱锥为棱长为的正四面体，为的中点，
易得，
可得，，，
当时，由余弦定理可得，
，，
可得，故C错误．
故选：．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆的半径的求法与判断圆与点的关系，数形结合法求圆上的点到一定点的距离的最值，属于基础题．
圆的方程配方求得半径可判断；把点的坐标代入圆方程左边计算代数式的值可判断；求出圆上的点到定点的距离的最值可判断．

【解答】

解：由圆得，知半径为，故A错误；
把点代入圆的方程的左边代数式
有，所以点在圆外，故B正确；
圆心到的距离为，，
所以圆上任一点到的距离的最大值为，
最小距离为，故CD 正确；
故答案选：．

10.【答案】 

【解析】解：随机地排列数字，，可以得到的三位数有：，，，，，，共个，故A不正确；
其中奇数有：，，，，共个，所以所得的三位数是奇数的概率为，故B正确；
其中偶数有：，，共个，所以所得的三位数是偶数的概率为，故C不正确；
其中大于的有：，，，，共个，所以所得的三位数大于的概率为，故D正确．
故选：．
利用列举法列出所有的基本事件，再根据概率公式计算可得结果．
本题考查了古典概型的计算，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正棱锥的结构特征，棱锥的体积与侧面积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
正三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，侧棱长为，取中点，连结，，过作平面，交于，由此能求出正三棱锥高、斜高、体积和侧面积．

【解答】

解：正三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，

侧棱长为，取中点，连结，，过作平面，交于，
，，
正三棱锥高为：，故A正确；
正三棱锥的斜高为：，故B正确；
正三棱锥的体积为：，故C错误；
正三棱锥侧面积为：，故D错误．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：因为，又由余弦定理，
即，
所以，所以，即，
由正弦定理可得，
又，
，即，
，
，，为锐角，
，即，故选项A正确；
，，故选项B错误；
，故选项C正确；
，
又，，
令，则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
又，
，故选项D错误．
故选：．
由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得，即可判断，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断，再根据三角函数的性质判断、．
本题考查了三角函数中的几何计算，属于中档题．
 

13.【答案】或 

【解析】解：两条直线和互相垂直，
，即．
解得或．
故答案为：或．
由两直线垂直与系数的关系列关于的方程，求解得答案．
本题考查两直线垂直与系数的关系，是基础的计算题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题的考点是分层抽样，即保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．属于基础题．
根据分层抽样的特点即可求解结论．

【解答】

解：由题意可得抽取Ⅰ，Ⅱ两种型号的螺帽个数分别为，，
所以这三种型号螺帽共抽取的个数为．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两点的距离公式的运用，以及运算能力，属于中档题．
由两点距离公式可得表示点到点，，的距离之和，由新定义可得的最小值点即为费马点，由解三角形可得所求最小值．

【解答】

解：由两点间的距离公式得

为点到点，，的距离之和，
即求点到点，，的距离之和的最小值，
取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，
如图，

在等腰三角形中，，
可得，，
容易求得最小值为．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】解：令为中点，则面，面，故AF，

又，则，且，
故为等腰直角三角形，则，即，
且四面体外接球球心在过点垂直于面的直线上，
由为等边三角形，则，
在中，，
若四面体外接球半径为，则，
所以，可得，
故四面体外接球的表面积为．
故答案为：．
令为中点，由题设易得并求得，由为等腰直角三角形确定外接球球心位置并求得，进而求出外接球半径，即可得表面积．
本题考查了四面体外接球的表面积，属于中档题．
 

17.【答案】解：因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为：，
又点在直线上，所以边的直线方程为：，即．
由，解得点坐标为，矩形的两条对角线的交点为：，
所以为矩形外接圆的圆心，
又，
所以矩形外接圆的标准方程为． 

【解析】求出直线的斜率，利用点斜式求解直线方程即可．
先确定点的坐标为，根据点是矩形两条对角线的交点，可得点即为矩形外接圆的圆心，从而可求圆方程；
本题考查圆的标准方程，考查圆中弦的方程，解题的关键是充分利用圆的性质，属于中档题．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图的性质得：
，解得．
由频率分布直方图估计这名居民竞赛成绩的平均分为：
．
由频率分布直方图可得，第一组的频率为，
前两组的频率之和为．
设需要参加讲座的居民分数不超过，则，
则，解得．
故需要参加讲座的居民分数不超过． 

【解析】由频率分布直方图的性质列方程，能求出．
由频率分布直方图能估计这名居民竞赛成绩的平均分．
由频率分布直方图可得第一组的频率为，前两组的频率之和为设需要参加讲座的居民分数不超过，则，由此能求出需要参加讲座的居民分数不超过．
本题考查频率分布直方图的性质、频率、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】证明：连接交于，连接，
底面是平行四边形，是的中点，
平面平面，平面平面，
，为棱的中点；
解：取的中点，连接，，过作交于，连接，

，，又平面底面，平面底面，
底面，，，
，分别为，的中点，
，，故为二面角的平面角，故，
设，故，，可得，所以，
由，可得底面，为直线与平面所成的角，
由题意可得，
在中，，，
，
故．
直线与平面所成的角的正切值为． 

【解析】连接交于，连接，可得是的中点，由已知可得，可证结论；
取的中点，连接，，过作交于，连接，可得为二面角的平面角，为直线与平面所成的角，设，求解即可．
本题考查线段的中点的证明，考查线面角的求法，考查二面角，属中档题．
 

20.【答案】解：根据频率分布表，得；
在这次考试中成绩为“良”或“中”是；
故随机抽取一名学生，该名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为；
测试成绩为“优”的名男生记为，，，名女生的成绩记为，，
现从这人中任选人所有的基本事件为：
，，，，
，，，
，，
，共种；
满足参赛学生中恰有一名女生的事件为：，，，，，，共种
故参赛学生中恰有一名女生的概率为． 

【解析】根据频率分布表，利用频率，即可求出对应的概率；
依据古典概型即可得到从这人中任选人参加学校的某项体育比赛的所有基本事件个数；
由，代入古典概型概率公式，即可得到参赛学生中恰有一名女生的概率．
本题考查了频率、频数与样本容量的应用问题，考查等可能事件的概率，古典概型与几何概型都涉及到了，是常见的题目；平时要加强训练
 

21.【答案】解：≌，，
，，
，
，，，，
是等边三角形，
．
，，
．
，即，
．
在中，由正弦定理可得：，
，
令，
，当即时取最大值，
当时最短，此时是等边三角形，． 

【解析】本题考查了解三角形的实际应用，正弦定理及三角恒等变换，属于中档题．
由题意可知，故为等边三角形，根据与的关系得出，代入面积公式计算；
用表示出，利用正弦定理得出关于的函数，利用三角恒等变换求出取得最小值对应的值，再计算的长．
 

22.【答案】解：证明：在图中过作，
则，，

又，，，，且，，
又，，平面，
又平面平面，，，
又是的中点，是的中点．
证明：在直角梯形中，，

，．
又，，，，
又平面平面，，平面，，
由得平面，，
，，，，
由可得平面，，
又，，平面，，
由可得平面．
过作，则平面，
过作，连结，
则为二面角的平面角，，
设，，
又，，，，
由得，
，
．
 

【解析】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法与应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力．属于较难题．
在图中过作，证明，结合是的中点，推出是的中点．
证明，推出，得到平面，推出，，即可证明平面，得到，推出然后证明平面．
过作，过作，连结，说明为二面角的平面角，设，然后转化求解即可．