2021-2022学年黑龙江省哈尔滨九中高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨九中高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 若复数满足，则的共轭复数为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 从年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的人中随机抽取人，测得他们的身高分别为单位：：、、、、、、、、、，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在之间的人数约为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图一所示，某市月日至日的日均值单位：变化的折线图，则该组数据第百分位数为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知、是两条不相同的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题为假命题的是(    )

A. 若，，则与相交
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则

6. 在平面四边形中，、分别为、上的点，，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 梯形中，，，，，，在平面内过点作以所在直线为轴旋转一周，则该旋转体的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 将地球看作一个以为球心的球体，地球上点的纬度是指与赤道面所成角的度数．一个地球仪，在其北半球某纬线圈上有，，三点，其中，，，且三棱锥的体积为，则这个纬线圈的纬度为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 在正方体中，下列说法正确的是(    )

A. 与垂直的面对角线有条
B. 直线与直线所成的角为
C. 直线与平面所成的角为
D. 二面角的余弦值为

10. 某校为了解学生对食堂的满意程度，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照，，，，，，分组，画出频率分布直方图，已知随机抽取的学生测试分数不低于分的学生有人，则以下结论中正确的是(    )

A. 此次测试众数的估计值为
B. 此次测试分数在的学生人数为人
C. 随机抽取的学生测试分数的第百分位数约为
D. 平均数在中位数右侧

11. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 的面积为

12. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有(    )

A. 正方体在每个顶点的曲率均为
B. 任意四棱锥的总曲率均为
C. 若一个多面体满足顶点数，棱数，面数，则该类多面体的总曲率是
D. 若某类多面体的顶点数，棱数，面数满足，则该类多面体的总曲率是常数

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 如图所示，电路原件，，正常工作的概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为______．

14. 为实现学生高中选科和大学专业选择的有效衔接，黑龙江省于年采用“”模式改革考试科目设置，即考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语个科目成绩，物理或历史中的门成绩，和生物、政治、地理、化学中的个科目成绩组成，则学生选课的情况有______种．
15. 已知是关于的方程的根，则______．
16. 满足下述条件的两组基底与叫做一组“对偶基底”：，，，当，均为单位向量，且时，______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 在直三棱柱中，，的中点．
    求证：平面；
    若，，，求三棱锥的体积．

18. 在中，角、、的对边分别是、、，且满足．
    判断的形状；
    如图，延长至点，连接，过作交于，若，，，，求的长度．

19. 一位同学想调查某学校学生阅读古典四大名著红楼梦、三国演义、西游记、水浒传的情况，他随机问了名同学表示已读，得到了以下表格：

现在从这五位同学中选出两位，设事件为“两位同学都读过红楼梦和三国演义”，请用集合的形式分别写出样本空间和事件所包含的所有结果，并计算出事件的概率；
经过统计，该学校读过红楼梦、三国演义、西游记、水浒传四本名著的概率分别为，，，，求一位同学恰好读过其中三本书的概率．

20. 如图，是的直径，，是圆周上异于、且在直径同侧的点，，，是平面外一点，且．
    设平面平面，求证：；
    求与平面成角的正弦值．

21. 某厂为估计其产品某项指标的平均数，从生产的产品中随机抽取件作为样本，得到各件产品该项指标数据如下：，将该项指标的样本平均数记为，样本标准差记为，总体平均数记为；
    求与精确到三位小数，参考数据：
    记样本量为，查阅资料可知：关于的不等式的解集是总体平均数的一个较好的估计范围；
    根据以上资料，求出该产品的总体平均数的估计范围；
    在的估计结果下，将指标不在总体平均数的估计范围内的产品称作“超标产品”现从这件样品中不放回随机抽取件，将事件“抽到的件产品都是超标产品”记为，求．
22. 如图，平面四边形中，，，，将沿边折起如图，使_____，点，分别为，中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．
    ；为四面体外接球的直径；平面平面．
    判断直线与平面是否垂直，并说明理由；
    求二面角的正弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则，
故的共轭复数为．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：知，，，
，得，，
故则，
故选：．
利用平行计算出，即可解．
本题考查向量的坐标运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：抽取人身高在之间的人数为人，
则根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在之间的人数约为．
故选：．
抽取人身高在之间的人数为人，再结合频率与频数的关系，即可求解．
本题主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据折线图，将数据从小到大排列为，，，，，，，，，，共计个数据，
，该组数据第百分位数是第个数据为，，
故选：．
根据百分位数的定义计算即可．
本题考查百分位数的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：、是两条不相同的直线，、是两个不重合的平面，
对于，若，，则与相交或平行，故A错误；
对于，若，，则，又，则由面面平行的性质得，故B正确；
对于，若，，，则由线面垂直、面面垂直的性质得，故C正确；
对于，若，，，则由线面垂直的性质得，故D正确．
故选：．
对于，与相交或平行；对于，由面面平行的判定与性质得；对于，由线面垂直、面面垂直的性质得；对于，由线面垂直的性质得．
本题考查线面的位置关系、面面平行的性质与判定、线面垂直、面面垂直的性质等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得

，
故选：．
根据已知关系以及平面向量基本定理化简即可求解．
本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，旋转后的几何体如图：
其中，，，则，
则圆柱的侧面积，
圆锥的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的底面积，
则旋转体的表面积；
故选：．
根据题意，分析旋转体的几何结构，由圆柱、圆锥的面积公式计算可得答案．
本题考查旋转体的表面积计算，注意分析旋转体的几何结构，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，中，，，
由正弦定理可得，
，，
又，，
，，
又，，，
过，，的纬线圈是以的中点为圆心，为半径的小圆，
连接，则平面圆，
三棱锥的体积为，
，又，
为等腰直角三角形三角形，
与纬线圈小圆所成角为，又纬线圈小圆与赤道面平行，
与赤道面所成角的度数也为．
故选：．
先由正弦定理求出，从而得过，，的纬线圈是以的中点为圆心，为半径的小圆，再由三棱锥的体积建立方程求出，从而得与纬线圈小圆所成角，从而再得与赤道面所成角．
本题考查正弦定理，三棱锥的体积，球的性质，线面角的概念，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于选项A，在正方体中，平面，

又平面，所以，
又，，
所以平面，
又平面，所以，
同理可证，C、C、D、、与垂直，
所以，与垂直的面对角线有条，故A正确；
对于选项B，直线与直线所成的角为，
在正方体中，易知平面，
所以是直角三角形，即，
因为在正方体中，，
所以直线与直线所成的角不等于，故B错误；
对于选项C，因为平面，
所以直线与平面所成的角为，
同上，是直角三角形，即，
因为在正方体中，，
所以直线与直线所成的角不等于，故C错误；
对于选项D，取的中点，因为，所以，
同理可证，，
所以为二面角的平面角，
设正方体的边长为，则，由勾股定理有：
，在中，由余弦定理有：
，
所以，二面角的余弦值为，故D正确；

故选：．
证明平面，可证明，同理可证C、C、D、、与垂直，即可判断选项A；作出直线与直线所成的角，计算可判断；作出直线与平面所成的角，计算可判断；作出二面角的平面角，计算可判断．
本题考查了空间中的直线垂直关系的判断，空间角的计算，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由直方图可知此次测试众数的估计值为，故A正确；
因为不低于分的学生的频率为，该校高中生中随机抽取学生的人数为人，
所以此次测试分数在的学生人数为人，故B正确；
因为，所以随机抽取的学生测试分数的第百分位数约为，故C正确；
由直方图在左边“拖尾”，可知平均数小于中位数，即平均数在中位数左侧，故D错误．
故选：．
利用直方图的性质逐项分析即得．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查余弦定理，正弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查运算能力，属于基础题．
由已知，，利用余弦定理，正弦定理可求角，的三角函数值，进而求，利用三角形的面积公式即可求其面积．

【解答】

解：，
，则，故A正确；
，．
，
，
，
又，
，
，故B正确；
，
，则由正弦定理得，故C错误；
，故D正确．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：对于，根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为，故A正确；
对于，由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和，因为四棱锥有个顶点，个面，分别为个三角形和个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为，故B正确；
对于，由多面体顶点数．面数．棱数的关系有，而选项C中所给的多面体的顶点数．面数．棱数不满足此关系式，故不能构能多面体，故C不正确；
对于，设每个面记为边形，
则所有的面角和为，
根据定义可得该类多面体的总曲率为常数，故D正确．
故选：．
根据曲率的定义依次判断即可．
本题考查棱锥的几何特征，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：电路原件，至少有一个能正常工作的概率为，
则电路能正常工作的概率为，，
故答案为：．
电路能正常工作，则需电路原件正常工作且电路原件，至少有一个能正常工作，然后求解即可．
本题考查了相互独立事件和相互独立事件的概率公式，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：当选择物理时，剩下的个科目可以是“生物、政治”，“生物、地理”，“生物、化学”，“政治、地理”，“政治、化学”，“地理、化学”；
当选择历史时，剩下的个科目可以是“生物、政治”，“生物、地理”，“生物、化学”，“政治、地理”，“政治、化学”，“地理、化学”；
共种情况．
故答案为：．
将所有情况列举求解即可．
本题考查了简单的计数原理，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由于是关于的方程的根，
所以，
整理得，
整理得：，．
故．
故答案为：．
直接利用复数的运算的应用求出结果．
本题考查的知识要点：复数的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图：

设，，由知．
由知，，，，，故可知，．
因此根据图可知，，分别在直线，上，又．
因为，因此可知与同向，此时，故．
同理可得与同向，，因此，故．
故答案为：．
根据对偶基底的定义，可知，，根据，结合图形可得，分别在直线，上．
根据，，可得，以及，进而根据数量积的定义即可求解．
本题主要考查向量的数量积，属于基础题．
 

17.【答案】证明：因为，的中点，所以．
因为底面，平面，所以．
又因为，
所以．
因为，，，，平面，
所以平面．
解：由，，可得，
． 

【解析】利用线面垂直判定定理证明；
利用可求体积．
本题考查线面垂直的证明，考查空间几何体的体积的求法，属中档题．
 

18.【答案】解：因为，所以．
又因为，所以得到．
即．
故三角形为等腰三角形．
，且．
．
，．
．
又因为．
所以，则．
，，．
，则．
根据余弦定理得：．
解得：． 

【解析】利用二倍角正弦公式和正弦定理展开化简及可得到．
利用，且，得到，进而求得，利用同角三角函数之间的关系求得，再利用余弦定理求解即可．
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题．
 

19.【答案】解：设五位同学分别为，，，，，
样本空间，
事件为“两位同学都读过红楼梦和三国演义”，则事件，
事件的概率．
该学校读过红楼梦、三国演义、西游记、水浒传四本名著的概率分别为，，，，
则一位同学恰好读过其中三本书的概率为：
． 

【解析】根据题干中表格写出样本空间和事件所包含的所有结果，利用古典概型的概率公式计算即可；
利用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式即可求解．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

20.【答案】解：证明：连接，，
，，，
，为等边三角形，
，
，，
是等边三角形，，
，且平面，平面，
平面，且平面，
平面平面，．
过作于，连接，
，为中点，，
，且，，
，，
平面，平面，，
平面，
平面，，
，，平面，
与平面所成角为，
平面，平面，，
，，
与平面成角的正弦值为． 

【解析】连接，，则，，都是等边三角形，，，从而平面，由此能证明．
过作于，连接，推导出，，从而平面，，，从而平面，与平面所成角为，由此能求出与平面成角的正弦值．
本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、线面角的定义及其正弦值的求法、勾股定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：；
．
；
，．
解得，
共有件超标产品，故概率为． 

【解析】利用平均数公式可求，标准差公式可求，
由已知可得，求解即可；
共有件超标产品，可求结果．
本题考查平均数的计算，考查标准差的计算，考查概率的求法，考查了推理能力与计算能力，属基础题．
 

22.【答案】解：若选：，
在中，，，，，
可得，所以，
又由，且，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又由，且，，平面，所以平面，
又因为，分别为，中点，可得，所以平面．
若选：为四面体外接球的直径，则，可得，
又由，且，，平面，所以平面，
因为，分别为，中点，可得，所以平面．
若选：平面平面，平面平面，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又由，且，，平面，所以平面，
因为，分别为，中点，可得，所以平面．
以为原点，射线为轴建立如图直角坐标系，

则，，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
所以，故二面角的正弦值． 

【解析】若选：在中，证得，进而证得平面，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面．
若选：由，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面．
若选：由平面平面，证得平面，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，，进而证得平面．
以为原点，射线为轴建立直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查线面垂直的判定，二面角的相关计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．