2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2. 在中，“”是“”的(    )

A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 展开式中的常数项为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以发扬航天精神，筑梦星辰大海为题的航天科普知识讲座．现随机抽取名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，下列叙述正确的是(    )

A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差

5. 函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 数术记遗是我国古代的一部数学著作，该书记述了筹算、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算等十三种计算器械的使用方法．某研究性学习小组的人男女分成两组，分别收集整理八卦算、九宫算的相关资料．若两个女生不单独成组，且每组至多人，则不同的分配方法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

7. 华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”现有函数，则它的图像大致是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，为了满足游客的需求，欲在龙沙动植物园东侧修一条环湖公路其中弯曲部分满足某三次函数，并与两条直道公路平滑连接相切，根据图所示，该环湖弯曲路段满足的函数解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 下列说法中，正确的命题有(    )

A. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄，表示拟合效果越好
B. 线性经验回归直线至少经过样本点，，，中的一个
C. 若表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，且，，则与之间的相关性强于与之间的相关性
D. 用模型去拟合一组数据时，为了求出非线性经验回归方程，设，求线性经验回归方程为，则，

10. 已知函数，若，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D. 若，则

11. 一批产品中有个正品，个次品．现从中任意取出件产品，记事件：“个产品中至少有一个正品”，事件：“个产品中至少有一个次品”，事件：“个产品中有正品也有次品”，则下列结论正确的是(    )

A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件是相互独立事件
C.  D.

12. 已知是定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则下列结论正确的是(    )

A. 函数的图象关于直线对称
B. 当时，的零点有个
C.
D. 若，则

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 袋中有个红球，个白球，今随机地从中取出一个球，记录颜色后，将其放回袋中，并随之放入个与之颜色相同的球，再从袋中第二次取出一球，则第二次取出的是白球的概率为______．
14. 已知随机变量，且，则最小值为______．
15. 学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力．现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法．

16. 已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知数列的前项和满足：，
    求数列的通项公式；
    令，数列的前项和为，求证：．
18. 为迎接党的“二十大”胜利召开，学校计划组织党史知识竞赛．某班设计一个预选方案：选手从道题中随机抽取道进行回答．已知甲道题中会道，乙每道题答对的概率都是，且每道题答对与否互不影响．
    分别求出甲、乙两人答对题数的概率分布列；
    你认为派谁参加知识竞赛更合适，请说明你的理由．
19. 麦田里的守望者的主人公霍尔顿的经典语录：“记住该记住的，忘记该忘记的，改变能改变的，接受不能改变的．”霍尔顿将自己的精神世界全部寄托给了那片麦田，为了分割一个形状为四边形的麦田如图四边形，他将相连．经实地测量，霍尔顿得到，．
    霍尔顿惊奇的发现，不管有多长，都是一个定值，请你验证霍尔顿的这个结论，并求出这个定值；
    霍尔顿经过长期的数据统计，发现麦子的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系．记与的面积分别为为了更好地促进麦子的生长和发育，请你帮助霍尔顿求出的最大值．

20. 黑龙江省以绿色冬奥为契机，扎实推进“碳达峰、碳中和”工作．某课题组经过市场调查，得到比亚迪新能源汽车在齐齐哈尔市月销售量单位：十辆的数据统计表：

通过分析，发现可用线性回归模型拟合月销售量与月份代码的关系，请用相关系数加以说明相关系数精确到；
已知该课题组随机调查了齐齐哈尔市位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示．请将以下的列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验判断是否可以认为购置新能源汽车与购车车主的性别有关联？
单位：人

参考数据：，，
参考公式：
相关系数：，，其中

21. 已知椭圆：经过点，离心率为．
    求椭圆的方程；
    如图所示，过椭圆上的点，的直线与，轴的交点分别为和，，且，过原点的直线与平行，且与椭圆交于、两点．求面积的最大值．

22. 已知函数，．
    求在点处的切线方程；
    设，是的极小值点，且，证明：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，
，
则．
故选：．
求出集合，，利用交集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：在中，得，
反之也成立，
即是的充要条件，
故选：．
根据三角函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
利用通项公式即可得出．
本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】
解：通项公式，
令，解得．
常数项为．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：对于，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：
，，，，，，，，，，
讲座前问卷答题的正确率的中位数为，故A错误；
对于，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：
，故B正确；
对于，讲座前数据分布相对分散，讲座后数据分布相对集中，
讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；
对于，讲座前问卷答题的正确率的极差为：，
讲座后正确率的极差为：，
讲座前问卷答题的正确率的极差大于讲座后正确率的极差，故D错误．
故选：．
利用中位数的定义判断；利用平均数的定义判断；利用标准差的定义判断；利用极差的定义判断．
本题考查命题真假的判断，考查中位数、平均数、标准差、极差、散点图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由函数的图像可知，
当时，单调递增，
所以，，
，
所以在上恒大于，
因为直线的斜率逐渐增大，
所以单调递增，
所以，
所以，
故选：．
由函数的图像可知的单调性，再根据图像斜率的变化，判断的单调性，即可得出答案．
本题考查函数图像的理解，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：分，的两组时，不会出现两个女生单独成组的情况，有 种分组方法，
再对应到八卦算、九宫算的收集整理，有种情况，此时共有种安排方式；
分，的两组时，有 种分组方法，
除去种两个女生单独成组的情况，则有种种符合条件的分组方法，
再对应到八卦算、九宫算的收集整理，有种情况，此时共有种安排方式，
综上，共有种安排方式．
故选：．
分配问题，先分情况讨论，再进行分配处理．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数的定义域为，
当时，，，故，故排除，
又，解得，
当，可得，单调递减，
当，可得，单调递增，故排除，．
故选：．
由函数的定义域及函数在上函数值的范围，可排除，再由导函数的正负可得原函数的单调性，结合选项即可得解．
本题考查函数图象的确定，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由函数图象知，此三次函数在上处与直线相切，在点处与相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线．
A、，将代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故A错误；
B、，将代入，此时导数为，与点处切线斜率为矛盾，故B错误．
C、，将代入，此时导数为，不为，故C错误；
D、，将，代入，解得此时切线的斜率分别是，，符合题意，故D正确；
故选：．
由题设，“需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接相切“可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案．
本题考查导数的几何意义在实际问题中的应用，导数的几何意义是导数主要应用之一．
 

9.【答案】 

【解析】解：由残差图的特征可知，残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合的精度越高，所以A正确；
线性回归方程对应的直线一定经过样本点的中心，但不一定经过样本的数据点，所以B错误；
根据相关概念，相关系数的绝对值越接近于，则相关性越强，所以C错误；
用模型去拟合一组数据时，为了求出非线性经验回归方程，设，求线性经验回归方程为，
则有，
则，故，，故D正确；
故选：．
对于，由残差的分布进行判断，
对于，由线性回归方程的特征进行判断，
对于，由相关系数的定义进行判断，
对于，由线性回归方程与非线性回归方程的关系进行判断．
本题考查线性回归方程，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
当时，，在上单调递增，
对于：若，则，
所以，，
所以，故A正确；
对于：令，
，
当时，，单调递增，
所以若，则，
所以，故B正确；
对于：令在上单调递增，
所以若，则，
所以，即，故C错误；
对于：因为，
所以，
因为，
所以在时，，单调递增，
在时，，单调递减，
所以，
因为，且，
所以，
所以，
，
令，，
则，，
，，
所以当时，，单调递减，
所以，
所以，，
所以，即，
又在上单调递减，
所以，
所以，故D正确，
故选：．
求导得，分析单调性，进而可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：当事件和都出现一正一次时，他们就不是互斥事件，错；
对于：由题意可知事件是事件，事件的一个子事件，故B错；
对于：有题意可知，故AB同时发生的概率就等于发生的概率，故C正确；
对于：事件包含：一正一次，两正两种情况，事件只有一正一次一种情况，
故，故D正确，
故选：．
由，可判断，事件包含：一正一次，两正两种情况，事件只有一正一次一种情况，再利用条件概率可判断．
本题考查了互斥事件，相互独立事件，条件概率等相关知识，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，函数为偶函数，将函数的图象向右平移个单位得到的图象，则函数的图象关于直线对称，A正确；
对于，为奇函数且其图象关于直线对称，但不能确定与轴的交点个数，即不能确定的零点数目，B错误；
对于，函数为定义在上的奇函数，则，又是偶函数，则，变形有，
所以，综合可得：，故，即的周期为，C正确；
对于，由于，则，，则有，
又由的周期为，则，D错误；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的对称性，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设事件为“第一次抽到白球”，事件为“第二次抽到白球”，
则，
由概率的关系式：
，
由题意可知，，，，，
故，
故答案为：．
直接利用分步计数原理和条件概率的应用求出结果．
本题考查分步原理，条件概率，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，，，
，
当且仅当，即时取等号，
最小值为，
故答案为：．
利用正态分布曲线的对称性求出，再利用基本不等式求最值即可．
本题考查正态分布曲线的特点，考查曲线的对称性，考查基本不等式求最值，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：一共有四种不同的颜色，可以将湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿分别编号为，，，号颜色；
那么整体有三种情况：
第一种情况为只涂两种颜色：
可以有和，和，和，和，和，五种组合方式；
有种涂色方式，
那么这五种组合方式的涂色方法总数为：种；
第二种情况为只涂三种颜色：
可以有和和，和和，和和，和和，四种组合方式；
其中和和，和和，这两种组合方式不需要考虑和会相邻的情况：
例如和和按照烟囱、屋顶、屋身、门的顺序排列可以有：
，，，和，，，和，，，和，，，和，，，和，，，，
同理，根据规律以为首和以为首的也有六种组合，因此和和三种颜色共有种方式；
那么和和，和和这两种组合方式共种方式；
再考虑和和，和和的组合，
以和和为例，由于和不能相邻，因此有，，，和，，，和，，，和，，，，四种方式
因此和和，和和两种组合有种方式；
第三种情况为四种颜色：
按照上边的规律和要求，按照烟囱、屋顶、屋身、门的顺序排列可以有：
，，，和，，，和，，，和，，，和，，，和，，，和，、，和，，，和
，，，和，，，和，，，和，，，，共计种方式，
结合以上三种情况，可以算得涂色方法的总数为：种方式．
故答案为：．
根据用，，种颜色分类，再按照要求排列即可．
本题考查数字之间的组合和排列的规律，四种颜色分别涂到四个格子里，题目给出相邻不能同色，且有两种颜色不能相邻的条件，为了列举方便，可以将颜色进行编号，并按照题中条件将颜色组合方式整体分为两种、三种、四种三个大类，再根据这三大类讨论具体的颜色组合情况，按照不同的顺序去列举颜色组合方式，最后根据列举结果进行相加即可得到总的涂色方法的种类数量．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意
函数的图象如图：
令，其图象与轴相交与点，
在区间上为减函数，在为增函数，
若不等式在上恒成立，
则函数的图象在上的上方或相交，
则必有，
即，
解可得，
故答案为：．
根据题意，作出函数的图象，令，分析的图象特点，将不等式在上恒成立转化为函数的图象在上的上方或相交的问题，分析可得，即，解可得的取值范围，即可得答案．
本题考查分段函数的应用，关键是作出函数的图象，将函数的恒成立问题转化为图象的上下位置关系．
 

17.【答案】解：由题意，当时，，解得，
当时，，
整理，得，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，．
证明：由，得


，
则

，
，且，
，
，则，
，即． 

【解析】根据题干已知条件并结合公式即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前项和的表达式，然后根据不等式的运算即可证明结论成立．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和不等式的综合问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，裂项相消法，对数的运算，不等式的运算能力，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

18.【答案】解：设甲、乙答对的题数分别为、，
的可能取值为，，，
，
的分布列为

的可能取值为，，，，且，
，
，
的分布列为

由有，
，
而，
，，
故两人平均答对的题数相等，说明实力相当；但甲答对题数的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，因此推荐甲参加比赛更加合适． 

【解析】分别确定甲、乙答对的可能题数，并求出对应的概率值，进而写出它们的分布列；
由所得甲乙的分布列求期望和方差，比较它们的大小，进而确定知识竞赛人选．
本题考查离散型随机变量的期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：由余弦定理可知，
在中，，
在中，，
，，
即为定值．
，
当时，取得最大值，最大值为． 

【解析】在和中，分别利用余弦定理求出，两式结合可求出的值．
表示出，再利用中结论化简，即可求出其最大值．
本题主要考查函数的实际应用，考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：由表中数据可得，，
则，，，
故，
接近于，则月销售量与月份代码的相关性很强．
列联表如下：

，
根据小概率值的独立性检验判断可以认为购置新能源汽车与购车车主的性别无关联． 

【解析】根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．
根据列联表之间的数据关系，先补充列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查相关系数的求解，以及独立性检验公式的应用，属于基础题．
 

21.【答案】解：根据题意可得，
解得，，，
所以椭圆的方程为．
设直线的方程为，
令，得，即，
令，得，即，
因为，
所以，
所以，即，
联立，得，
设，，
所以，，
所以，
点到直线：的距离，
所以

，
因为点在椭圆上，
所以，即，代入，得
，
令，则，
则，，
，，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
所以． 

【解析】根据题意可得，解得，，，即可得出答案．
设直线的方程为，即可得出，点的坐标，由，得，设，，联立直线与椭圆的方程，得，结合韦达定理可得，，由弦长公式可得，再计算得点到直线：的距离，则，由点在椭圆上，得，令，则，则，，利用导数分析单调性，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

22.【答案】解：，
所以，
又，
所以切线方程为，即．
证明：根据题意可得，
，
令，，
，
所以在上单调递增，
又因为当时，；当时，，
所以当时，，，在上单调递增，不存在极值点，
当时，的值域为，则必存在，使得，
所以当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以存在极小值点，
所以，即，
所以．
所以，
由，得，
令，则在上单调递减，
又，
由，得，
令，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得最小值，
所以，即，即，
所以，
，
所以
所以 

【解析】求导得，由导数的几何意义可得，又，即可得出答案．
根据题意可得，求导得，由是的极小值点，得，则，利用放缩法即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．