2022-2023学年黑龙江省哈尔滨德强高中高一10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨德强高中高一10月月考数学试题

一、单选题

1．在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（    ）

A．或 B． C． D．

【答案】B

【分析】在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合为|x|≤3的集合．

【详解】由题意，满足|x|≤3的集合，可得：，

故选：B

2．集合，集合，全集为，则图中阴影部分表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合，则图中阴影部分表示的集合是，代入即可求出答案.

【详解】因为，，

图中阴影部分表示的集合是.

故选：B.

3．已知集合，则集合的真子集的个数为（    ）

A．7 B．8 C．15 D．16

【答案】A

【分析】简化即可得到集合共有7个真子集.

【详解】解：由题意得：

，

其真子集有：，，，，，，，共7个．

故选：A．

4．下列选项中，“”成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用不等式的性质可判断A、D，利用举实例可判断B、C.

【详解】对于A，“”能推出“”，但“”不能推出“”，所以A正确；

对于B，当，时，满足，但，即“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，所以B错误；

对于C，当，时，满足，但，即“”不能推出“”， 故选项C不是“”的必要条件，所以C错误；

对于D，可知，即“”能推出“”，且“”能推出“”，是充要条件，所以D错误.

故选：A.

5．的定义域为，则的定义域为（    ）

A． B．  C． D．

【答案】C

【分析】先由，求出的范围，可求出的定义域，而对于相同的对应关系，的范围和相同，从而可求出的定义域.

【详解】因为，所以，所以，

所以的定义域为，

所以由，得，

所以的定义域为，

故选：C

6．函数值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据反比例函数的性质进行求解即可.

【详解】因为，所以，

故选：D

7．已知，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】依题意可得，又，即可得到，从而得到，利用基本不等式计算可得；

【详解】解：因为，所以，

因为，所以，

所以，

当且仅当，即，时取等号，

所以的最小值是；

故选：B

8．若a，，，则的最大值为（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】A

【分析】利用基本不等式即可求解.

【详解】，当且仅当时，等号成立；

又，当且仅当时，即，等号成立；

，解得，，

所以的最大值为

故选：A

二、多选题

9．下列命题中，真命题是（    ）

A．若且，则至少有一个大于1

B．

C．的充要条件是

D．命题“”的否定形式是“”

【答案】AD

【分析】根据不等式的性质，以及实数的运算性质，以及含有一个量词的否定的概念，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，若实数都小于等于1，那么可以推出，所以A正确；

对于B中，当时，，所以B错误；

对于C中，当时，满足，但不成立，所以C错误；

对于D中，由含有一个量词的否定的概念，可得命题“”的否定形式是“”，所以D是正确的.

故选：AD.

10．若“，或”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据所给真命题、假命题成立的条件，再求出它们的交集即可得集合M满足的条件.

【详解】命题“，”为假命题，则命题“，”为真命题，

可得，

命题“，或”为真命题，则或，

或或，

显然，A，B，D选项中的区间为的子集．

故选：ABD．

11．已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（    ）

A．

B．

C．的解集为

D．的解集为或

【答案】ABC

【分析】根据二次不等式的解法，结合二次函数的性质，可得各参数的与零的大小关系，再结合韦达定理，可得选项中二次方程的解，可得答案.

【详解】不等式的解集为，，故A正确；

，令，，即，故B正确；

由上所述，易知，，

由题意可得为一元二次方程，则，，

则，，即为方程的解，

则可知不等式的解集为，故C正确，D错误.

故选：ABC.

12．已知两个变量x，y的关系式，则以下说法正确的是（    ）

A．

B．对任意实数a，都有成立

C．若对任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是

D．若对任意正实数a，不等式恒成立，则实数x的取值范围是

【答案】BC

【分析】和的值直接代入即可求得，转化为求二次函数最大值的问题，若对任意实数x，不等式恒成立转化为关于的二次函数与轴至多有一个交点的问题，若对任意正实数a，不等式恒成立转化为关于

的一次函数在内恒大于等于零恒成立的问题.

【详解】对于选项A，，，即，则A选项错误；

对于选项B，，则B选项正确；

对于选项C， 恒成立，

即 恒成立，则，解得,即实数a的取值范围是，则C选项正确；

对于选项D， 恒成立，令，当时，该函数看成关于的一次函数，函数单调递减，不可能恒大于0，当时，成立，当时，该函数看成关于的一次函数，函数单调递增，当时，

，则实数的取值范围是，则D选项错误；

故选：.

三、填空题

13．“”是“”的___________条件.（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空）

【答案】必要不充分条件

【分析】根据必要不充分条件的定义，结合不等式性质，可得答案.

【详解】由，当时，则；当时，则.

因为，则可知，所以.

故“”是“”的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分条件.

14．函数的最小值是__________．

【答案】1

【分析】先求出分段函数每一段的取值范围，再求函数的最小值.

【详解】由题得当时，f(x),

当时，f(x)∈[1,2]，

所以函数的最小值为1.

故答案为1

【点睛】（1）本题主要考查分段函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)要求分段函数的最值，必须先求每一段的取值范围，再求整个函数的取值范围.

15．某新农村为加强体育文化建设，购买了一批体育器材.已知在该批次器材中，4个排球和5个足球的价格之和小于400元，而6个排球和3个足球的价格之和大于450元.设1个排球的价格为A元，1个足球的价格为B元，则A___________B（填“>”､“<”或“=”）.

【答案】

【分析】依题意可得，再根据不等式的性质即可得到，即可判断；

【详解】解：由题意得，所以，所以，则.

故答案为：

16．长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“支教队伍的职称只有小学中级､小学高级､中学中级､中学高级四种（每种职称至少有1人）.其中，中学教师不多于小学教师，小学高级教师少于中学中级教师，小学中级教师少于小学高级教师，无论是否把我计算在内，以上条件都成立.”由队长的叙述可以推测出他的职称是___________.

【答案】小学中级职称

【分析】根据题意，列不等式组，再对不等式组进行推理即可.

【详解】设小学中级职称，小学高级职称，中学中级职称，中学高级职称的人数分别为 ，

依题意， ，并且 ， ， ，

即 ，

若 ，则 ，若队长为小学中级职称，去掉队长，

则有 ，符合题意；

若队长为小学中级职称，去掉队长，则 ，不符合题意；

若队长为中学中级职称，去掉队长， ，不符合题意；

若队长为中学高级职称，去掉队长，则 ，不符合题意；

若 ，则 ， ，不符合题意；

同理，若 也不符合题意，所以队长的职称是小学中级职称；

故答案为：小学中级职称.

四、解答题

17．（1）解关于的不等式

（2）解关于的不等式．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）将不等式转化为即可得解；（2）等价转化为，可求解集.

【详解】（1）由可得：，所以，故解集为：；

（2），等价转化为，

解得

所以不等式的解集为．

18．已知集合，集合，集合.

(1)求；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）化简集合，然后利用补集及交集的定义运算即得；

（2）由题可得，然后分，讨论即得.

【详解】(1)由，

得或，

所以

(2)因为，

所以，

①当时，，则，

②当时，，则，

综上，的取值范围为或.

19．（1）已知，求的最小值；

（2）已知，，且，求的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由，利用基本不等式可求得最小值；

（2）将已知等式变为，利用基本不等式可求得的最小值，进而求得结果.

【详解】（1）当时，，

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为；

（2）由得：，

（当且仅当，即，时取等号），

，即的最小值为.

20．某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）

(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．

(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：

①年平均利润最大时，以万元转让该项目；

②纯利润最大时，以万元转让该项目．

你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．

【答案】(1)，从第年起开始盈利

(2)选择方案①更有利于该公司的发展；理由见解析

【分析】（1）根据题意可得表达式，令，解不等式即可；

（2）分别计算两个方案的利润及所需时间，进而可确定方案.

【详解】(1)由题意可知，

令，得，解得，

所以从第年起开始盈利；

(2)若选择方案①，设年平均利润为万元，则，

当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，

此时该项目共获利（万元）．

若选择方案②，纯利润，

所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）．

以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．

21．己知，解关于x的不等式：

(1)；

(2).

【答案】(1)见解析，

(2)见解析.

【分析】（1）（2）分，和三种情况讨论求解即可

【详解】(1)当时，，解得，

当时，由，得，

由，得，或

当时，，则由，得，

当时，，由，得或，

当时，由，得，

当时，，由，得或，

综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或.

(2)当时，，得，

当时，，

当时，，则方程的两个根分别为或，

则由，得，

当时，原不等式化为，不等式无解，

当时，，不等式无解，

当时，，则方程的两个根分别为或，

则由，得或，

综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.

22．设函数，令函数.

(1)若对任意x恒成立，求实数a的值；

(2)试判断：是否存在实数a，b，使得当时，恒成立，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由列方程求解即可，

（2）求出的对称轴，利用对称轴和区间的位置关系进行分类讨论，分别求出的最大值和最小值，将问题转化为，分别求解即可得答案.

【详解】(1)因为，

所以，

因为，

所以，

得，

因为，所以，

(2)由题意得，

，对称轴为，

当时，恒成立，等价于，

当，即时，在上单调递增，

所以，

因为，，

所以与矛盾，

当，即，在上单调递减，

所以，

因为，所以，

所以，与矛盾，

当，即时，

，

由得，

由，得，

由，得，

因为，所以，

因为，解得，此时存在满足条件，

综上，实数b的取值范围为.