2021-2022学年黑龙江省哈尔滨德强学校高一下学期期末数学试题含解析

这是一份2021-2022学年黑龙江省哈尔滨德强学校高一下学期期末数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨德强学校高一下学期期末数学试题
一、单选题
1．设复数满足（为虚数单位），则复数的虚部是（       ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由求出复数，从而可求出其虚部.
【详解】由，得，
所以复数的虚部是为，
故选：D
2．如图所示，中，，，，是的中点，，则（   ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算出的值，将、用基底、加以表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】由平面向量数量积的定义可得，
，
因为，则，故，
因此，
.
故选：B.
3．已知为两个不同平面，m，n为不同的直线，下列命题不正确的是（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】由线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、线面平行的性质定理，以长方体为载体逐一分析即可得出结论．
【详解】对于A，若，则取内任意两条相交直线，使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A正确；
对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确；
对于C，若，，如图，设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故C错误；

对于D，由面面垂直的判定定理可得，故D正确；
故选：C．
4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A
【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.
5．某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生1~5之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数：
522
553
135
354
313
531
423
521
541
142
125
323
345
131
332
515
324
132
255
325

则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为（       ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据条件找出三天中恰有两天下雪的随机数，再按照古典概型求概率.
【详解】20组数据中，其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪，共有9组随机数，所以.
故选：B
6．已知定点和直线，则点到直线的离的最大值为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直线，
可化为：，令可得直线经过定点,可得点到直线的距离的最大值为.
【详解】直线，
可化为：，令解得：
因为直线经过定点,
所以点到直线的距离的最大值为
故选：D
7．一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（       ）
A．与互斥 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】D
【分析】列举出基本事件，对四个选项一一判断：
对于A：由事件A与D有相同的基本事件，否定结论；对于B：由事件C与D有相同的基本事件，否定结论；对于C、D：利用公式法进行判断.
【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：.
其中事件A包括： .
事件B包括： .
事件C包括：.
事件D包括： .
对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，故与互斥不成立.故A错误；
对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，故C与对立不成立.故B错误；
对于C：因为,,而.因为，所以与不是相互独立.故C错误；
对于D：因为,,而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立.故D正确.
故选：D
8．设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.
【详解】方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上，过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述，答案为B.


方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）
由最大角定理，故选B.
方法3：（特殊位置）取为正四面体，为中点，易得
，故选B.
【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.
二、多选题
9．已知圆心为的圆与点，则（       ）
A．圆的半径为2
B．点在圆外
C．点与圆上任一点距离的最大值为
D．点与圆上任一点距离的最小值为
【答案】BCD
【分析】把圆C的方程化为标准形式，写出圆心和半径，再逐一分析各选项并判断作答.
【详解】依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确；
因点，则，点在圆外，B正确；
因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确；
在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确.
故选：BCD
10．随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则（       ）
A．可以排成9个不同的三位数 B．所得的三位数是奇数的概率为
C．所得的三位数是偶数的概率为 D．所得的三位数大于400的概率为
【答案】BD
【分析】利用列举法列出所有的基本事件，再根据概率公式计算可得结果.
【详解】随机地排列数字1，5，6可以得到的三位数有：156，165，516，561，615，651，共6个，故A不正确；
其中奇数有：165，561，651，615，共4个，所以所得的三位数是奇数的概率为
，故B正确；
其中偶数有：156，516，共2个，所以所得的三位数是偶数的概率为，故C不正确；
其中大于400的有：516，561，615，651，共4个，所以所得的三位数大于400的概率为，故D正确.
故选：BD
11．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（       ）
A．正三棱锥高为3. B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥侧面积为
【答案】AB
【分析】根据题意画出图象，取的中心为，连接，先得出面，再求出，可得正三棱锥高；利用三角形的面积公式求出的面积，利用体积公式求出正三棱锥的体积；作交于，求出正三棱锥的斜高；再利用面积公式求正三棱锥侧面积即可.
【详解】
取的中心为，连接，
由题意得：面，
又为等边三角形，
则，
所以正三棱锥高为：，
，
所以正三棱锥的体积为：，
作交于，
又，
则正三棱锥的斜高为，
所以正三棱锥的侧面积为：.
故选：A B .
【点睛】本题主要考查了求正三棱锥的高，斜高，侧面积和体积的问题.属于中档题.
12．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（       ）
A．
B．的取值范围为
C．的取值范围为
D．的取值范围为
【答案】AC
【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得，即可判断A，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断B，再根据三角函数的性质判断C、D；
【详解】解：因为，又由余弦定理，
即，
所以，所以，即，
由正弦定理可得，
又，
，即，
，
，，为锐角，
，即，故选项A正确；
，，，故选项B错误；
，故选项C正确；
，
又，，
令，则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
又， ，
，故选项D错误．
故选：AC．
三、填空题
13．若两条直线和互相垂直，则的值为________.
【答案】0或3
【分析】根据两直线垂直的判定条件，列出方程求解，即可得出结果.
【详解】因为直线和互相垂直，
所以，解得：和.
故答案为：0或3.
【点睛】本题主要考查由两直线垂直求参数，属于基础题型.
14．已知某工厂生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种型号的螺帽，且这三种型号螺帽的周产量之比为，现在用分层抽样的方法从某周生产的螺帽中抽取若干个进行质量检查，若抽取Ⅲ型号螺帽25个，则这三种型号螺帽共抽取的个数为______.
【答案】55
【分析】直接利用分层抽样的定义求解即可
【详解】由题意可得抽取Ⅰ，Ⅱ两种型号的螺帽个数分别为，，
所以这三种型号螺帽共抽取的个数为.
故答案为：55
15．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形最大内角小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质，函数的最小值为__________．
【答案】
【分析】函数表示的是点（x,y）到点C（1，0）的距离与到点B（-1，0），到A（0，2）的距离之和，连接这三个点构成了三角形ABC，由角DOB为，角DOC为，OD=，OC=，OA=，距离之和为：2OC+OA，求和即可.
【详解】根据题意画出图像并建系，D为坐标原点

函数表示的是点（x,y）到点C（1，0）的距离与到点B（-1，0），到A（0，2）的距离之和，设三角形这个等腰三角形的费马点在高线AD上，设为O点即费马点，连接OB，OC，则角DOB为，角DOC为，B（-1，0）C（1，0），A（0，2），OD=，OC=，OA=，距离之和为：2OC+OA=+=2+.
故答案为.
【点睛】这个题目考查了点点距的公式，以及解三角形的应用，解三角形的范围问题常见两类，一类是根据基本不等式求范围，注意相等条件的判断；另一类是根据边或角的范围计算，解题时要注意题干信息给出的限制条件.
16．四面体中，是中点，在面的射影为中点，则该四面体外接球的表面积为___________.
【答案】
【分析】令为中点，由题设易得并求得、、，由△为等腰直角三角形确定外接球球心位置并求得，进而求出外接球半径，即可得表面积.
【详解】令为中点，则面，面，故，

又，则，且，
故△为等腰直角三角形，则，即，
且四面体外接球球心在过点垂直于面的直线上，
由△为等边三角形，则，
在Rt△中，
若四面体外接球半径为，则，
所以，可得，
故四面体外接球的表面积为.
故答案为：
四、解答题
17．如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上.

（1）求边所在直线的方程；
（2）求矩形外接圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1) 直线AB斜率确定，由垂直关系可求得直线AD斜率，又T在AD上，利用点斜式求直线AD方程；
（2）由AD和AB的直线方程求得A点坐标，以M为圆心，以AM为半径的圆的方程即为所求.
【详解】（1）因为边所在直线的方程为，且与垂直，
所以直线的斜率为-3.
又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，
即.
（2）由，解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为.
所以为矩形外接圆的圆心.
又，
从而矩形外接圆的方程为.
【点睛】方法点睛：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
18．某社区名居民参加消防安全知识竞赛，竞赛后对其成绩满分分进行统计，将数据按，，，分为组，其频率分布直方图如图所示．

(1)求直方图中的值；
(2)试估计这名居民竞赛成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(3)该社区准备对本次安全知识竞赛成绩较差的的居民开展消防安全知识讲座，则需要参加讲座的居民的分数不超过多少
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用频率和为1，可求得的值；
（2）利用频率分布直方图中的平均数公式可求解；
（3）求从前至后频率和等于对应的数即可.
（1）依题意得，，解得．
（2）这名居民竞赛成绩的平均分．
（3）由频率分布直方图可得，第一组的频率为，前两组的频率之和为．设需要参加讲座的居民的分数不超过，则．，解得．故需要参加讲座的居民的分数不超过．
19．四棱锥，底面ABCD是平行四边形，，且平面SCD平面ABCD，点E在棱SC上，直线平面BDE.

(1)求证：E为棱SC的中点；
(2)设二面角的大小为，且.求直线BE与平面ABCD所成的角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连AC交BD于F，连EF，根据线面平行的性质可得线线平行，即可求证.
（2）取DC中点O，OC中点G，连SO，OF，GE，BG，设，先根据面面垂直的性质证明平面ABCD，进而得到是二面角的平面角，可得，进而可得线面角，即可求解.
（1）连AC交BD于F，连EF．∵ABCD是平行四边形，∴∵直线平面BDE，面PAC，面面，∴，由是中点，∴E为棱SC的中点；
（2）取DC中点O，OC中点G，连SO，OF，GE，BG
∵侧面SCD满足，不妨设∴，∵平面平面ABCD，平面平面∴平面ABCD，又平面ABCD，故，∵∴∵ ∴       ，∴，又，平面，∴平面∴是二面角的平面角∴，又，∴∴∴∴∴∴，∵∴，∴平面ABCD∴为直线EB与平面ABCD所成的角，即直线EB与平面ABCD所成的角的正切值为【点睛】20．体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：
等级

优

良

中

不及格

人数

5

19

23

3



（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；
（2）测试成绩为“优”的3名男生记为，，，2名女生记为，．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛．
① 写出所有等可能的基本事件；
② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．
【答案】（1）；（2）；
【详解】试题分析：（1）分别求出成绩为“良”和“中”这两个简单事件的概率，再根据这两个事件是互斥事件而求出它们和的概率；（2）列举出所有基本事件，要不重不漏，在基本事件中找出恰有1名女生的事件，利用古典概型求得概率；
试题解析：（1）记“测试成绩为良或中”为事件，“测试成绩为良”为事件，“测试成绩为中”
为事件，事件，是互斥的.由已知，有．
因为当事件，之一发生时，事件发生，所以由互斥事件的概率公式，得
．
（2）① 有10个基本事件：，，，，，，
，，，．
② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件．在上述等可能的10个基本事件中，
事件包含了，，，，，．
故所求的概率为．
答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为；
（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为．
【解析】1.古典概型；2.互斥事件的概率；
21．如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点均不重合，落在边上且不与端点重合，设.

（1）若，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求的长度最短，求此时绿地公共走道的长度.
【答案】(1)；(2).
【详解】分析：（1）由题意可得，，则；
（2）由题意可得 ，由正弦定理有 ，记，结合三角函数的性质可得时，取最大，最短，则此时.
详解：（1）由图得：   ∴，
又   ∴   ∴，
∴；
（2）由图得：且 ，
∴ ，
在中，由正弦定理可得: ，
∴ ，
记
，
又 ，∴ ，
∴时，取最大，最短，则此时.
点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
22．如图梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．

（1）证明:是的中点；
（2）证明:平面；
（3）是上一点，已知二面角为，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）根据翻折前后的几何关系，通过面面平行证明结论；
（2）根据线面位置关系的判定和性质，证明结论；
（3）先做出二面角的平面角再根据条件计算线段的比值.
【详解】证明：（1）在图中过作则
图中，连接BD，CE，


又，，
，且

中，

，又不在平面 ACD内，平面ACD
平面，平面平面
，， 又是的中点，
是的中点；
（2）如图，在直角梯形中， ，


中，

又平面平面
平面，且
平面， 平面ACE     
中，
，又由（1）Q是AC的中点，
，
平面，
又平面
，又
平面；
（3）如图，过作，过作于点G，连结


则为二面角的平面角，
， 设，

又，
中，，
由得，即，
∴