2021-2022学年黑龙江省大庆市萨尔图区东风中学高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年黑龙江省大庆市萨尔图区东风中学高一（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知角的终边与单位圆交于点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 嫦娥五号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．若将报名的位同学编号为，，，，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第个个体的编号为(    )
    

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知平面和外的一条直线，下列说法不正确的是(    )

A. 若垂直于内的两条平行线，则
B. 若平行于内的一条直线，则
C. 若垂直于内的两条相交直线，则
D. 若平行于内的无数条直线，则

6. 某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音，如图所示，已知噪音的声波曲线其中，，的振幅为，周期为，初相位为，则用来降噪的声波曲线的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 阿基米德，公元前年公元前年是古希腊伟大的数学家，物理学家和天文学家，在他墓碑上刻着的一个圆柱容器里放了一个球，该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，如图所示，则在该几何体中，圆柱表面积与球表面积的比值为(    )

A.
B.
C. 或
D.

8. 已知三边，，及对角，，，周长为，且满足，若，则的面积(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知向量，，则(    )

A.
B. 与向量共线的单位向量是
C.
D. 向量在向量上的投影向量是

10. 在中，下列说法正确的有(    )

A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则 D.

11. 关于函数，下列结论正确的有(    )

A. 函数有最小值
B. 存在，有时，成立
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的图象关于成中心对称

12. 在直三棱柱中，如图所示，，，为的中点，点是线段上的点，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 存在点，使得直线与所成的角是
C. 当点是线段的中点时，直线与平面所成角的正切值为
D. 当点是线段的中点时，三棱锥外接球的表面积是

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 在棱长为的正方体中，如图所示，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为______．

14. ______ ．
15. 非零向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值为______．
16. 大庆龙凤湿地，是大庆市辖区内保留比较完整的淡水沼泽生态系统，它对调节大庆城市气候、减洪防涝、美化城区环境，起到不可替代的作用．如图所示，若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：
    测量、、；
    测量、、；
    测量、、；
    测量、、．
    其中一定能唯一确定、两地之间距离的所有方案序号是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知向量，，
    若，求的值；
    若，求的值．
18. 在四棱台中，底面是正方形，且侧棱垂直于底面，，，分别是与的中点．
    求证：平面．
    求四面体的体积．

19. 已知函数．
    用五点法画出函数的大致图像，并写出的最小正周期；
    写出函数在上的单调递减区间；
    将图像上所有的点向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图像，求在区间上的最值．

20. 如图，棱锥的底面是矩形，平面，，．
    求证：平面；
    求平面和平面夹角的余弦值的大小．

21. 某市植物园平面设计如图所示，其中区域为芳香植物区，，，区域为果树植物区，现将芳香植物区周围筑起小竹栏．
    若，求小竹栏的长度的周长；
    设时，求果树植物区的面积．

22. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
    若函数，求函数的伴随向量；
    若函数的伴随向量为，且函数在上有且只有一个零点，求的最大值；
    若函数的伴随向量为，，若实数，，使得对任意实数恒成立，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了共轭复数的概念，以及复数的几何含义，属于基础题．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数的几何含义，即可求解．

【解答】

解：，
在复平面内对应的点，位于第四象限．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：角的终边与单位圆交于点，
，，，
．
故选：．
结合三角函数的定义即可得到的值．
本题考查任意角的三角函数的定义，解答关键是熟悉任意角的三角函数的定义以及单位圆的知识，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：依次从数表中读出的有效编号为：，，，，，
故选出来的第个个体的编号为．
故选：．
依次从数表中读出有效编号，即可求解．
本题主要考查简单随机抽样，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，已知，，
若，则，解可得，
则，则，
故选：．
根据题意，由向量数量积的计算公式可得的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：若垂直于内的两条相交直线，则，故A错误，C正确；
由直线与平面平行的判定可知，若平面外的直线平行于内的一条直线，则，故B正确；
若平面外的直线平行于内的无数条直线，也符合直线与平面平行的判定，则，故D正确．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定逐一核对四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：噪音的声波曲线其中，，的振幅为，周期为，初相位为，
则，，，
故，
则降噪的声波曲线为．
故选：．
根据已知条件，先求出噪音的声波曲线，由图即可得降噪声波曲线．
本题主要考查正弦型函数的求解，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设圆柱的底面半径为，则高为，其内切球的半径为，
则圆柱的表面积为，
．
故选：．
设圆柱的底面半径为，则高为，其内切球的半径为，把圆柱及其内切球的表面积分别用表示，作比可得圆柱的表面积与球的表面积之比．
本题考查了圆柱和球表面积的计算，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，，
则由正弦定理可得：，又，
所以，解得或舍去，所以，
又三角形的周长为，所以，
则，所以，
所以三角形的面积为，
故选：．
利用正弦定理以及三角形的周长求出，的值，再利用余弦定理求出的值，进而可以求出的值，再根据面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理的应用，涉及到三角形的周长以及面积问题，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，则有，故，A正确；
对于，向量，，则与向量共线的单位向量是或，B错误；
对于，，则，C正确；
对于，向量在向量上的投影向量，D正确；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直、共线的判断，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于：，整理得，则，该三角形为锐角三角形，故A错误；
对于：若，整理得，则，故该三角形为钝角三角形，故B正确；
对于：若，则，利用正弦定理：所以，故C正确；
对于：利用余弦定理：，故D正确．
故选：．
直接利用正弦定理和余弦定理的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
选项A，最小值为，即A正确；
选项B，最小正周期，不妨计算，，有，即B正确；
选项C，令，，则，，
当时，在上单调递增，即C正确；
选项D，因为，所以不可能关于成中心对称，即D错误．
故选：．
化简可得，再根据正弦函数的图象与性质，逐一判断选项，即可．
本题考查三角函数的综合，熟练掌握正弦函数的图象与定制，辅助角公式，二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得、、两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，，
，，，，
记，
，，故A正确；
，
记直线与所成角为，则，
，，故B错误；
当点是线段的中点时，，
平面的一个法向量是，
记直线与平面所成角为，
则，
，，
，故C正确；
当点是线段的中点时，点坐标为，
由题意知的外心坐标为，
设三棱锥外接球的球心为，
则，即，解得，
三棱锥外接球的半径，表面积，故D错误．
故选：．
建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，
平面，即为直线与平面所成角，
在中，，
．
故答案为：．
根据平面可知即为所求角，利用可求得结果．
本题考查了线面角的计算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
利用二倍角公式对原式整理，利用的正弦值求得答案．
本题主要考查了二倍角公式的化简求值．属基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，设向量，夹角为，，则，
若，则，
变形可得：；
故答案为：．
根据题意，设向量，夹角为，，由数量积的计算公式可得，变形计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：对于，若已知、、，则不确定．
对于，若已知，，则唯一，
由正弦定理知，所以唯一确定；
对于，由正弦定理得，，则，
若且为锐角，则，此时可能有两解，
所以有两解，也有两解；
对于，已知，，，
由余弦定理得，，所以唯一确定；
故答案为：．
利用正弦定理可判断，利用余弦定理可判断，根据已知条件可判断不满足条件．
本题考查三角形解的个数的判断，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力，属中档题．
 

17.【答案】解：由已知得：，
故，故，结合，
解得；
结合，所以，
故，
化简得，解得：． 

【解析】利用向量平行的充要条件列出的方程，结合三角函数的性质求解；
利用向量垂直的充要条件列出关于的方程求解．
本题考查平面向量平行与垂直的充要条件，属于基础题．
 

18.【答案】解：证明：连接，由题意得与交于点，且是中点，
连接，是中点，，
平面，平面，
平面．
，，，平面，
四面体的体积为：
． 

【解析】连接，由中位线性质及线面平行的判定即可证明平面．
由线面垂直有判定知平面，由此能求出四面体的体积．
本题考查中位线性质、线面平行、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

19.【答案】解：因为，列表如下：

函数图象如下：
故函数的最小正周期．
令，
解得，
函数的单调递减区间为．
将图像上所有的点向右平移个单位长度得到，
再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到，
，，
，，
当，即时，；
当，即时． 

【解析】根据“五点法”列表，即可做出函数图象，再根据周期公式求出周期．
根据正弦函数的性质计算可得．
根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得．
本题主要考查五点法作图，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
 

20.【答案】证明：棱锥的底面是矩形，平面，，．
，，
是正方形，，
，平面．
解：棱锥的底面是矩形，
平面，，．
，，
是二面角的平面角，
，，
，，
平面和平面夹角的余弦值的大小为． 

【解析】推导出，，从而平面．
推导出，，从而是二面角的平面角，由此能求出平面和平面夹角的余弦值的大小．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，属中档题．
 

21.【答案】解：区域为芳香植物区，，，区域为果树植物区，．
，由余弦定理，
，小竹栏的长度为．
在中，，，，
，，
由正弦定理，
，
在中，由正弦定理，，
，
果树植物区域的面积：． 

【解析】由余弦定理求解，求和求解三角形的周长，推出结果．
利用正弦定理求解边长、，求出的面积即可．
本题考查三角形的解法，正弦定理，余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力，属中档题．
 

22.【答案】解：，
函数的伴随向量为；
解：，即，
函数在上有且只有一个零点，
当时，，
当时，，函数在上有且只有一个零点，
则的最大值为；
解：由题意可知：
因此：，
所以，
由已知条件，上式对任意恒成立，必有，
若，由知：，不满足式，故，
由知：，故或，
当时，则矛盾，
故，则，
由知：，
综上，原式． 

【解析】利用两角和的余弦公式结合伴随向量的定义即可得解；
根据题意可得，即，利用正切函数的性质即可得解；
根据题意可得对任意实数恒成立，则有，从而可得出答案．
本题考查平面向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．