2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高三（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高三（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x∈N*|x2−4x−5≤0}，N={x|0≤x≤4}，则M∩N=( )
A. {0,1,2,3,4}B. {1,2,3,4}C. {x|0≤x≤4}D. {x|1≤x≤4}
2.已知向量a=(1,−1)，b=(m,1−m)，若a⊥b，则m=( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
3.已知csα=45，则cs(π−α)=( )
A. −45B. 45C. 35D. −35
4.双曲线x24−y212=1的焦点到渐近线的距离为( )
A. 2B. 3C. 3D. 2 3
5.已知贵州某果园中刺梨单果的质量M(单位：g)服从正态分布N(30,σ2)，且P(M<28)=0.2，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在28g～32g的单果的个数的期望为( )
A. 20B. 60C. 40D. 80
6.等比数列{an}的前n项和为Sn，a1>0，则“a1A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
7.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2AA1，M是A1B1的中点，则异面直线A1C与BM所成角的余弦值为( )
A. 62
B. 105
C. 63
D. 155
8.已知函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ2,k∈Z}，且满足f′(x)−f(x)tanx=sin2x，f(x)在x=−π6处取极值，则下列说法中正确的是( )
A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数
C. f(x)在x=7π6处取极小值D. f(x)的最大值为4
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7=5，S7=21，则( )
A. a1=1B. d=−23C. a2+a12=10D. S10=50
10.已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中，真命题有( )
A. 若m/​/α，m/​/n，则n/​/α
B. 若m⊥α，m⊥β，n⊂α，则n/​/β
C. 若α/​/β，m⊥α，m/​/n，则n⊥β
D. 若α/​/β，m⊥α，n/​/β，则m⊥n
11.对数的发明是数学史上的重大事件.我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式，两边取常用对数，则有lgN=n+lga，现给出部分常用对数值(如下表)，下列结论正确的是( )
A. 510在区间(106,107)内
B. 350是15位数
C. 若7−50=a×10m，则m=−43
D. 若m30(m∈N*)是一个35位正整数，则m=14
12.如图，有一组圆Ck(k∈N+)都内切于点P(−2,0)，圆C1：(x+3)2+(y−1)2=2，设直线x+y+2=0与圆Ck在第二象限的交点为Ak，若|AkAk+1|= 2，则下列结论正确的是( )
A. 圆Ck的圆心都在直线x+y+2=0上
B. 圆C99的方程为(x+52)2+(y−50)2=5000
C. 若圆Ck与y轴有交点，则k≥8
D. 设直线x=−2与圆Ck在第二象限的交点为Bk，则|BkBk+1|=1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数z=2+i(其中i是虚数单位)，则|z−|= ______．
14.△ABC中AB=1，BC=3，CA= 13，则△ABC的面积为______．
15.在二项式( x+2)6的展开式中，x2的系数是______．
16.如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4 2cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______.(单位：cm)
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2+ 2ac=b2， 5sinA+csB=0．
(1)求sinC的值；
(2)若△ABC的面积S=52，求b的值．
18.(本小题12分)
已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1+3a2+5a3+…+(2n−1)an=2n(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=an2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2)若PA=AC=1，BC=2，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．
20.(本小题12分)
如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同.小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件Ai(i=1,2,3)表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”．
(1)求P(B)的值；
(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由．
21.(本小题12分)
设动圆M与圆F1：(x+1)2+y2=14外切，与圆F2：(x−1)2+y2=494内切．
(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程；
(Ⅱ)过点F2且不与x轴垂直的直线l交轨迹C于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′，Q为△AA′B的外心，试探究|QF2||AB|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2lnx−2lnx+ax2−12,a∈R．
(1)证明：f(x)有唯一的极值点；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：解x2−4x−5≤0，得：−1≤x≤5，
所以M={x∈N*|−1≤x≤5}={1,2,3,4,5}，
又因为N={x|0≤x≤4}，
所以M∩N={1,2,3,4}．
故选：B．
解不等式求出集合M，根据集合的交集运算，即可得答案．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：a=(1,−1)，b=(m,1−m)，a⊥b，
则m−(1−m)=0，解得m=12．
故选：C．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：csα=45，则cs(π−α)=−csα=−45．
故选：A．
直接利用诱导公式化简求解即可．
本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．
4.【答案】D
【解析】解：由题得：其焦点坐标为(±4,0).渐近线方程为y=± 3x
所以焦点到其渐近线的距离d=4 3 3+1=2 3．
故选：D．
先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．
本题给出双曲线的方程，求它的焦点到渐近线的距离．着重考查了点到直线的距离公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为M(单位g)服从正态分布N(30,a2)，且P(M<28)=0.2，
所以P(28若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在28g～32g的单果的个数X～B(100,0.6)，
所以E(X)=100×0.6=60．
故选：B．
由正态分布对称性及已知得P(28本题主要考查了正态分布曲线的对称性，考查了二项分布的期望公式，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，a1>0，
当a11，则数列为各项均为正数的递增数列，
则有∀n∈N*，Sn当Sna2，
则“a1故选：A．
根据q>1，0本题考查充分必要条件的定义，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：以{CA,CB,CC1}为空间的一组基底，
设AB=2AA1=2，则CA⋅CB=2×2×cs60°=2，CA⋅CC1=CB⋅CC1=0，
CA1=CA+CC1，BM=C1M−C1B=12(CA+CB)−(CB−CC1)=12CA−12CB+CC1，
所以CA1⋅BM=(CA+CC1)⋅(12CA−12CB+CC1)=12CA2−12CA⋅CB+CA⋅CC1+12CA⋅CC1−12CB⋅CC1+CC12
=12×22−12×2+0+0−0+12=2，
由勾股定理知，|CA1|= 5，|BM|= 2，
所以cs=CA1⋅BM|CA1|⋅|BM|=2 5× 2= 105，
因为异面直线夹角的取值范围为(0,π2]，
所以异面直线A1C与BM所成角的余弦值为 105．
故选：B．
以{CA,CB,CC1}为空间的一组基底，结合向量的线性运算和数量积的运算法则求出CA1⋅BM的值，由勾股定理计算|CA1|和|BM|，再由向量的夹角公式，即可得解．
本题考查异面直线夹角的求法，熟练掌握向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：对于AB，∵f′(x)−f(x)tanx=f′(x)−csxf(x)sinx=sinxf′(x)−csxf(x)sinx=2sinxcsx，
∴sinxf′(x)−csxf(x)sin2x=[f(x)sinx]′=2csx，∴f(x)sinx=2sinx+C(C∈R)，
∴f(x)=2sin2x+Csinx，∴f′(x)=4sinxcsx+Ccsx=csx(C+4sinx)，
∵f(x)在x=−π6处取极值，∴f′(−π6)= 32(C−2)=0，解得C=2，
∴f(x)=2sin2x+2sinx(x≠kπ2,k∈Z)，
∴f(−x)=2sin2x−2sinx≠f(x)且f(−x)=2sin2x−2sinx≠−f(x)，
∴f(x)不是奇函数也不是偶函数，故AB错误；
对于C，由B知，f′(x)=csx(2+4sinx)，
令f′(x)=0，解得x=−π6+2kπ或x=7π6+2kπ(k∈Z)，
则当x∈(π,7π6)时，f′(x)<0；当x∈(7π6,3π2)时，f′(x)>0；
∴f(x)在(π,7π6)上单调递减，在(7π6,3π2)上单调递增，
∴f(x)在x=7π6处取得极小值，故C正确；
对于D，令t=sinx，则t∈(−1,0)∪(0,1)，
∵g(t)=2t2+2t=2(t+12)2−12，∴g(t)<2(1+12)2−12=4，
∴f(x)<4，故D错误．
故选：C．
由已知可得[f(x)sinx]′=2csx，由此得到f(x)=2sin2x+Csinx，根据f′(−π6)=0求出C的值，进而确定f(x)，f′(x)的关系，根据奇函数和偶函数定义判断AB；根据f′(x)的正负可确定f(x)单调性，由极小值定义判断C；利用换元法，结合二次函数的性质求出最大值判断D．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数的奇偶性和最值，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：由a7=5，S7=21可得：
a7=5,S7=21a1+6d=57a1+21d=21，
解得d=23，a1=1，故A正确，B错误，
a2+a12=2a1+12d=2+12×23=10，C正确，
S10=10a1+45d=40，D错误．
故选：AC．
由a7=5S7=21可得a1+6d=57a1+21d=21，进一步解得a1=1d=23，从而即可对选项进行逐一判断．
本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A，若m/​/α，m/​/n，则n/​/α或n⊂α，选项A错误．
对于选项B，若m⊥α，m⊥β，则α/​/β，又有n⊂α，则n/​/β，选项B正确．
对于选项C，若α/​/β，m⊥α，则m⊥β，又有m/​/n，则n⊥β，选项C正确．
对于选项D，若α/​/β，m⊥α，则m⊥β，
又有n/​/β，由直线与平面平行的性质定理，可知存在l⊂β使得n/​/l，则m⊥l，则m⊥n.选项D正确．
故选：BCD．
结合直线与平面平行、垂直的判定定理与性质定理可以判断．
本题考查直线与平面平行、垂直的判定定理与性质定理等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，∵lg510=10lg5≈6.99，
lg106=6lg10=6<6.99，
lg107=7lg10=7>6.99，
∴510在区间(106,107)内，故A正确；
对于B，∵lg350=50lg3≈23.85，∴350≈1023.85，
∴350是24位数，故B错误；
对于C，∵lg7−50=−50lg7≈−42.25，
∴7−50≈10−42.25，∴7−50=a×10m，∴m=−43，故C正确；
lgm30=30lgm，
∵m30(m∈N*)是一个35位正整数，
∴34≤30lgm<35，∴1715≤lgm<76，
∴1.1267≤lgm<1.1667，
∴m=14，故D正确．
故选：ACD．
根据lgN=n+lga，分别求出各个选项中N的常用对数的值，对照所给常用对数值判断．
本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：圆C1的圆心C(−3,1)，直线PC1的方程为y=1−0−3−(−2)⋅(x+2)，即x+y+2=0，
由两圆内切连心线必过切点，得圆Ck的圆心都在直线PC1上，
即圆Ck的圆心都在直线x+y+2=0上，A正确；
显然|PA|= 2(k+1)，设点Ak(xk,yk)，
则xk+yk=−2 12+12|xK+2|= 2(k+1)，而xk<−2，解得xK=−k−3，yK=k+1，
因此圆Ck的圆心CK(−k+52,k+12)，半径为|PAk|2= 22(k+1)，
圆Ck的方程为(x+k+52)2+(y−k+12)2=(k+1)22，
则圆C99的方程为(x+52)2+(y−50)2=5000，B正确；
圆Ck的圆心到y轴距离为k+52，若圆Ck与y轴有交点，
则k+52≤ 2(k+1)2，解得k≥4 2+3≈8.6，而k∈N+，因此k≥9，C错误；
在(x+k+52)2+(y−k+12)2=(k+1)22中，令x=−2，得点Bk的纵坐标为k+1，
因此|BkBk+1|=1，D正确．
故选：ABD．
求出连心线所在直线方程判断A；求出圆Ck的方程判断B；求出圆Ck的圆心到y轴的距离，结合直线与圆相交判断C；求出点Bk的纵坐标判断D．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】 5
【解析】解：依题意z−=2−i，所以|z−|= 22+(−1)2= 5．
故答案为： 5．
根据共轭复数、复数的模等知识求得正确答案．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
14.【答案】3 34
【解析】解：△ABC中，AB=1，BC=3，CA= 13，则csB=12+32−( 13)22×1×3=−12，
所以 sinB= 32，
则三角形ABC的面积S=12AB×BC×sinB=3 34，
故答案为：3 34．
利用已知条件结合余弦定理，从而求出角B的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式，从而求出角B的正弦值，进而利用三角形面积公式求出三角形ABC的面积．
本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
15.【答案】60
【解析】解：( x+2)6的展开式的通项为Tr+1=C6r( x)6−r2r=2rC6rx3−12r
令3−r2=2得r=2
故展开式中x2项的系数是T3=−22C62=60
故答案为：60
利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2项的系数．
本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具，属于中档题．
16.【答案】(0,12]
【解析】解：由题意酒杯、小球的轴截面是如图所示的抛物线、圆C2，
以O为原点，如图建立平面直角坐标系，则A(−2 2,8)，B(2 2,8)，
设抛物线的方程为x2=2py，(p>0)，
则(2 2)2=2p×8，解得p=12，
故抛物线的标准方程为x2=y……①；
再设圆C2的方程为x2+(y−r)2=r2……②，
联立①②解得y=0，或y=2r−1，
要想满足题意，只需一根为0，另一根也为零或负数(即根为负数时不存在)，
即2r−1≤0，解得0故答案为：(0,12].
画出杯子、球的轴截面如图，问题即转化为抛物线与圆的位置关系问题，然后通过建立坐标系，求出抛物线、圆的方程，联立后得到关于y的一元二次方程，该方程只有零根或负根即可，由此构造小球半径的不等式求解．
本题考查圆与抛物线的位置关系，以及方程思想在研究圆锥曲线问题时的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由已知a2+c2+ 2ac=b2，
得：a2+c2−b2=− 2ac，
∴csB=a2+c2−b22ac=− 22，
∵0∴B=3π4，
由 5sinA+csB=0，
得sinA=− 55csB= 1010，
∴csA= 1−sin2A=3 1010，
∴csC=cs(π4−A)= 22csA+ 22sinA=2 55，可得sinC= 1−cs2C= 55；
(2)由S△ABC=12acsinB及题设条件，
得12acsin3π4=52，
∴ca=5 2，
由asinA=bsinB=csinC，
∴a 1010=b 22=c 55，
∴b2=5 22ac=25，
∴b=5．
【解析】(1)直接利用余弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．
(2)利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用．三角形面积公式的应用．
18.【答案】解：(1)由题意，当n=1时，a1=2×1=2，
当n≥2时，由a1+3a2+5a3+⋯+(2n−1)an=2n，
可得a1+3a2+5a3+⋯+(2n−3)an−1=2(n−1)，
两式相减，可得(2n−1)an=2，
即an=22n−1，
∵当n=1时，a1=2也符合上式，
∴an=22n−1，n∈N*．
(2)由(1)可得，bn=an2n+1
=2(2n−1)(2n+1)
=12n−1−12n+1，
∴Tn=b1+b2+…+bn
=1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=1−12n+1
=2n2n+1．
【解析】(1)先将n=1代入题干表达式计算出a1的值，当n≥2时，由a1+3a2+5a3+⋯+(2n−1)an=2n，可得a1+3a2+5a3+⋯+(2n−3)an−1=2(n−1)，两式相减进一步推导即可得到数列{an}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和Tn．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】解：(1)证明：在三棱锥P−ABC中，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．
又∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
BC⊂平面PBC∴平面PAC⊥平面PBC．
(2)在平面PAC内，过点A作AD⊥PC，连结MD，
∵平面PAC⊥平面PBC，
∴AD⊥平面PBC，
∴∠AMD是直线AM与平面PBC所成的角．
在△PAC中，∵PA=AC=1，AD⊥PC，
∴D为PC的中点，且AD= 22，
又∵M是PB的中点，在△PBC中MD=12BC=1，
∵AD⊥平面PBC，DM⊂平面PBC，∴AD⊥DM，
在直角三角形ADM中，tan∠AMD=ADMD= 221= 22．
【解析】(1)证明PA⊥BC，BC⊥AC，推出BC⊥平面PAC，然后证明平面PAC⊥平面PBC．
(2)过点A作AD⊥PC，连结MD，说明∠AMD是直线AM与平面PBC所成的角，通过求解三角形得出结果即可．
本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)由已知得：P(A1)=P(A2)=P(A3)=13，P(B|A1)=14,P(B|A2)=12,P(B|A3)=1，
而P(BA1)=P(B|A1)⋅P(A1)=14×13=112，P(BA2)=P(B|A2)⋅P(A2)=12×13=16，P(BA3)=P(B|A3)⋅P(A3)=1×13=13．
由全概率公式可得：P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=112+16+13=712．
(2)因“小明取出的球是黑球，该黑球来自1号箱”可表示为：A1B，
其概率为P(A1|B)=P(A1B)P(B)=112712=17，
“小明取出的球是黑球，该黑球来自2号箱”可表示为：A2B，
其概率为P(A2|B)=P(A2B)P(B)=16712=27，
“小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱”可表示为：A3B，
其概率为P(A3|B)=P(A3B)P(B)=13712=47．
综上，P(A3|B)最大，即若小明取出的球是黑球，可判断该黑球来自3号箱的概率最大．
【解析】(1)因先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球为黑球，其中有三种可能，即黑球取自于1号，2号或者3号箱，故事件B属于全概率事件，分别计算出P(Ai)和P(B|Ai)，i=1，2，3，代入全概率公式即得；
(2)由“小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱”是求条件概率P(Ai|B)，i=1，2，3，根据条件概率公式分别计算再比较即得．
本题考查古典概型、全概率公式、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21.【答案】解：(Ⅰ)设动圆半径为r，由圆M与圆F1外切得：|MF1|=r+12，
又由圆M与圆F2内切得：|MF2|=72−r，故|MF1|+|MF2|=4>|F1F2|=2，
故点M的轨迹是以F1(−1,0)，F2(1,0)为焦点的椭圆，且2a=4，2c=2，则b2=3，
∴点M的轨迹C的方程为：x24+y23=1；
(Ⅱ)设l：y=k(x−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=k(x−1)x24+y23=1⇒(4k2+3)x2−8k2x+4k2−12=0
故x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2−124k2+3，AB的中点M(4k24k2+3,−3k4k2+3)，
故AB的中垂线的方程为：y+3k4k2+3=−1k(x−4k24k2+3)，
因为AA′的中垂线为x轴，故AB的中垂线与x轴的交点即为外心Q，
令y=0得：xQ=k24k2+3，故|QF2|=|k24k2+3−1|=3(k2+1)4k2+3，
又|{AB}|= 1+k2|x1−x2|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 1+k212 1+k24k2+3=12(1+k2)4k2+3，
故|QF2||AB|=14(定值)．
【解析】(Ⅰ)利用椭圆的定义可得轨迹方程；(Ⅱ)直线与椭圆联立组成方程组，分别将|QF2|，|AB|表示出来，即可求值．
本题考查椭圆的定义和方程，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
22.【答案】解：(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞)，
且f′(x)=2xlnx+x−2x+2ax=x(2lnx−2x2+1+2a)，
令g(x)=2lnx−2x2+1+2a，所以g′(x)=2x+4x3>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，
又g(e−2a+12)<2lne−2a+12+1+2a=0，取x1>1，且x1>e1−2a2，
显然g(x1)>2lnx1−2+1+2a>2lne1−2a2−1+2a=0，因此存在唯一x0∈(e−2a+12,x1)，使得g(x0)=0，
当x∈(0,x0)时，g(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，g(x)>0，f(x)单调递增，
当x=x0时，f(x)取得极小值，无极大值，
所以f(x)有唯一极值点；
(2)由(1)知，g(x0)=2lnx0−2x02+1+2a，即ax02=1−x022−x02lnx0，
依题意，f(x0)=x02lnx0−2lnx0+ax02−12≥0，将ax02=1−x022−x02lnx0代入整理得−2lnx0−x022+12≥0，
令h(x)=−2lnx−x22+12，易知h′(x)=−2x−x<0，
所以h(x)在(0,+∞)上单调递减，又h(1)=0，则h(x0)≥h(1)，解得x0≤1，
因此g(x0)=0≤g(1)=2a−1，解得a≥12，
所以a的取值范围是[12,+∞)．
【解析】(1)求出函数的导数，利用零点存在性定理及极值的意义推理即得；
(2)利用(1)中的极小值不小于0，再探讨极小值点的取值范围即可求出a的范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值情况，并根据不等式恒成立问题的解题思路求字母的范围，属于中档题．真数x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
lgx(近似值)
0.301
0.477
0.602
0.699
0.778
0.845
0.903
0.954
1.000
真数x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
lgx(近似值)
1.041
1.079
1.114
1.146
1.176
1.204
1.230
1.255
1.279