2021学年21.3 实际问题与一元二次方程教学设计

这是一份2021学年21.3 实际问题与一元二次方程教学设计，共10页。教案主要包含了课标内容，教材分析，学情分析，教学目标，教学重点，教学难点，教学方法，课时安排等内容，欢迎下载使用。
【课标内容】
能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，体会数学是刻画现实世界数量关系的有效模型，能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
【教材分析】
本节课是人教版九年级上册二十一章中实际问题与一元二次方程中的探究2，它是以列一元二次方程解应用题为中心，深入探究有关成本下降和增长率问题。活动的侧重点是列方程解应用题，提高学生应用方程分析解决问题的能力。活动中涉及了一元二次方程的解法，列方程解应用题的一般规律等。这些问题在现实生活中有许多的原型，让学生理解两个时间段的平均变化率可以用一元二次方程作为数学模型，从而使问题得到解决。
【学情分析】
本节课的对象是九年级学生，他们已经熟练掌握一元二次方程的解法，并且有一定分析解决问题解决问题的能力，但对生活信息了解较少，制约着一些实际问题的分析，不能将理论知识自如的运用到实际中，对生活中一些一元二次方程的模型很模糊。鉴于此，本节课从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学关系式，获得合理的解答。通过自主探索和合作交流这样有意义的探索过程，理解并掌握相应的数学知识与技能，产生积极地情感体验，进而创造性的解决问题，它具有明显的问题性、实践性、开放性和创造性等特点，有效的发展学生的思维能力。
【教学目标】
知识与技能
1. 通过自学、探究，提高学生学生列出一元二次方程解决实际问题的能力；
2.通过自学、探究，使学生进一步掌握增长率问题的解决办法；
3.通过实际问题的解答再次让学生认识到方程的解必须检验。
过程与方法：通过列一元二次方程解决增长率问题，培养学生抽象思维能力；
情感态度与价值观：再次体验方程解决问题的过程，使学生能逐步清晰的表达自己的想法，从而激发学生的好奇心和求知欲
【教学重点】
在探究增长率问题的过程中找出等量关系，正确的建立一元二次方程。
【教学难点】
寻找题中的等量关系
【教学方法】
为了突出教学重点，突破教学难点，遵循教学大纲提出的:“提高学生应用数学的能力”，这一重要教学指导思想，在教学过程中，我选用以下教学方法：
1.采用课前复习归纳法；
2.采用小组合作学习，让学生充分发挥自己的见解；
3.采用分层教学。
【课时安排】
1课时
【教学难点】
课件、 学案
【教学过程设计】
一、引入新课
小明在这次中段考试中数学考了85分，他觉得没有发挥出自己的真实水平，决心加倍努力，准备以10%的增长率进行提高，那么他下次月考的成绩会是少呢？如果增长率保持不变，期末考试的成绩呢？
【师生活动】学生独立思考，讨论交流结果．在学生活动过程中，提出以下问题：
1.什么是年平均变化率？
2.怎么利用平均变化率表示各时段的数量关系？
3.第二个时间段变化后的数量应如何用平均变化率来表示？
【师生活动】学生独立思考后，师生一起总结得出，与变化率相关的问题的等量关系是：
设平均变化率为x，则变化前数量×(1＋x)2＝变化后数量．
【设计意图】明确与变化率相关的实际问题中的数量关系，为建立一元二次方程模型解决增长率问题打好基础．
二、探究新知
探究2 两年前生产1吨甲种药品的成本是5 000元，生产1吨乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3 000元，生产1吨乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
【师生活动】学生小组交流、讨论，代表回答．教师可以穿插提出下列问题：
1.这个问题有几个变化对象？(甲种药品、乙种药品)
2.它们的年平均下降额各是多少？
甲种药品成本的年平均下降额为(5 000－3 000)÷2＝1 000(元)，
乙种药品成本的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2＝1 200(元)．
乙种药品成本的年平均下降额较大．
3.年平均下降额(元)等于年平均下降率(百分数)吗？年平均下降率体现了哪两个量之间的关系？这两个量之间经过几次变化？怎样列式表示？
成本下降额表示绝对变化量，单位是元；成本下降率表示相对变化量，是表示比率的数字．
甲种药品两年前的成本5 000元，设年平均下降率为x，一年后甲种药品成本5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5 000×(1－x)2元，于是有5 000×(1－x)2＝3 000．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．
4.这两个根都是甲种药品的平均下降率吗？为什么？
根据问题的实际意义，成本的年下降率应是小于1的正数，所以应选0.225．所以根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．
5.类比甲种药品求年平均下降率的方法，你能求出乙种药品成本的年平均下降率吗？
类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程6 000×(1－x)2＝3 600得乙种药品成本年平均下降率为0.225．
6.这两种药品成本的年平均下降率是什么关系？你又能得到什么结论呢？
两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量．成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况．
【设计意图】在学生独立思考的基础上进行合作讨论，通过问题串的设置，引导学生在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值．将成本下降额与成本下降率这两个接近而不同的概念进行区分，通过计算，可以使学生认识到分析问题时应兼顾变化额与变化率．
三、例题讲解
例1已知某城市2017的绿地面积为60公顷，为满足城市发展的需要，计划到2019年底使城区绿地面积达到72.6公顷，试求2018年,2019年两年绿地面积的年平均增长率。
解：设2018年,2019年两年绿地面积的年平均增长率为x，根据题意，得
60 (1＋x)2＝72.6 ．
∴ x1 = 0.1=10%,
x2 =－2.1(不合题意,舍去)
答： 2018年,2019年两年绿地面积的年平均增长率为10%．
例2 （安徽省中考题）据报道，我省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率.(取√2 ≈1.41)
解：设我省每年产出的农作物秸秆总量为a.,合理利用量的增长率为x,
由题意得a·30%·(1+x)2=a·60%, 即(1+x)2=2.
∴ x1=≈0.41, x2≈-2.41(不符合题意，应舍去),
答：所以我省每年秸秆合理利用量的增长率是41%.
四、巩固练习
1.某乡无公害蔬菜的产量在两年内从20吨增加到35吨.设这两年无公害蔬菜产量的年平均增长率为x,根据题意,列出方程为 __________________ .
2．某电视机厂1999年生产一种彩色电视机,每台成本 3000元,由于该厂不断进行技术革新,连续两年降低成本, 至2001年这种彩电每台成本仅为1920元,设平均每年降低成本的百分数为x,可列方程_____________.
3.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季度总产值175亿元,设二月、三月平均每月增长的百分率为x,根据题意得方程为( )
4.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
5.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程
为 .
【设计意图】巩固整个解题思路：审、设、列、解、验、答，从而加深学生对此类问题的掌握情况．
五、小结
1.平均增长（降低）率公式
2.注意：
（1）1与x的位置不要调换
（2）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法
【设计意图】通过归纳，明确“变化率问题”的基本特征，以及解决此类问题的一般过程和方法．
六、 布置作业
教科书第26页复习题21第9题．
【板书设计】
21.3 实际问题与一元二次方程（探究2）
一、探究2
二、例题讲解
三、小结
【备课反思】
本课是在接一元二次方程的基础上，讲述一元二次方程的应用，让学生通过审题，根据应用题的实际意义，找出相等关系，列出有关一元二次方程，是本节的重点和难点，同时也是本章节的重难点。本课讲述一元二次方程的应用题，为学生初中阶段学好必备的代数，几何的基础知识与基本技能，解决实际问题起到启蒙作用，以及对其他学科的学习的应用。提高学生的能力，培养他们对数学的兴趣以及对他们进行思想教育方面有独特的意义，同时，对后续教学内容起到奠基作用。
根据题意列出一元一次方程是本课的重点，其理论依据是关键让学生找出相等关系克服列出一元一次方程解应用题这一难点，但由于学生年龄小，解决实际问题能力弱，对理论联系实际的问题的理解难度大。在教师引导下，通过自主合作，分析思考，找出这具体问题中的一般规律，从而经过讨论，归纳概括出较完整的关系．
本节课的反馈信息，我将从教学过程的各个环节中获得。比如从提问、讨论、练习中了解学生的学习动态，反思自己的教学实践，并在后续的教学中采取相应的补救措施。我认为这样的设计环环相扣，层层深入，循序渐进，是符合学生建构知识的规律的，最终必将达到实现目标、突出重点、化解难点的目的。