江西省吉安市吉州区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份江西省吉安市吉州区2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江西省吉安市吉州区八年级（下）期末数学试卷
（附答案与解析）
一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．a2＜b2 C． D．﹣2a＞﹣2b
3．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝（a+4）（a﹣1）
C．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ED是AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于E，已知∠CBD＝10°，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（3分）等腰三角形的顶角为100°，两腰的垂直平分线交于点P，则点P在（　　）
A．三角形底边上 B．三角形内
C．三角形外 D．无法确定
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若20202﹣4＝2018m，则m＝　 　．
8．（3分）当x＝　 　时，代数式和的值相等．
9．（3分）点P（﹣2，﹣3）向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度所得对应点Q（﹣3，0），则m+n的值为 　 　．
10．（3分）若关于x的分式方程＝4的解为非负数，则实数m的取值范围是 　 　．
11．（3分）如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若C点的坐标是（2.5，2），则D点的坐标是　 　．

12．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝　 　时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．

三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）因式分解：m2（m﹣1）﹣4（1﹣m2）；
（2）先化简，再求值：（x+2y）2﹣（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣4y2，其中x＝﹣2，y＝．
14．（6分）解不等式组，并写出其整数解．
15．（6分）一次课堂练习，小红做了如下四道因式分解题：
①x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）．②a3﹣a＝a（a2﹣1）． ③x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）．④2m2+4mn+2n2＝（2m+2n）2．
（1）小红做错的或不完整的题目是　 　（填序号）；
（2）把（1）题中题目的正确答案写在下面．
16．（6分）例在▱ABCD中，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）
（1）如图1，E为AB边上一点，AE＝AD，画出∠D的角平分线；
（2）如图2，E为AB边上一点，AE＝AD，画出∠B的角平分线；
（3）如图3，CE⊥AD于点E，请过点A作AF⊥BC于点F.
17．（6分）先化简，再从﹣2≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．
四、（本大题共3大题，每小题8分，共24分）
18．（8分）某工人现在平均每天比原计划多生产5个机器零件，现在生产60个机器零件所需时间与原计划生产45个机器零件所需时间相同，现在平均每天生产多少个机器零件？
19．（8分）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为18m，求AB的长；
（2）若∠NCM＝50°，求∠F的度数．

20．（8分）阅读下列材料：
常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式：①x2﹣4y2﹣2x+4y；
②9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn．
（2）△ABC三边a，b，c满足2a2+b2+c2＝2a（b+c），判断△ABC的形状，并说明理由．
五、（本大题共2大题，每小题9分，共18分）
21．（9分）我市某中学组织部分学生去某地开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．

甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
30
42
租金/（元/辆）
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）①既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，需租用几辆客车；②求租车费用的最小值．
22．（9分）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是奇异三角形．
（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是　 　命题（填“真”或“假”）；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧做直角三角形，且AD＝BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE．
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．

六、（本大题共1大题，共12分）
23．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°．

（1）如图1，当点E落在AC上时，求∠ADE的度数（用α表示）；
（2）如图2，以AB，AE为边作平行四边形ABFE，若点F恰好落在ED的延长线上，EF交AC于点H，求的值；
（3）若∠ADE＝45°，BC＝14，BD＝6，连接CE，则CE＝　 　．

2021-2022学年江西省吉安市吉州区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
【解答】解：A．是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
2．（3分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．a﹣1＜b﹣1 B．a2＜b2 C． D．﹣2a＞﹣2b
【分析】选项A、C、D根据不等式的性质，分别判断各选项即可；选项B根据乘方的定义判断即可．
【解答】解：A．∵a＜b，
∴a﹣1＜b﹣1，故A不符合题意．
B．a＜b，不妨设a＝﹣2，b＝1，
则a2＞b2，故B符合题意．
C．∵a＜b，
∴，故C不符合题意．
D．∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
3．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝（a+4）（a﹣1）
C．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
【分析】A、原式提取公因式x得到结果，即可做出判断；
B、原式利用十字相乘法分解得到结果，即可做出判断；
C、等式左边不是完全平方式，不能利用完全平方公式分解；
D、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝x（x﹣1），错误；
B、原式＝（a﹣4）（a+1），错误；
C、a2+2ab﹣b2，不能分解因式，错误；
D、原式＝（x+y）（x﹣y），正确．
故选：D．
【点评】此题考查了提公因式法、十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ED是AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于E，已知∠CBD＝10°，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据等腰三角形的内角和得到∠CDB＝80°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，根据等边对等角的性质可得∠ABD＝∠A，然后进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠CBD＝10°，
∴∠CDB＝80°，
∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA＝BDC＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，准确识图找出各角度之间的关系是解题的关键．
5．（3分）等腰三角形的顶角为100°，两腰的垂直平分线交于点P，则点P在（　　）
A．三角形底边上 B．三角形内
C．三角形外 D．无法确定
【分析】由三角形的垂直平分线的交点是此三角形外接圆的圆心，即可知点P在三角形外．
【解答】解：∵三角形的垂直平分线的交点是此三角形外接圆的圆心，
∵等腰三角形顶角为100°，
∴外接圆的圆心点P在三角形外．
故选：C．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与三角形外心的性质．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由AB2+AC2＝BC2，得出∠BAC＝90°，故①正确；再由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC＝DF＝AE＝4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB＝EF＝AD＝3，则四边形AEFD是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得∠DFE＝∠DAE＝150°，则③正确；最后求出S▱AEFD＝6，故④错误；即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AG＝AD＝，
∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×＝6，故④错误；
∴错误的个数是1个，
故选：A．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABC≌△DBF是解题的关键．
二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若20202﹣4＝2018m，则m＝　2022　．
【分析】先把等号左边的式子运用平方差公式进行计算，再解方程．
【解答】解：∵20202﹣4＝（2020+2）×（2020﹣2）＝2022×2018，
∴2018m＝2022×2018，
∴m＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了平方差公式分解因式，正确利用公式是解题的关键．
8．（3分）当x＝　9　时，代数式和的值相等．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：＝，
去分母得：2x+3＝3x﹣6，
解得：x＝9，
经检验x＝9是分式方程的解，
故答案为：9
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
9．（3分）点P（﹣2，﹣3）向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度所得对应点Q（﹣3，0），则m+n的值为 　4　．
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加列方程求出m、n的值，再相加计算即可得解．
【解答】解：∵点P（﹣2，﹣3）向左平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度所得对应点Q（﹣3，0），
∴﹣2﹣m＝﹣3，﹣3+n＝0，
解得m＝1，n＝3，
所以，m+n＝1+3＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
10．（3分）若关于x的分式方程＝4的解为非负数，则实数m的取值范围是 　m≤12且m≠3　．
【分析】先解得分式方程的解为x＝4﹣，再由题意可得4﹣≥0，又由x≠3，即可求m的取值范围．
【解答】解：＝4，
方程两边同时乘以x﹣3，得x+m﹣2m＝4（x﹣3），
去括号得，x﹣m＝4x﹣12，
移项、合并同类项得，3x＝12﹣m，
解得x＝4﹣，
∵解为非负数，
∴4﹣≥0，
∴m≤12，
∵x≠3，
∴m≠3，
∴m的取值范围为m≤12且m≠3，
故答案为为m≤12且m≠3．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意增根的情况是解题的关键．
11．（3分）如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若C点的坐标是（2.5，2），则D点的坐标是　（5﹣2，0）　．

【分析】设CE和x轴交于H，由对称性可知CE＝4，再根据等边三角形的性质可知AC＝CE＝4，根据勾股定理即可求出AH的长，进而求出AO和DH的长，所以OD可求，又因为D在x轴上，纵坐标为0，问题得解．
【解答】解：∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（2.5，﹣2），
∴C的坐标为（2.5，2），
∴CH＝2，CE＝4，
∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，
∴AC＝4，
∴AH＝2，
∵OH＝2.5，
∴AO＝DH＝2﹣，
∴OD＝2﹣2（2﹣）＝5﹣2
∴D点的坐标是（5﹣2，0），
故答案为：（5﹣2，0）．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x轴对称的特点以及勾股定理的运用．
12．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝　1或3或13　时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．

【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA＝4，BC＝3，BC∥x轴，根据平行四边形的判定，当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若0＜t＜时，3﹣2t＝t；若＜t＜4时，2t﹣3＝t；若4＜t＜时，2t﹣3＝4﹣3（t﹣4）；若t＞时，2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，然后分别解方程可确定满足条件的t的值．
【解答】解：∵A（4，0），B（﹣3，2），C（0，2），
∴OA＝4，BC＝3，BC∥x轴，
∵PC∥AQ，
∴当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，
若0＜t＜时，BP＝2t，PC＝3﹣2t，AQ＝t，此时3﹣2t＝t，解得t＝1；
若＜t＜4时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，AQ＝t，此时2t﹣3＝t，解得t＝3；
若4＜t＜时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝4﹣3（t﹣4），此时2t﹣3＝4﹣3（t﹣4），解得t＝（舍去）；
若t＞时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝3（t﹣4）﹣4，此时2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，解得t＝13；
综上所述，当t为1或3或13秒时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为1或3或13．
【点评】本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．利用分类讨论的思想和方程的思想是解决问题的关键
三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）因式分解：m2（m﹣1）﹣4（1﹣m2）；
（2）先化简，再求值：（x+2y）2﹣（x﹣2y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣4y2，其中x＝﹣2，y＝．
【分析】（1）利用平方差公式和提取公因式的方法进行因式分解；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算乘方和乘法，然后去括号，合并同类项进行化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）原式＝m2（m﹣1）+4（m2﹣1）
＝m2（m﹣1）+4（m+1）（m﹣1）
＝（m﹣1）（m2+4m+4）
＝（m﹣1）（m+2）2；
（2）原式＝x2+4xy+4y2﹣（x2﹣4xy+4y2）﹣（x2﹣4y2）﹣4y2
＝x2+4xy+4y2﹣x2+4xy﹣4y2﹣x2+4y2﹣4y2
＝﹣x2+8xy，
当x＝﹣2，y＝时，
原式＝﹣（﹣2）2+8×（﹣2）×
＝﹣4﹣8
＝﹣12．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．
14．（6分）解不等式组，并写出其整数解．
【分析】首先解每个不等式，然后确定两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数值即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣2，
所以不等式组的解集是﹣2≤x＜3，
此不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法，根据x的取值范围，得出x的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
15．（6分）一次课堂练习，小红做了如下四道因式分解题：
①x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）．②a3﹣a＝a（a2﹣1）． ③x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）．④2m2+4mn+2n2＝（2m+2n）2．
（1）小红做错的或不完整的题目是　②、④　（填序号）；
（2）把（1）题中题目的正确答案写在下面．
【分析】（1）②和④分解不够彻底；
（2）a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）；2m2+4mn+2n2＝2（m2+2mn+n2）＝2（m+n）2．
【解答】解：（1）a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）；2m2+4mn+2n2＝（2m+2n）2＝4（m+n）2．
故答案为②、④；
（2）a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）；2m2+4mn+2n2＝2（m2+2mn+n2）＝2（m+n）2．
【点评】本题考查因式分解；熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解题的关键．
16．（6分）例在▱ABCD中，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）
（1）如图1，E为AB边上一点，AE＝AD，画出∠D的角平分线；
（2）如图2，E为AB边上一点，AE＝AD，画出∠B的角平分线；
（3）如图3，CE⊥AD于点E，请过点A作AF⊥BC于点F.
【分析】（1）连接DE，由AE＝AD可得∠AED＝∠ADE，结合平行线的性质可得∠AED＝∠CDE，进而可得DE平分∠ADC．
（2）连接AC，BD，交于点O，连接EO并延长，交CD于点F，连接BF，则BF即为所求．
（3）连接AC，BD，交于点O，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，则AF即为所求．
【解答】解：（1）如图1，DE即为所求．
（2）如图2，BF即为所求．
（3）如图3，AF即为所求．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
17．（6分）先化简，再从﹣2≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•+
＝+
＝
＝，
∵﹣2≤x≤2中的整数有﹣2，﹣1，0，1，2，x≠0和±1和2，
∴x＝﹣2，
∴原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
四、（本大题共3大题，每小题8分，共24分）
18．（8分）某工人现在平均每天比原计划多生产5个机器零件，现在生产60个机器零件所需时间与原计划生产45个机器零件所需时间相同，现在平均每天生产多少个机器零件？
【分析】求的是现在的工效，两个工作总量分别为60个或45个，一定是根据工作时间来列等量关系．本题的关键描述语是：“现在生产60个机器零件所需时间与原计划生产45个机器零件所需时间相同”；等量关系为：现在生产60个机器零件所需时间＝原计划生产45个机器零件所需时间．
【解答】解：设现在平均每天生产x个机器零件，1分）
由题意得：（＝．（5分）
解得：x＝20．（6分）
经检验，x＝20是原方程的解．（7分）
答：现在平均每天生产20个机器零件．（8分）
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语现在生产60个机器零件所需时间与原计划生产45个机器零件所需时间相同，列出等量关系解决问题．
19．（8分）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为18m，求AB的长；
（2）若∠NCM＝50°，求∠F的度数．

【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到MA＝MC，BN＝CN，再由三角形的周长公式，即可求解；
（2）由线段垂直平分线的性质得MA＝MC，BN＝CN，则∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B，再由三角形内角和定理得∠A+∠B＝65°，求出∠AMD+∠BNE＝115°，然后由对顶角相等和三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴MA＝MC，BN＝CN，
∵△CMN的周长为18m，
∴CM+MN+CN＝18m，
∴AB＝AM+MN+BN＝CM+MN+CN＝18m；
（2）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴MA＝MC，BN＝CN，
∴∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B，
∵∠A+∠B+∠ACB＝∠A+∠B+∠NCB+∠NCM+∠MCA＝180°，
∴2∠A+2∠B+∠NCM＝180°，
即2∠A+2∠B+50°＝180°，
∴∠A+∠B＝65°，
∵DM⊥AC，EN⊥BC，
∴∠A+∠AMD＝90°，∠B+∠BNE＝90°，
∴∠AMD+∠BNE＝90°+90°﹣65°＝115°，
∵∠NMF＝∠AMD，∠MNF＝∠BNE，
∴∠NMF+∠MNF＝115°，
∴∠F＝180°﹣（∠NMF+∠MNF）＝180°﹣115°＝65°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、对顶角相等的性质、三角形的三边关系等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系，由线段垂直平分线的性质得出MA＝MC，BN＝CN是解题的关键．
20．（8分）阅读下列材料：
常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）分解因式：①x2﹣4y2﹣2x+4y；
②9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn．
（2）△ABC三边a，b，c满足2a2+b2+c2＝2a（b+c），判断△ABC的形状，并说明理由．
【分析】（1）①依据分组分解法，把x2﹣4y2﹣2x+4y分组成（x2﹣4y2）+（﹣2x+4y），然后用平方差公式和提公因式法分别因式分解，然后再提取公因式（x﹣2y）．
②依据分组分解法，把9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn分组成（9a2﹣12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2），然后分别用完全平方公式因式分解，然后再用平方差公式．
（2）通过分组分解法把2a2+b2+c2＝2a（b+c）化为（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0，然后利用平方的非负性，得出a＝b＝c，判断出△ABC是等边三角形．
【解答】解：（1）①x2﹣4y2﹣2x+4y
＝（x2﹣4y2）+（﹣2x+4y）
＝x2﹣（2y）2﹣2（x﹣2y）
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
②9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn
＝（9a2﹣12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）
＝（3a）2﹣12ab+（2b）2﹣[（5m）2﹣10mn+n2]
＝（3a﹣2b）2﹣（5m﹣n）2
＝[（3a﹣2b）+（5m﹣n）][（3a﹣2b）﹣（5m﹣n）]
＝（3a﹣2b+5m﹣n）（3a﹣2b﹣5m+n）．
（2）△ABC是等边三角形．理由如下：
∵2a2+b2+c2＝2a（b+c），
∴a2+a2+b2+c2＝2ab+2ac，
a2+a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac＝0，
（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，
（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，
∴（a﹣b）2＝0，且（a﹣c）2＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查因式分解，对于不能直接因式分解的式子可以用分组法因式分解，因式分解分组时要注意观察式子特点、分好组是关键．
五、（本大题共2大题，每小题9分，共18分）
21．（9分）我市某中学组织部分学生去某地开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．

甲种客车
乙种客车
载客量/（人/辆）
30
42
租金/（元/辆）
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）①既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，需租用几辆客车；②求租车费用的最小值．
【分析】（1）设参加此次研学旅行活动的老师有x名，学生有y名，根据“若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①由每辆车上至少需要2名老师可求出最多租车的辆数，利用租车辆数＝师生数÷42（结果利用进一法取整）可求出最少租车辆数，二者结合即可得出结论；
②设租用m辆乙种客车，则租用甲种客车（8﹣m）辆，由租车总费用不超过3100元及每个学生都有座，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合两种客车租金间的关系可找出租车费用最少的租车方案及租金．
【解答】解：（1）设参加此次研学旅行活动的老师有x名，学生有y名，
依题意，得：，
解得：．
答：参加此次研学旅行活动的老师有16名，学生有284名；
（2）①∵每辆客车上至少要有2名老师，
∴汽车总数不能大于8辆；
∵要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于（取整为8）辆，
∴需租8辆客车．
②设租用m辆乙种客车，则租用甲种客车（8﹣m）辆，
依题意，得：，
解得：5≤m≤7（m为整数）．
∵乙种车辆租金高，
∴租用乙种车辆越少，租车费用越低，
∴租用甲种客车3辆，乙种客车5辆时，租车费用最低，最低费用为400×5+300×3＝2900元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①由每辆客车上至少要有2名老师及每个学生都有座，确定租车辆数；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22．（9分）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是奇异三角形．
（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是　真　命题（填“真”或“假”）；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧做直角三角形，且AD＝BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE．
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．

【分析】（1）设等边三角形的边长为a，则a2+a2＝2a2，即可得出结论；
（2）由勾股定理得出a2+b2＝c2①，由Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，得出a2+c2＝2b2②，由①②得出b＝a，c＝a，即可得出结论；
（3）①由勾股定理得出AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝AB2，由已知得出2AD2＝AB2，AC2+CE2＝2AE2，即可得出△ACE是奇异三角形；
②由△ACE是奇异三角形，得出AC2+CE2＝2AE2，分两种情况，由直角三角形和奇异三角形的性质即可得出答案．
【解答】（1）解：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题，理由如下：
设等边三角形的边长为a，
则a2+a2＝2a2，符合“奇异三角形”的定义，
∴“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题；
故答案为：真；
（2）解：∵∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a2+c2＝2b2②，
由①②得：b＝a，c＝a，
∴a：b：c＝1：：；
（3）①证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝AB2，
∵AD＝BD，
∴2AD2＝AB2，
∵AE＝AD，CB＝CE，
∴AC2+CE2＝2AE2，
∴△ACE是奇异三角形；
②解：由①得：△ACE是奇异三角形，
∴AC2+CE2＝2AE2，
当△ACE是直角三角形时，
由（2）得：AC：AE：CE＝1：：，或AC：AE：CE＝：：1，
当AC：AE：CE＝1：：时，
AC：CE＝1：，即AC：CB＝1：，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∵AD＝BD，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝45°，
∴∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝75°；
当AC：AE：CE＝：：1时，
AC：CE＝：1，即AC：CB＝：1，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵AD＝BD，∠ADB＝90°，
∴∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝105°；
综上所述，∠DBC的度数为75°或105°．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了奇异三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握奇异三角形的定义、等边三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
六、（本大题共1大题，共12分）
23．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°．

（1）如图1，当点E落在AC上时，求∠ADE的度数（用α表示）；
（2）如图2，以AB，AE为边作平行四边形ABFE，若点F恰好落在ED的延长线上，EF交AC于点H，求的值；
（3）若∠ADE＝45°，BC＝14，BD＝6，连接CE，则CE＝　6或2　．
【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，可求得∠BAC＝180°﹣2α，又由AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°，可求得∠DAE＝2α，继而求得∠ADE的度数；
（2）由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC＝∠ABC＝α，则可得∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，证得AD⊥BC，又由AB＝AC，根据三线合一的性质知BD＝CD，从而知DH是三角形的中位线，即DH＝HC＝AB，结合HE+DF＝EF﹣DH＝AB﹣AB＝AB可得答案；
（3）由∠ADE＝45°知∠B＝∠C＝∠ADE＝∠AED＝45°、∠BAC＝∠DAE＝90°，从而得∠BAD＝∠CAE，再证△BAD≌△CAE即可得，同理可求得顺时针旋转∠ADE的情况时CE的值．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝α，
∴∠B＝∠C＝α，
则∠BAC＝180°﹣2α，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠DAE＝180°﹣∠BAC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2a，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝＝90°﹣α；

（2）∵四边形ABFE是平行四边形，
∴EF∥AB、EF＝AB，
∴∠HDC＝∠B＝∠C＝α，
∴HC＝HD，
∵∠ADE＝90°﹣α，
∴∠ADC＝∠ADE+∠HDC＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
由DH∥AB知DH是△CAB的中位线，
∴DH＝AB，
∴HC＝AB，
则HE+DF＝EF﹣DH＝AB﹣AB＝AB，
∴HC＝HE+DF，
∴＝1；

（3）如图①，当∠ADE＝45°，即90°﹣α＝45°时，α＝45°，

∴∠B＝∠C＝∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，即∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝BD＝6；
如图②，

∵BC＝14，BD＝6，
∴CD＝8，
∵∠ADE＝45°，AD＝AE，
∴∠DAE＝90°，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC、AE＝AD，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD＝45°，BE＝CD＝8，
∴∠EBC＝∠EBA+∠CBA＝90°，
则CE＝＝＝2；
综上，CE的长为6或2
故答案为：6或2．
【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．