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2021-2022学年江西省吉安市吉州区七年级（上）期末数学试卷(含答案)
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这是一份2021-2022学年江西省吉安市吉州区七年级（上）期末数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省吉安市吉州区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列各数中，2021的相反数是（ ）
A．0 B．﹣2021 C．﹣ D．
2．（3分）《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．将47000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.47×105 B．4.7×104 C．4.7×103 D．47×103
3．（3分）由如图正方体的平面展开图可知，原正方体“喜”字所在面的对面的汉字是（ ）
A．建 B．党 C．百 D．年
4．（3分）如图，下列关系式中与图不符合的式子是（ ）
A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD
C．AC﹣BC＝AC+BD D．AD﹣AC＝BD﹣BC
5．（3分）古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…称为三角形数；把1，4，9，16，…称为数正方形数．“三角形数”和“正方形数”之间存在如下图所示的关系：
即两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”，则下列等式符合以上规律的是（ ）
A．6+15＝21 B．36+45＝81 C．9+16＝25 D．30+34＝64
6．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？设共有x人，则（ ）
A．﹣9 B．+2＝ C．﹣2＝ D．+9
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）两地之间弯曲的道路改直，可以缩短路程，依据是 ．
8．（3分）|a﹣3|＝5，且a在原点左侧，则a＝ ．
9．（3分）已知（m﹣3）x|m|﹣2+4＝18是关于x的一元一次方程，则m的值为 ．
10．（3分）当x＝2时，整式px3+qx+1的值等于2021，那么当x＝﹣2时，整式px3+qx﹣2＝ ．
11．（3分）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．是继美国全球定位系统（GPS）、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统（GLONASS）之后第三个成熟的卫星导航系统．在发射前，对我国最后一颗北斗卫星各零部件的调查，最适合采用的调查方式是 ．（填“普查”或“抽样调查”）
12．（3分）桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看如图所示，这个几何体最多由 个这样的正方体组成．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）（）÷；
（2）（﹣1）2021×|﹣1|+0.5÷（﹣）．
14．（6分）若规定这样一种新运算法则：a*b＝a2﹣2ab．如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21．
（1）求2*（﹣3）的值；
（2）若（﹣4）*x＝﹣2﹣x，求x的值．
15．（6分）已知：M＝a2+4ab﹣3，N＝a2﹣6ab+9，
（1）化简：2M﹣N；
（2）若|a+2|+（b﹣1）2＝0，求2M﹣N的值．
16．（6分）（1）如图是由10个同样大小的小正方体搭成的几何体，请分别画出它的主视图和俯视图．
（2）在主视图和俯视图不变的情况下，你认为最多还可以添加 个小正方体．
17．（6分）如图，已知线段AB＝24cm，延长AB至C，使得BC＝AB．
（1）求AC的长；
（2）若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长．
二、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示：
（1）用“＜”或“＞”填空：a+c 0，b+c 0，b﹣c 0，a﹣b﹣c 0．
（2）化简：|a+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c|+|b+c|．
19．（8分）元旦前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元．若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润率为20%，每件乙商品的售价为多少元？
20．（8分）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：…
（1）按上述规律填空，第5个等式：a5＝ ＝ ．
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an＝ ＝ （n为正整数）．
（3）求a1+a2+a3+…+a50的值．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分））
21．（9分）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：
（1）这次调查活动共抽取 人；
（2）m＝ ，n＝ ；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．
22．（9分）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题．
（1）请直接写出a、c的值．a＝ ，c＝ ；
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0＜x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左运动，运动时间为t，是否存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，若存在，求出t值，若不存在，说明理由．
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）【探索新知】
如图1，射线OC在∠AOB内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“二倍线”．
（1）一个角的角平分线 这个角的“二倍线”．（填是或不是）
【运用新知】
（2）如图2，若∠AOB＝120°，射线OM从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒10°的速度向射线OA旋转，当射线OM到达射线OA的位置时停止旋转，设射线OM旋转的时间为t（s），若射线OM是∠AOB的“二倍线”，求t的值．
【深入研究】
（3）在（2）的条件下．同时射线ON从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒5°的速度向射线OB旋转，当射线OM停止旋转时，射线ON也停止旋转．请直接写出当射线OM是∠AON的“二倍线”时t的值．
2021-2022学年江西省吉安市吉州区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列各数中，2021的相反数是（ ）
A．0 B．﹣2021 C．﹣ D．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案，相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：2021的相反数是﹣2021．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．将47000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.47×105 B．4.7×104 C．4.7×103 D．47×103
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：47000＝4.7×104．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）由如图正方体的平面展开图可知，原正方体“喜”字所在面的对面的汉字是（ ）
A．建 B．党 C．百 D．年
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“喜”与面“百”相对，面“迎”与面“党”相对，面“建”与面“年”相对．
故选：C．
【点评】本题主要考查正方体的展开图，关键是要注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
4．（3分）如图，下列关系式中与图不符合的式子是（ ）
A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD
C．AC﹣BC＝AC+BD D．AD﹣AC＝BD﹣BC
【分析】根据线段之间的和差关系依次进行判断即可得出正确答案．
【解答】解：A、AD﹣CD＝AB+BC，正确，
B、AC﹣BC＝AD﹣BD，正确；
C、AC﹣BC＝AB，而AC+BD≠AB，故本选项错误；
D、AD﹣AC＝BD﹣BC，正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
5．（3分）古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…称为三角形数；把1，4，9，16，…称为数正方形数．“三角形数”和“正方形数”之间存在如下图所示的关系：
即两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”，则下列等式符合以上规律的是（ ）
A．6+15＝21 B．36+45＝81 C．9+16＝25 D．30+34＝64
【分析】符合条件的两个三角形数要满足二个条件：两个三角形数之和等于正方形数，两个三角形数之差等于正方形数的平方根．
【解答】解：A、6+15＝21，15﹣6＝9≠，所以A是错误的；
B、36+45＝81，45﹣36＝9＝，所以B是正确的；
C、9+16＝25，16﹣9＝7≠，所以C是错误的；
D、30+34＝64，34﹣30＝4≠，所以D是错误的．
故选：B．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
6．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？设共有x人，则（ ）
A．﹣9 B．+2＝ C．﹣2＝ D．+9
【分析】根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：+2＝．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）两地之间弯曲的道路改直，可以缩短路程，依据是 两点之间，线段最短 ．
【分析】直接利用线段的性质得出答案．
【解答】解：将弯曲的公路改直，可以缩短路程，这是根据两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点评】此题主要考查了线段的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
8．（3分）|a﹣3|＝5，且a在原点左侧，则a＝ ﹣2 ．
【分析】根据数轴上到3的距离等于5的数有两个，并且在原点的左侧，即可求得a．
【解答】解：∵|a﹣3|＝5，
∴a﹣3＝5或﹣5，
∴a＝8或﹣2，
∵a在原点左侧，
∴a＜0，
∴a＝﹣2．
【点评】本题考查了绝对值的几何意义，掌握绝对值的性质是解题的关键，难度不是很大．
9．（3分）已知（m﹣3）x|m|﹣2+4＝18是关于x的一元一次方程，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
|m|﹣2＝1且m﹣3≠0，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了绝对值，一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
10．（3分）当x＝2时，整式px3+qx+1的值等于2021，那么当x＝﹣2时，整式px3+qx﹣2＝ ﹣2022 ．
【分析】由题意得8p+2q＝2020，可得x＝﹣2时，整式px3+qx﹣2＝﹣8p﹣2q﹣2＝﹣（8p+2q）﹣2，然后将8p+2q＝2020整体代入即可．
【解答】解：当x＝2时，
px3+qx+1
＝23×p+2×q+1
＝8p+2q+1
＝2021，
可得8p+2q＝2020，
∴当x＝﹣2时，
px3+qx﹣2
＝（﹣2）3×p+（﹣2）×q﹣2
＝＝﹣8p﹣2q﹣2
＝﹣（8p+2q）﹣2
＝﹣2020﹣2
＝﹣2022，
故答案为：﹣2022．
【点评】此题考查了求代数式值问题的解决能力，关键是能进行准确化简和运用整体思想．
11．（3分）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．是继美国全球定位系统（GPS）、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统（GLONASS）之后第三个成熟的卫星导航系统．在发射前，对我国最后一颗北斗卫星各零部件的调查，最适合采用的调查方式是 普查 ．（填“普查”或“抽样调查”）
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：在发射前，对我国最后一颗北斗卫星各零部件的调查，最适合采用的调查方式是普查．
故答案为：普查．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
12．（3分）桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看如图所示，这个几何体最多由 8 个这样的正方体组成．
【分析】由主视图可得组合几何体有3列，由左视图可得组合几何体有2行，可得最底层几何体最多正方体的个数；由主视图和左视图可得第二层2个角各有一个正方体，相加可得所求．
【解答】解：∵由主视图可得组合几何体有3列，由左视图可得组合几何体有2行，
∴最底层几何体最多正方体的个数为：3×2＝6，
∵由主视图和左视图可得第二层2个角各有一个正方体，
∴第二层共有2个正方体，
∴该组合几何体最多共有6+2＝8个正方体．
故答案为：8．
【点评】此题考查由视图判断几何体；得到最底层正方体的最多的个数是解决本题的突破点；用到的知识点为：最底层正方体的最多的个数＝行数×列数．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）（）÷；
（2）（﹣1）2021×|﹣1|+0.5÷（﹣）．
【分析】（1）先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律计算即可；
（2）先算乘方和去绝对值，然后计算乘除法、最后算加法即可．
【解答】解：（1）（）÷
＝（+﹣）×24
＝×24+×24﹣×24
＝6+9﹣14
＝1；
（2）（﹣1）2021×|﹣1|+0.5÷（﹣）
＝（﹣1）×+×（﹣3）
＝﹣+（﹣）
＝﹣3．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序，注意乘法分配律的应用．
14．（6分）若规定这样一种新运算法则：a*b＝a2﹣2ab．如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21．
（1）求2*（﹣3）的值；
（2）若（﹣4）*x＝﹣2﹣x，求x的值．
【分析】（1）根据a*b＝a2﹣2ab，求出2*（﹣3）的值是多少即可．
（2）根据（﹣4）*x＝﹣2﹣x，可得16+8x＝﹣2﹣x，据此求出x的值是多少即可．
【解答】解：（1）2*（﹣3）＝22﹣2×2×（﹣3）＝4+12＝16；
（2）∵（﹣4）*x＝﹣2﹣x，
∴16+8x＝﹣2﹣x，
8x+x＝﹣2﹣16，
9x＝﹣18，
x＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次方程以及有理数的混合运算，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答（2）的关键．
15．（6分）已知：M＝a2+4ab﹣3，N＝a2﹣6ab+9，
（1）化简：2M﹣N；
（2）若|a+2|+（b﹣1）2＝0，求2M﹣N的值．
【分析】（1）利用整式的加减法代入计算即可求解；
（2）根据绝对值和平方的非负性，即可求得a，b的值，再代入（1）中所求的代数式中，即可求解．
【解答】解（1）∵M＝a2+4ab﹣3，N＝a2﹣6ab+9，
∴2M﹣N＝2（a2+4ab﹣3）﹣（a2﹣6ab+9）
＝2a2+8ab﹣6﹣a2+6ab﹣9
＝a2+14ab﹣15；
（2）∵|a+2|+（b﹣1）2＝0，且|a+2|≥0，（b﹣1）2≥0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴2M﹣N＝a2+14ab﹣15，
＝（﹣2）2+14×（﹣2）×1﹣15，
＝﹣39．
【点评】本题考查整式的加减法，实数的运算，熟练掌握整式的加减法法则，绝对值的性质，平方数的性质是解题的关键．
16．（6分）（1）如图是由10个同样大小的小正方体搭成的几何体，请分别画出它的主视图和俯视图．
（2）在主视图和俯视图不变的情况下，你认为最多还可以添加 3 个小正方体．
【分析】（1）主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2；俯视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；
（2）根据保持这个几何体的主视图和俯视图不变，可在左边最前面可添加2个，左边中间可添加1个，依此即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）最多还可以添加3个小正方体．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了作图﹣三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
17．（6分）如图，已知线段AB＝24cm，延长AB至C，使得BC＝AB．
（1）求AC的长；
（2）若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长．
【分析】（1）根据BC与AB的关系可得BC，由AC＝AB+BC可得答案；
（2）根据线段中点的定义分别求出AE和AD的长度，再利用线段的和差得出答案．
【解答】解：（1）∵BC＝AB，AB＝24cm，
∴BC＝×24＝12cm，
∴AC＝AB+BC＝36cm；
（2）∵D是AB的中点，E是AC的中点，
∴AD＝AB＝12cm，AE＝AC＝18cm，
∴DE＝18﹣12＝6cm．
【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
二、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示：
（1）用“＜”或“＞”填空：a+c ＜ 0，b+c ＜ 0，b﹣c ＞ 0，a﹣b﹣c ＞ 0．
（2）化简：|a+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c|+|b+c|．
【分析】（1）根据数轴可知：c＜b＜0＜a，且|a|＜|b|＜|c|，由有理数的加减法法则可得答案；
（2）根据数轴比较a+c、a﹣b﹣c、b﹣c、b+c与0的大小，然后进行化简运算即可．
【解答】解：（1）由图可知：c＜b＜0＜a，且|a|＜|b|＜|c|，
∴a+c＜0，b+c＜0，b﹣c＞0，a﹣b﹣c＞0；
故答案为：＜；＜；＞；＞；
（2）原式＝﹣（a+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣c）﹣（b+c）
＝﹣a﹣c﹣a+b+c﹣b+c﹣b﹣c
＝﹣a﹣a+b﹣b﹣b﹣c+c+c﹣c
＝﹣2a﹣b+0
＝﹣2a﹣b．
【点评】本题考查整式的化简，涉及绝对值的意义，利用数轴比较数的大小，计算绝对值并化简单计算即可．
19．（8分）元旦前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元．若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润率为20%，每件乙商品的售价为多少元？
【分析】（1）根据甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元，若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元和（1）中的结果，可以求得甲、乙各购进多少件，再根据在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润率为20%，可以列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）设乙种商品每件进价为x元，则甲种商品每件进价为（x﹣20）元，
由题意可得，7（x﹣20）+2x＝760，
解得x＝100，
∴x﹣20＝80，
答：甲、乙两种商品的每件进价分别是80元，100元；
（2）设购进甲种商品a件，乙种商品（50﹣a）件，每件乙商品的售价为b元，
由题意可得，80a+100（50﹣a）＝4400，
解得a＝30，
则（100﹣80）×30+（b﹣100）×（50﹣30）＝4400×20%，
解得b＝114，
答：每件乙商品的售价为114元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
20．（8分）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：…
（1）按上述规律填空，第5个等式：a5＝ ＝ （） ．
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an＝ ＝ （n为正整数）．
（3）求a1+a2+a3+…+a50的值．
【分析】（1）根据题目中的式子的特点，可以写出第五个等式；
（2）根据题目中的式子的特点，可以写出第n个等式；
（3）根据（2）中的结果，可以写出所求式子的值．
【解答】解：（1）由题意可得，
第5个等式：a5＝＝（），
故答案为：，（）；
（2）an＝＝，
故答案为：，；
（3）a1+a2+a3+…+a50
＝（1﹣）+（）+（）+…+（）
＝×（1﹣）
＝×（1﹣）
＝
＝．
【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分））
21．（9分）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：
（1）这次调查活动共抽取 200 人；
（2）m＝ 86 ，n＝ 27 ；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．
【分析】（1）从统计图中可知，“1次及以下”的频数为20，占调查人数的10%，可求出调查人数；
（2）“3次”的占调查人数的43%，可求出“3次”的频数，确定m的值，进而求出“4次以上”的频率，确定n值，
（3）求出“2次”的频数，即可补全条形统计图；
（4）“4次以上”占27%，因此估计3000人的27%是“4次以上”的人数．
【解答】解：（1）20÷10%＝200（人），
故答案为：200；
（2）200×43%＝86（人），54÷200＝27%，即，m＝86，n＝27，
故答案为：86，27；
（3）200×20%＝40（人），补全条形统计图如图所示：
（4）3000×27%＝810（人），
答：估计该校3000名学生中一周劳动4次及以上的大约有810人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提．
22．（9分）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题．
（1）请直接写出a、c的值．a＝ ﹣1 ，c＝ 5 ；
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0＜x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左运动，运动时间为t，是否存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，若存在，求出t值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）由b是最小的正整数，得b＝1，由（c﹣5）2+|a+b|＝0，得c＝5，a＝﹣b＝﹣1；
（2）分两种情况：当1≤x≤2时，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝2x+12；当0＜x＜1时，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝4x+10，
（3）根据题意，运动后A表示的数是﹣1﹣t，B表示的数是1﹣2t，C表示的数是5﹣5t，分三种情况：①A是BC的中点时，1﹣2t+5﹣5t＝2（﹣1﹣t），解得t＝，②B是AC中点时，﹣1﹣t+5﹣5t＝2（1﹣2t），解得t＝1，③C是AB中点时，﹣1﹣t+1﹣2t＝2（5﹣5t），解得t＝．
【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，
∴b＝1，
∵（c﹣5）2+|a+b|＝0，
∴c﹣5＝0，a+b＝0，
∴c＝5，a＝﹣b＝﹣1，
故答案为：﹣1，5；
（2）当1≤x≤2时，
|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|
＝x+1﹣（x﹣1）+2（x+5）
＝x+1﹣x+1+2x+10
＝2x+12；
当0＜x＜1时，
|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|
＝x+1﹣（﹣x+1）+2（x+5）
＝x+1+x﹣1+2x+10
＝4x+10，
（3）存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，理由如下：
根据题意，运动后A表示的数是﹣1﹣t，B表示的数是1﹣2t，C表示的数是5﹣5t，
①A是BC的中点时，1﹣2t+5﹣5t＝2（﹣1﹣t），
解得t＝，
②B是AC中点时，﹣1﹣t+5﹣5t＝2（1﹣2t），
解得t＝1，
③C是AB中点时，﹣1﹣t+1﹣2t＝2（5﹣5t），
解得t＝，
综上所述，t的值是或1或．
【点评】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数．
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）【探索新知】
如图1，射线OC在∠AOB内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“二倍线”．
（1）一个角的角平分线 是 这个角的“二倍线”．（填是或不是）
【运用新知】
（2）如图2，若∠AOB＝120°，射线OM从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒10°的速度向射线OA旋转，当射线OM到达射线OA的位置时停止旋转，设射线OM旋转的时间为t（s），若射线OM是∠AOB的“二倍线”，求t的值．
【深入研究】
（3）在（2）的条件下．同时射线ON从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒5°的速度向射线OB旋转，当射线OM停止旋转时，射线ON也停止旋转．请直接写出当射线OM是∠AON的“二倍线”时t的值．
【分析】（1）由角平分线的定义可得；
（2）分三种情况讨论，由“二倍线”的定义，列出方程可求t的值；
（3）分三种情况讨论，由“二倍线”的定义，列出方程可求t的值．
【解答】解：（1）∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“二倍线”，
故答案为：是
（2）若∠AOM＝2∠BOM时，且∠AOM+∠BOM＝120°
∴∠BOM＝40°
∴t＝＝4，
若∠BOM＝2∠AOM，且∠AOM+∠BOM＝120°
∴∠BOM＝80°
∴t＝＝8
若∠AOB＝2∠AOM，或∠AOB＝2∠BOM，
∴OM平分∠AOB，
∴∠BOM＝60°
∴t＝＝6
综上所述：当t＝4或8或6时，射线OM是∠AOB的“二倍线”．
（3）若∠AON＝2∠MON，则5t＝2×（5t+10t﹣120）
∴t＝9.6
若∠MON＝2∠AOM，则5t+10t﹣120＝2×（120﹣10t）
∴t＝
若∠AOM＝2∠MON，则120﹣10t＝2×（5t+10t﹣120）
∴t＝9
综上所述：t＝9.6或或9
【点评】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
2021-2022学年江西省吉安市吉州区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列各数中，2021的相反数是（ ）
A．0 B．﹣2021 C．﹣ D．
2．（3分）《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．将47000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.47×105 B．4.7×104 C．4.7×103 D．47×103
3．（3分）由如图正方体的平面展开图可知，原正方体“喜”字所在面的对面的汉字是（ ）
A．建 B．党 C．百 D．年
4．（3分）如图，下列关系式中与图不符合的式子是（ ）
A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD
C．AC﹣BC＝AC+BD D．AD﹣AC＝BD﹣BC
5．（3分）古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…称为三角形数；把1，4，9，16，…称为数正方形数．“三角形数”和“正方形数”之间存在如下图所示的关系：
即两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”，则下列等式符合以上规律的是（ ）
A．6+15＝21 B．36+45＝81 C．9+16＝25 D．30+34＝64
6．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？设共有x人，则（ ）
A．﹣9 B．+2＝ C．﹣2＝ D．+9
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）两地之间弯曲的道路改直，可以缩短路程，依据是 ．
8．（3分）|a﹣3|＝5，且a在原点左侧，则a＝ ．
9．（3分）已知（m﹣3）x|m|﹣2+4＝18是关于x的一元一次方程，则m的值为 ．
10．（3分）当x＝2时，整式px3+qx+1的值等于2021，那么当x＝﹣2时，整式px3+qx﹣2＝ ．
11．（3分）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．是继美国全球定位系统（GPS）、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统（GLONASS）之后第三个成熟的卫星导航系统．在发射前，对我国最后一颗北斗卫星各零部件的调查，最适合采用的调查方式是 ．（填“普查”或“抽样调查”）
12．（3分）桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看如图所示，这个几何体最多由 个这样的正方体组成．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）（）÷；
（2）（﹣1）2021×|﹣1|+0.5÷（﹣）．
14．（6分）若规定这样一种新运算法则：a*b＝a2﹣2ab．如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21．
（1）求2*（﹣3）的值；
（2）若（﹣4）*x＝﹣2﹣x，求x的值．
15．（6分）已知：M＝a2+4ab﹣3，N＝a2﹣6ab+9，
（1）化简：2M﹣N；
（2）若|a+2|+（b﹣1）2＝0，求2M﹣N的值．
16．（6分）（1）如图是由10个同样大小的小正方体搭成的几何体，请分别画出它的主视图和俯视图．
（2）在主视图和俯视图不变的情况下，你认为最多还可以添加 个小正方体．
17．（6分）如图，已知线段AB＝24cm，延长AB至C，使得BC＝AB．
（1）求AC的长；
（2）若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长．
二、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示：
（1）用“＜”或“＞”填空：a+c 0，b+c 0，b﹣c 0，a﹣b﹣c 0．
（2）化简：|a+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c|+|b+c|．
19．（8分）元旦前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元．若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润率为20%，每件乙商品的售价为多少元？
20．（8分）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：…
（1）按上述规律填空，第5个等式：a5＝ ＝ ．
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an＝ ＝ （n为正整数）．
（3）求a1+a2+a3+…+a50的值．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分））
21．（9分）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：
（1）这次调查活动共抽取 人；
（2）m＝ ，n＝ ；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．
22．（9分）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题．
（1）请直接写出a、c的值．a＝ ，c＝ ；
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0＜x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左运动，运动时间为t，是否存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，若存在，求出t值，若不存在，说明理由．
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）【探索新知】
如图1，射线OC在∠AOB内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“二倍线”．
（1）一个角的角平分线 这个角的“二倍线”．（填是或不是）
【运用新知】
（2）如图2，若∠AOB＝120°，射线OM从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒10°的速度向射线OA旋转，当射线OM到达射线OA的位置时停止旋转，设射线OM旋转的时间为t（s），若射线OM是∠AOB的“二倍线”，求t的值．
【深入研究】
（3）在（2）的条件下．同时射线ON从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒5°的速度向射线OB旋转，当射线OM停止旋转时，射线ON也停止旋转．请直接写出当射线OM是∠AON的“二倍线”时t的值．
2021-2022学年江西省吉安市吉州区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列各数中，2021的相反数是（ ）
A．0 B．﹣2021 C．﹣ D．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案，相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：2021的相反数是﹣2021．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（3分）《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．将47000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.47×105 B．4.7×104 C．4.7×103 D．47×103
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：47000＝4.7×104．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）由如图正方体的平面展开图可知，原正方体“喜”字所在面的对面的汉字是（ ）
A．建 B．党 C．百 D．年
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“喜”与面“百”相对，面“迎”与面“党”相对，面“建”与面“年”相对．
故选：C．
【点评】本题主要考查正方体的展开图，关键是要注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
4．（3分）如图，下列关系式中与图不符合的式子是（ ）
A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD
C．AC﹣BC＝AC+BD D．AD﹣AC＝BD﹣BC
【分析】根据线段之间的和差关系依次进行判断即可得出正确答案．
【解答】解：A、AD﹣CD＝AB+BC，正确，
B、AC﹣BC＝AD﹣BD，正确；
C、AC﹣BC＝AB，而AC+BD≠AB，故本选项错误；
D、AD﹣AC＝BD﹣BC，正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
5．（3分）古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…称为三角形数；把1，4，9，16，…称为数正方形数．“三角形数”和“正方形数”之间存在如下图所示的关系：
即两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”，则下列等式符合以上规律的是（ ）
A．6+15＝21 B．36+45＝81 C．9+16＝25 D．30+34＝64
【分析】符合条件的两个三角形数要满足二个条件：两个三角形数之和等于正方形数，两个三角形数之差等于正方形数的平方根．
【解答】解：A、6+15＝21，15﹣6＝9≠，所以A是错误的；
B、36+45＝81，45﹣36＝9＝，所以B是正确的；
C、9+16＝25，16﹣9＝7≠，所以C是错误的；
D、30+34＝64，34﹣30＝4≠，所以D是错误的．
故选：B．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
6．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人？设共有x人，则（ ）
A．﹣9 B．+2＝ C．﹣2＝ D．+9
【分析】根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：+2＝．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）两地之间弯曲的道路改直，可以缩短路程，依据是 两点之间，线段最短 ．
【分析】直接利用线段的性质得出答案．
【解答】解：将弯曲的公路改直，可以缩短路程，这是根据两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点评】此题主要考查了线段的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
8．（3分）|a﹣3|＝5，且a在原点左侧，则a＝ ﹣2 ．
【分析】根据数轴上到3的距离等于5的数有两个，并且在原点的左侧，即可求得a．
【解答】解：∵|a﹣3|＝5，
∴a﹣3＝5或﹣5，
∴a＝8或﹣2，
∵a在原点左侧，
∴a＜0，
∴a＝﹣2．
【点评】本题考查了绝对值的几何意义，掌握绝对值的性质是解题的关键，难度不是很大．
9．（3分）已知（m﹣3）x|m|﹣2+4＝18是关于x的一元一次方程，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
|m|﹣2＝1且m﹣3≠0，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了绝对值，一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
10．（3分）当x＝2时，整式px3+qx+1的值等于2021，那么当x＝﹣2时，整式px3+qx﹣2＝ ﹣2022 ．
【分析】由题意得8p+2q＝2020，可得x＝﹣2时，整式px3+qx﹣2＝﹣8p﹣2q﹣2＝﹣（8p+2q）﹣2，然后将8p+2q＝2020整体代入即可．
【解答】解：当x＝2时，
px3+qx+1
＝23×p+2×q+1
＝8p+2q+1
＝2021，
可得8p+2q＝2020，
∴当x＝﹣2时，
px3+qx﹣2
＝（﹣2）3×p+（﹣2）×q﹣2
＝＝﹣8p﹣2q﹣2
＝﹣（8p+2q）﹣2
＝﹣2020﹣2
＝﹣2022，
故答案为：﹣2022．
【点评】此题考查了求代数式值问题的解决能力，关键是能进行准确化简和运用整体思想．
11．（3分）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．是继美国全球定位系统（GPS）、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统（GLONASS）之后第三个成熟的卫星导航系统．在发射前，对我国最后一颗北斗卫星各零部件的调查，最适合采用的调查方式是 普查 ．（填“普查”或“抽样调查”）
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：在发射前，对我国最后一颗北斗卫星各零部件的调查，最适合采用的调查方式是普查．
故答案为：普查．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
12．（3分）桌上摆着一个由若干个相同正方体组成的几何体，从正面看和从左面看如图所示，这个几何体最多由 8 个这样的正方体组成．
【分析】由主视图可得组合几何体有3列，由左视图可得组合几何体有2行，可得最底层几何体最多正方体的个数；由主视图和左视图可得第二层2个角各有一个正方体，相加可得所求．
【解答】解：∵由主视图可得组合几何体有3列，由左视图可得组合几何体有2行，
∴最底层几何体最多正方体的个数为：3×2＝6，
∵由主视图和左视图可得第二层2个角各有一个正方体，
∴第二层共有2个正方体，
∴该组合几何体最多共有6+2＝8个正方体．
故答案为：8．
【点评】此题考查由视图判断几何体；得到最底层正方体的最多的个数是解决本题的突破点；用到的知识点为：最底层正方体的最多的个数＝行数×列数．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1）（）÷；
（2）（﹣1）2021×|﹣1|+0.5÷（﹣）．
【分析】（1）先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律计算即可；
（2）先算乘方和去绝对值，然后计算乘除法、最后算加法即可．
【解答】解：（1）（）÷
＝（+﹣）×24
＝×24+×24﹣×24
＝6+9﹣14
＝1；
（2）（﹣1）2021×|﹣1|+0.5÷（﹣）
＝（﹣1）×+×（﹣3）
＝﹣+（﹣）
＝﹣3．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序，注意乘法分配律的应用．
14．（6分）若规定这样一种新运算法则：a*b＝a2﹣2ab．如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21．
（1）求2*（﹣3）的值；
（2）若（﹣4）*x＝﹣2﹣x，求x的值．
【分析】（1）根据a*b＝a2﹣2ab，求出2*（﹣3）的值是多少即可．
（2）根据（﹣4）*x＝﹣2﹣x，可得16+8x＝﹣2﹣x，据此求出x的值是多少即可．
【解答】解：（1）2*（﹣3）＝22﹣2×2×（﹣3）＝4+12＝16；
（2）∵（﹣4）*x＝﹣2﹣x，
∴16+8x＝﹣2﹣x，
8x+x＝﹣2﹣16，
9x＝﹣18，
x＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次方程以及有理数的混合运算，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答（2）的关键．
15．（6分）已知：M＝a2+4ab﹣3，N＝a2﹣6ab+9，
（1）化简：2M﹣N；
（2）若|a+2|+（b﹣1）2＝0，求2M﹣N的值．
【分析】（1）利用整式的加减法代入计算即可求解；
（2）根据绝对值和平方的非负性，即可求得a，b的值，再代入（1）中所求的代数式中，即可求解．
【解答】解（1）∵M＝a2+4ab﹣3，N＝a2﹣6ab+9，
∴2M﹣N＝2（a2+4ab﹣3）﹣（a2﹣6ab+9）
＝2a2+8ab﹣6﹣a2+6ab﹣9
＝a2+14ab﹣15；
（2）∵|a+2|+（b﹣1）2＝0，且|a+2|≥0，（b﹣1）2≥0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴2M﹣N＝a2+14ab﹣15，
＝（﹣2）2+14×（﹣2）×1﹣15，
＝﹣39．
【点评】本题考查整式的加减法，实数的运算，熟练掌握整式的加减法法则，绝对值的性质，平方数的性质是解题的关键．
16．（6分）（1）如图是由10个同样大小的小正方体搭成的几何体，请分别画出它的主视图和俯视图．
（2）在主视图和俯视图不变的情况下，你认为最多还可以添加 3 个小正方体．
【分析】（1）主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2；俯视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；
（2）根据保持这个几何体的主视图和俯视图不变，可在左边最前面可添加2个，左边中间可添加1个，依此即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）最多还可以添加3个小正方体．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了作图﹣三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
17．（6分）如图，已知线段AB＝24cm，延长AB至C，使得BC＝AB．
（1）求AC的长；
（2）若D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长．
【分析】（1）根据BC与AB的关系可得BC，由AC＝AB+BC可得答案；
（2）根据线段中点的定义分别求出AE和AD的长度，再利用线段的和差得出答案．
【解答】解：（1）∵BC＝AB，AB＝24cm，
∴BC＝×24＝12cm，
∴AC＝AB+BC＝36cm；
（2）∵D是AB的中点，E是AC的中点，
∴AD＝AB＝12cm，AE＝AC＝18cm，
∴DE＝18﹣12＝6cm．
【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
二、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示：
（1）用“＜”或“＞”填空：a+c ＜ 0，b+c ＜ 0，b﹣c ＞ 0，a﹣b﹣c ＞ 0．
（2）化简：|a+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|b﹣c|+|b+c|．
【分析】（1）根据数轴可知：c＜b＜0＜a，且|a|＜|b|＜|c|，由有理数的加减法法则可得答案；
（2）根据数轴比较a+c、a﹣b﹣c、b﹣c、b+c与0的大小，然后进行化简运算即可．
【解答】解：（1）由图可知：c＜b＜0＜a，且|a|＜|b|＜|c|，
∴a+c＜0，b+c＜0，b﹣c＞0，a﹣b﹣c＞0；
故答案为：＜；＜；＞；＞；
（2）原式＝﹣（a+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣c）﹣（b+c）
＝﹣a﹣c﹣a+b+c﹣b+c﹣b﹣c
＝﹣a﹣a+b﹣b﹣b﹣c+c+c﹣c
＝﹣2a﹣b+0
＝﹣2a﹣b．
【点评】本题考查整式的化简，涉及绝对值的意义，利用数轴比较数的大小，计算绝对值并化简单计算即可．
19．（8分）元旦前夕，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元．若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元．在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润率为20%，每件乙商品的售价为多少元？
【分析】（1）根据甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元，若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共50件，所用资金恰好为4400元和（1）中的结果，可以求得甲、乙各购进多少件，再根据在销售时，甲种商品的每件售价为100元，要使得这50件商品所获利润率为20%，可以列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）设乙种商品每件进价为x元，则甲种商品每件进价为（x﹣20）元，
由题意可得，7（x﹣20）+2x＝760，
解得x＝100，
∴x﹣20＝80，
答：甲、乙两种商品的每件进价分别是80元，100元；
（2）设购进甲种商品a件，乙种商品（50﹣a）件，每件乙商品的售价为b元，
由题意可得，80a+100（50﹣a）＝4400，
解得a＝30，
则（100﹣80）×30+（b﹣100）×（50﹣30）＝4400×20%，
解得b＝114，
答：每件乙商品的售价为114元．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
20．（8分）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：…
（1）按上述规律填空，第5个等式：a5＝ ＝ （） ．
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an＝ ＝ （n为正整数）．
（3）求a1+a2+a3+…+a50的值．
【分析】（1）根据题目中的式子的特点，可以写出第五个等式；
（2）根据题目中的式子的特点，可以写出第n个等式；
（3）根据（2）中的结果，可以写出所求式子的值．
【解答】解：（1）由题意可得，
第5个等式：a5＝＝（），
故答案为：，（）；
（2）an＝＝，
故答案为：，；
（3）a1+a2+a3+…+a50
＝（1﹣）+（）+（）+…+（）
＝×（1﹣）
＝×（1﹣）
＝
＝．
【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分））
21．（9分）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：
（1）这次调查活动共抽取 200 人；
（2）m＝ 86 ，n＝ 27 ；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．
【分析】（1）从统计图中可知，“1次及以下”的频数为20，占调查人数的10%，可求出调查人数；
（2）“3次”的占调查人数的43%，可求出“3次”的频数，确定m的值，进而求出“4次以上”的频率，确定n值，
（3）求出“2次”的频数，即可补全条形统计图；
（4）“4次以上”占27%，因此估计3000人的27%是“4次以上”的人数．
【解答】解：（1）20÷10%＝200（人），
故答案为：200；
（2）200×43%＝86（人），54÷200＝27%，即，m＝86，n＝27，
故答案为：86，27；
（3）200×20%＝40（人），补全条形统计图如图所示：
（4）3000×27%＝810（人），
答：估计该校3000名学生中一周劳动4次及以上的大约有810人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的前提．
22．（9分）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题．
（1）请直接写出a、c的值．a＝ ﹣1 ，c＝ 5 ；
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0＜x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左运动，运动时间为t，是否存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，若存在，求出t值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）由b是最小的正整数，得b＝1，由（c﹣5）2+|a+b|＝0，得c＝5，a＝﹣b＝﹣1；
（2）分两种情况：当1≤x≤2时，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝2x+12；当0＜x＜1时，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝4x+10，
（3）根据题意，运动后A表示的数是﹣1﹣t，B表示的数是1﹣2t，C表示的数是5﹣5t，分三种情况：①A是BC的中点时，1﹣2t+5﹣5t＝2（﹣1﹣t），解得t＝，②B是AC中点时，﹣1﹣t+5﹣5t＝2（1﹣2t），解得t＝1，③C是AB中点时，﹣1﹣t+1﹣2t＝2（5﹣5t），解得t＝．
【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，
∴b＝1，
∵（c﹣5）2+|a+b|＝0，
∴c﹣5＝0，a+b＝0，
∴c＝5，a＝﹣b＝﹣1，
故答案为：﹣1，5；
（2）当1≤x≤2时，
|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|
＝x+1﹣（x﹣1）+2（x+5）
＝x+1﹣x+1+2x+10
＝2x+12；
当0＜x＜1时，
|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|
＝x+1﹣（﹣x+1）+2（x+5）
＝x+1+x﹣1+2x+10
＝4x+10，
（3）存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，理由如下：
根据题意，运动后A表示的数是﹣1﹣t，B表示的数是1﹣2t，C表示的数是5﹣5t，
①A是BC的中点时，1﹣2t+5﹣5t＝2（﹣1﹣t），
解得t＝，
②B是AC中点时，﹣1﹣t+5﹣5t＝2（1﹣2t），
解得t＝1，
③C是AB中点时，﹣1﹣t+1﹣2t＝2（5﹣5t），
解得t＝，
综上所述，t的值是或1或．
【点评】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数．
六、解答题（本大题共1小题，共12分）
23．（12分）【探索新知】
如图1，射线OC在∠AOB内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“二倍线”．
（1）一个角的角平分线 是 这个角的“二倍线”．（填是或不是）
【运用新知】
（2）如图2，若∠AOB＝120°，射线OM从射线OB的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒10°的速度向射线OA旋转，当射线OM到达射线OA的位置时停止旋转，设射线OM旋转的时间为t（s），若射线OM是∠AOB的“二倍线”，求t的值．
【深入研究】
（3）在（2）的条件下．同时射线ON从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒5°的速度向射线OB旋转，当射线OM停止旋转时，射线ON也停止旋转．请直接写出当射线OM是∠AON的“二倍线”时t的值．
【分析】（1）由角平分线的定义可得；
（2）分三种情况讨论，由“二倍线”的定义，列出方程可求t的值；
（3）分三种情况讨论，由“二倍线”的定义，列出方程可求t的值．
【解答】解：（1）∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的两倍，
∴一个角的角平分线是 这个角的“二倍线”，
故答案为：是
（2）若∠AOM＝2∠BOM时，且∠AOM+∠BOM＝120°
∴∠BOM＝40°
∴t＝＝4，
若∠BOM＝2∠AOM，且∠AOM+∠BOM＝120°
∴∠BOM＝80°
∴t＝＝8
若∠AOB＝2∠AOM，或∠AOB＝2∠BOM，
∴OM平分∠AOB，
∴∠BOM＝60°
∴t＝＝6
综上所述：当t＝4或8或6时，射线OM是∠AOB的“二倍线”．
（3）若∠AON＝2∠MON，则5t＝2×（5t+10t﹣120）
∴t＝9.6
若∠MON＝2∠AOM，则5t+10t﹣120＝2×（120﹣10t）
∴t＝
若∠AOM＝2∠MON，则120﹣10t＝2×（5t+10t﹣120）
∴t＝9
综上所述：t＝9.6或或9
【点评】本题考查一元一次方程的应用，角平分线的性质，找等量关系列出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．
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