2021-2022学年江西省吉安市遂川县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江西省吉安市遂川县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 某等腰三角形的顶角，则其每个底角是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如果，那么下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 观察下列图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 在式子中，分式的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6. 已知四边形中，与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是(    )
   再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形．
   再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形．
   再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形．
   再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形．

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

7. 分解因式______．
8. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
9. 在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后的点的坐标是______．
10. 关于的不等式组的解集为，则的值为______．
11. 如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点若，，当______时，点在线段的垂直平分线上．
12. 如图，已知是等腰直角三角形，，将线段绕点逆时针旋转
    得到，连接，当是等腰三角形不含等腰直角三角形时，______．

三、解答题（本大题共11小题，共84分）

13. 分解因式：．
    解不等式，并把解集在数轴上表示出来．

14. 如图，将沿着直线平移得到，与相交于点，若，，请求的度数．

15. 先化简，再求值，其中．
16. 如图，在平行四边形中，是的平分线．请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹．
    在图中，以为腰作一个等腰三角形；
    在图中，以为边作平行四边形．

17. 如图，平分，，，垂足分别为，，为线段上一点，在射线上有一点，并使得与全等，若，则线段与的有怎样的数量关系，并说明理由．

18. 近几年我县的桃源梯田与红色圩场景点吸引了县内外众多游客，甲、乙两家旅行社为了让更多的游客前往旅游，分别推出了“赏桃源梯田，忆红色圩场”旅游的团体优惠办法．甲旅行社的优惠办法是：买张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠办法是：一律按原价的优惠．已知这两家旅行社的原价均为每人元，试说明随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？
19. 已知：，，是三角形的三边，且满足，若，求，的长以及该三角形各角的度数．
20. 如图，已知，，，．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，求的长．

21. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
    信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用天；
    信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的倍．
    根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
    为了尽快加工完，该公司计划让甲乙两个工厂共同来加工这批新产品，若甲工厂加工的费用是每天元，乙工厂加工的费用是每天元，则完成这批新产品的加工，该公司要支付多少费用？
22. 如图，分别是平行四边形置于平面直角坐标系中，请你来探究这些平行四边形的顶点坐标特点．
    如图，已知点，，，则平行四边形点的坐标是______；
    如图，已知点，，，求平行四边形点的坐标；
    如图，已知点，分别在轴，轴的正半轴，的坐标是，现将平行四边形向上平移个单位得到平行四边形，请问能否成为等腰三角形，如果能，请直接写出点的坐标；如果不能，请说明理由．
     

23. 如图，在中，，，点是边上一点点不与点，重合，连接，将绕着点逆时针旋转，得到，连接．
    如图，当时，请猜想：______，与数量关系是______；验证提示：过点作交于点，过点作于点，通过证明三角形全等可知．
    如图，当为任意角时，请猜想与的数量关系，并给予证明；
    若，，且点在射线上运动，当是直角三角形时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的顶角，
每个底角，
故选：．
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、如果，根据不等式的基本性质不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，不成立；
B、不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不成立；
C、不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，所以成立；
D、．
故选：．
根据不等式的基本性质判断．
不等式两边同时乘以或除以同一个数或式子时，一定要注意不等号的方向是否改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：、、都只是轴对称图形，只有即是轴对称图形又是中心对称图形．
故选D．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转度后与原图形重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A选项符合题意；
B、不能进行因式分解，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，故D选项不符合题意．
故选：．
运用平方差和完全平方公式分解因式，然后判断即可．
本题考查了因式分解，解题的关键是掌握平方差和完全平方公式，能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数或式的平方和的形式，另一项是这两个数或式的积的倍；要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，这个式子分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数．
 

6.【答案】 

【解析】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
不正确；
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
正确，如图所示；
，
∽，
：：，
，
，
四边形是平行四边形，
正确；
，
，
，
∽，
：：，
，
，四边形不一定是平行四边形，
不正确；
故选：．
由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出不正确；
由平行线的性质和添加条件得出，得出四边形是平行四边形，正确；
由平行线得出∽，得出对应边成比例，证出，得出四边形是平行四边形，正确；
先证出，在证明∽，得出对应边成比例得出，因此四边形不一定是平行四边形，得出不正确．
本题考查了平行四边形的判定、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
找出多项式两项的公因式为，提取公因式后即可分解因式．
此题考查了因式分解提公因式法，找出公因式是解本题的关键．
 

8.【答案】且 

【解析】解：由题意得且，
解得且，
故答案为：且．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示：即为线段绕点顺时针旋转后得到线段，

则，
过点作轴于点，过点作轴于，则，
，
，
而，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，，，
，．
则点的坐标为：．
故答案为：．
根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了坐标与图形变化旋转：利用旋转的性质得到旋转变化后的线段长度，然后根据点的坐标的表示方法确定图形中特殊点的坐标．
 

10.【答案】 

【解析】解：由不等式可得，
由不等式可得，
不等式组的解集为，
，
，得：，
则，
故答案为：
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出关于、的方程组，解之求得、的值即可得出答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，得出关于、的方程组是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
当时，点在线段的垂直平分线上，
，
故答案为：．
利用证明≌，得，当时，点在线段的垂直平分线上，从而得出答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：当，点在的内部时，如图，过点作于点，于点，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，
由旋转得：，
，
，
，
即；
当时，如图，
由旋转得：，
，，
，
是等边三角形，
，
即；
当时，如图，
由旋转得：，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形，
，
即，此时为等腰直角三角形与题意不含等腰直角三角形不相符，舍去；
当，且点在外部时，如图，
过点作于点，过点作于点，
则，
四边形是矩形，
，，
，，
，
由旋转得，
又，
，
，
，
，
，
即；
综上所述，或或．
分四种情况：当，点在的内部时，如图，过点作于点，于点，可得，得出，即；当时，如图，可证得是等边三角形，得出，即；当时，如图，可得出，即，此时为等腰直角三角形与题意不含等腰直角三角形不相符，舍去；当，且点在外部时，如图，过点作于点，过点作于点，得出，，进而求得，即．
本题考查了等腰直角三角形性质，等腰三角形性质，旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，掌握特殊三角形的性质，属于中考常考题型．
 

13.【答案】解：原式；
，
，
，
，
，
在数轴上表示为：
 

【解析】先提公因式，再利用完全平方公式解答即可．
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题考查了因式分解及解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

14.【答案】解：沿着直线平移得到，
，．
．


． 

【解析】先利用平移先求出、的度数，再利用三角形的内角和定理求出，最后求出．
本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”、平移的性质是解决本题的关键．
 

15.【答案】解：


，
当时，原式

． 

【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

16.【答案】如图，即为所求．

如图，四边形即为所求．
 

【解析】延长，，交于点，结合角平分线的定义和平行四边形的性质可得，则，即是以为腰的等腰三角形．
连接，，交于点，再连接并延长，交于点，连接，则四边形即为所求．
本题考查作图复杂作图、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形和平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：．
理由：以为圆心，为半径交于或，如图，
平分，，，
，
，
≌；
，，
≌；
，
≌，
，
当点在时，；
当点在时，，
． 

【解析】以为圆心，为半径交于或，根据角平分线定理得到，再根据“”可证明≌；先根据“”可证明≌得到，然后讨论：当点在时，；当点在时，，．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”；全等三角形的对应边相等．也考查了角平分线定理．
 

18.【答案】解：设团体人数为，
则甲旅行社的费用是元，
乙旅行社的费用是元，
令，得，
令，得，
令，得，
当团体人数为时，两家旅行社的收费一样；当团体人数少于时，乙旅行社收费更优惠；当团体人数多于时，甲旅行社收费更优惠． 

【解析】设团体人数为，根据甲、乙两个旅行社的优惠办法，分别列出式子，再进行比较即可．
本题主要考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用等，题目相对比较简单，根据题意得出甲、乙两个旅行社的费用是解题关键．
 

19.【答案】解：，
，
 ，
，
，
，
，
，，，
，，，
，
该三角形是等边三角形，各角为，．
答：，的长都是，各角的度数都是． 

【解析】根据整式的运算和因式分解化简等式得到，根据非负数的性质得到，从而三角形是等边三角形，各角为，．
本题考查了因式分解的应用，根据整式的运算和因式分解化简等式得到是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，，
垂直平分，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：过作于，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
由知，，
． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定即可得到结论；
过作于，根据勾股定理和矩形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：设甲工厂每天能加工件新产品，则乙工厂每天能加工件新产品，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲工厂每天能加工件新产品，乙工厂每天能加工件新产品．
设甲、乙两个工厂合作天完成这批新产品的加工任务，
依题意得：，
解得：，
．
答：完成这批新产品的加工，该公司要支付元费用． 

【解析】设甲工厂每天能加工件新产品，则乙工厂每天能加工件新产品，利用工作时间工作总量工作效率，结合甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用天，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出甲工厂每天加工新产品的数量，再将其代入中即可求出乙工厂每天加工新产品的数量；
设甲、乙两个工厂合作天完成这批新产品的加工任务，利用工作总量两个工厂的生产效率之和工作时间，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
 

22.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
点，
故答案为：；
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
点；
四边形是平行四边形，点，分别在轴，轴的正半轴，的坐标是，
点，点，
，，
，
将平行四边形向上平移个单位得到平行四边形，
，点，点，
当时，则，
，
点；
当时，点在的垂直平分线上，
，
，
点；
当时，则，
，
点；
综上所述：点的坐标为：或或
利用平行四边形的性质可得，，即可求解；
利用平行四边形的性质可得，，即可求解；
分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：如图，过点作，交于点，

，，
，，
，
，
，，，
，
将绕着点逆时针旋转，得到，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；
，理由如下：
如图，过点作，交于点，

，，
，
，
，
，，，
将绕着点逆时针旋转，得到，
，，
，
≌，
，
，
；
当点在线段上时，如图，连接，

，，
是等边三角形，
，
将绕着点逆时针旋转，得到，
，，
是等边三角形，
，
由可知，
当时，则，
，；
当点在线段的延长线上时，

，，
是等边三角形，
，，
将绕着点逆时针旋转，得到，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
当时，则，
，
．
综上所述：或．
由“”可证≌，可得，，可求，由等腰直角三角形的性质可得，，即可求解；
由“”可证≌，可得，即可求解；
分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．