2021-2022学年江西省吉安市吉州区七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年江西省吉安市吉州区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. “共圆冰雪梦，一起向未来．”年月日至日，第届冬奥会在中国北京和张家口举行．以下选取了四届冬奥会会标图案的一部分，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 在党中央的坚强领导下，经过两年的战斗，新型冠状病毒引发的肺炎疫情得到了有效控制．研究发现，某种新型冠状病毒的直径约为纳米，纳米米，若用科学记数法表示纳米，则正确的结果是(    )

A. 米 B. 米
C. 米 D. 米

3. 小明将一枚均匀的硬币抛掷了次，正面朝上的情况出现了次，若用表示正面朝上这一事件，则下列说法正确的是(    )

A. 的概率是 B. 的频率是
C. 的频率是 D. 的频率接近

4. 如图是一款手推车的平面示意图，其中平行，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 小明观看了中国诗词大会第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还”，如图用轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在中，，，在中，，，，相交于点，有下列四个结论：；；；平分其中，正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

7. 如图，为了防止门板变形，小明分钉共一根加固木条，请用数学知识说明这样做的依据______．

8. 若是完全平方式，则实数的值是______．
9. 已知：，则的值为______．
10. 如图，两个直角三角形的直角顶点重合，若，则______

11. 如图，用每张长的纸片，重叠粘贴成一条纸带，纸带的长度与纸片的张数之间的关系式是______．

12. 如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于______秒时，与全等．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

13. 计算：
    ；
    ．

四、解答题（本大题共10小题，共78分）

14. 已知：如图，，是直线上两点，，平分，，
    求证：；
    若，求的度数．

15. 从男女学生共人的班级中，选一名班长，任何人都有同样的当选机会，如果选得男生的概率为．
    求该班级男女生数各多少？
    若该班转入女生人，那么选得女生为班长的概率？
16. 作图题：
    在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．
    经过点，画线段平行于所在直线．
    过点，画线段垂直于所在直线．
     

17. 若满足，求的值．
18. 如图，大小两个正方形边长分别为、．
    用含、的代数式阴影部分的面积；
    如果，，求阴影部分的面积．

19. 小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村取东西的时间忽略不计如图是他们离家的距离与小南离家的时间的关系图．请根据图回答下列问题：
    小南家到该度假村的距离是______．
    爸爸驾车的平均速度为______，图中点表示______．
    小南从家到度假村的路途中，求当他与爸爸相遇时，离家的距离．

20. 如图，中，，、的平分线交于点，过点作交、于、．
    图中有几个等腰三角形？猜想：与、之间有怎样的关系．
    如图，若，其他条件不变，在第问中与、间的关系还存在吗？
    如图，若中的平分线与平分线交于，过点作交于，交于与、关系又如何？说明你的理由．
     

21. 点为直线上一点，过点作射线，使，一直角三角板的直角顶点放在点处．
    如图，将三角板的一边与射线重合时，则______；
    如图，将图中的三角板绕点逆时针旋转一定角度，当恰好是的角平分线时，求的度数；
    将图中的三角尺绕点逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为度，在旋转的过程中，能否使？若能，求出的度数；若不能，说明理由．
     

22. 已知点在内．
    如图，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、．
    若，则______；
    若，连接，请说明当为多少度时，；
    如图，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数．
     

23. 问题提出：
    我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”如图，中，，，，为上一点，当______时，与是偏等积三角形；
    问题探究：
    如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，求的长度；
    问题解决：
    如图，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，．
    与是偏等积三角形吗？请说明理由；
    已知，的面积为如图，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点若小路每米造价元，请计算修建小路的总造价．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：纳米米，
纳米米米米．
故选：．
首先根据：纳米米，把纳米化成以米为单位的量；然后根据：绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，用科学记数法表示纳米即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：小明将一枚均匀的硬币抛掷了次，正面朝上的情况出现了次，用表示正面朝上这一事件，
的频率是．
故选：．
根据频率公式即可求解．
本题考查了频率公式．用到的知识点为：频率频数与总情况数之比．
 

4.【答案】 

【解析】解：如下图：

，
，
，
，
即，
，
，
故选：．
根据三角形外角和平行线性质得出三个角的关系即可．
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，故A，，不符合题意；两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同，则选项D符合题意．
故选：．
开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同．
主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，即，
在和中，
，
≌，
，所以正确；
，
而与不确定相等，
与不确定相等，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
与不确定相等，所以错误；
，
而，，
，
，所以正确；
过点作于，于，如图，
≌，
，
平分，所以正确．
故选：．
先证明≌得到，则可对进行判断；利用全等三角形的性质得到，由于与不确定相等，所以与不确定相等，加上，，则可对进行判断；利用三角形内角和证明，则可对进行判断；过点作于，于，如图，利用全等三角形对应边上的高相等得到，则根据角平分线的性质定理的逆定理可对进行判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明≌是解决问题的关键．也考查了等腰直角三角形的性质．
 

7.【答案】三角形的稳定性 

【解析】解：为了防止门板变形，小明在门板上钉了一根加固木条，形成三角形的结构，这样做的理由是利用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
 

8.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
【解答】
解：是完全平方式，，
，
解得，
或．
故答案为或．  

9.【答案】 

【解析】解：，，
当，则，．
，．
．
故答案为：．
根据偶次方的非负性以及绝对值的非负性求得与，再代入求值．
本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性，熟练掌握偶次方的非负性、绝对值的非负性是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
而，
，
．
故答案为：．
根据题意得到，再计算，然后根据进行计算即可．
本题考查了余角和补角，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据纸带的长度随着纸片的张数的变化规律得，
，
故答案为：．
根据纸带的长度随着纸片的张数的变化规律，得出相应的函数关系式．
本题考查列函数关系式的方法，理解题目中的数量关系是得出函数关系式的前提．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：与全等，
斜边斜边，
分四种情况：
当点在上，点在上，如图：

，
，
，
当点、都在上时，此时、重合，如图：

，
，
，
当点到上，点在上时，如图：

，
，
，不符合题意，
当点到点，点在上时，如图：

，
，
，
综上所述：点的运动时间等于或或秒时，与全等，
故答案为：或或．
分四种情况，点在上，点在上；点、都在上；点到上，点在上；点到点，点在上．
本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论是解题的关键．
 

13.【答案】解：原式

；
原式
． 

【解析】先分别化简有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后再计算；
幂的混合运算，先算乘方，然后算乘除，最后算加减．
本题考查零指数幂，负整数指数幂，幂的混合运算，掌握运算法则准确计算是解题关键．
 

14.【答案】证明：，，是直线上两点，
，
，
；
解：，，
，
平分，
，
，
． 

【解析】由，，可得，即可证明；
由平行线的性质，可得，根据角平分线的性质得到的度数，根据平行线的性质，即可得到的度数．
本题主要考查了平行线的判定与性质和角平分线的性质，注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
 

15.【答案】解：设有男生人，
男生的概率为，即，
解得人；
女生人，
答：该班级男女生数各有人，人；
女生人，全班人，
选得女生为班长的概率为． 

【解析】根据男生概率公式可求得男生人数，让学生总数减去男生人数即为女生人数；
根据概率公式即可得到答案．
本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
 

16.【答案】解：如图，线段即为所求答案不唯一；
如图，线段即为所求．
 

【解析】根据平行线的定义，画出图形即可；
根据垂线的定义，画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，平行线，垂线等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：设：，，
则，，
则．
所以． 

【解析】利用引入新参数简化运算过程，再采用完全平方公式进行求解，
本题考查了完全平方公式的应用，牢记公式的变形是解题的关键．
 

18.【答案】解：大小两个正方形边长分别为、，
阴影部分的面积为：；

，，
． 

【解析】利用整体面积减去空白面积得出阴影部分面积求出即可；
利用完全平方公式结合已知条件求出即可．
此题主要考查了整式的混合运算以及化简求值，正确利用整体面积减去空白面积得出阴影部分面积是解题关键．
 

19.【答案】    点离家千米，离度假村千米 

【解析】解：由图象可知小南家到该度假村的距离是，
故答案为：；
爸爸驾车的平均速度为：；
图中点表示点离家千米，离度假村千米；
故答案为：，点离家千米，离度假村千米；
从图象可知，小南从家去度假村途中第一次和爸爸相遇时离家距离为；

设线段的解析式为，
则，
解得：，
线段的解析式为；
线段的解析式为，
则，
解得，
线段的解析式为，
联立方程组，
解得：，
小南从家去度假村途中第二次和爸爸相遇时离家距离为；
综上，小南从家去度假村途中和爸爸相遇时离家距离为或．
从图象中直接得出结论；
利用函数图象求出爸爸的速度以及点表示的实际意义；
根据图象可以直接得出小南和爸爸第一次相遇时距家的距离；再用待定系数法求出线段和的解析式，联立方程组解方程组即可得出小南和爸爸第二次相遇时距家的距离．
此题主要考查了一次函数的应用，利用函数图象获取正确信息是解题关键．
 

20.【答案】解：图中是等腰三角形的有：、、、、，共个等腰三角形；
、、的关系是理由如下：
平分，平分，
，，
，
，；
即，，
；
当时，的结论仍然成立．
平分，平分，
，，
，
，，
即，；
；
理由如下：
平分，
，
，
，，
，
，
平分，
，
，
． 

【解析】利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论；
利用的方法解答即可；
利用角平分线的定义和平行线的性质可以判定和为等腰三角形，利用线段和差的关系可得结论．
本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，利用角平分线与平行线的组合模型得出等腰三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：
由得，，
因为是的角平分线，
所以，
因为，
所以；
能，
当是内时，有：
，，
则，
解得：；
当在外时，有：
，，
则，
解得：．
综上所述，的度数为或． 

【解析】解：因为，与射线重合，
所以，
因为，
所以，
所以，
故答案为：；
见答案．
见答案．
由邻补角和余角的定义求出两个角，即可得出结论；
由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解；
分两种情况讨论：是内；在外，分析清楚角关系求解即可．
本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
 

22.【答案】 

【解析】解：点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，
，，
平分，
同理可得平分，
，
故答案为：；
，
，
当时，，
点，，在同一直线上，
；
如图所示：分别作点关于、的对称点、，连接、、，交、于点、，
连接、，则，“，此时周长的最小值等于的长．
由轴对称性质可得，，，，
，
，
同理可得，
．
依据轴对称可得，，即可得到平分，平分，进而得出；当时，，此时点，，在同一直线上，可得；
设点关于、对称点分别为、，当点、在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数．
本题主要考查了轴对称--最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
 

23.【答案】 

【解析】解：当时，与是偏等积三角形，理由如下：
设点到的距离为，则，，
，
，，
，
、，
与不全等，
与是偏等积三角形，
故答案为：；
设点到的距离为，则，，
与是偏等积三角形，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
线段的长度为正整数，
的长度为偶数，
在中，，，
，
即：，
；
与是偏等积三角形，理由如下：
过作于，过作于，如图所示：
则，
、是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，，
，
，，
与不全等，
与是偏等积三角形；
如图，过点作，交的延长线于，
则，
点为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
．
由得：与是偏等积三角形，
，，
，
修建小路的总造价为：元．
当时，则，证，再证与不全等，即可得出结论；
由偏等积三角形的定义得，则，再证≌，则，，得，然后由三角形的三边关系求解即可；
过作于，过作于，证≌，得，则，再证与不全等，即可得出结论；
过点作，交的延长线于，证得≌，得到，再证≌，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得，，求出，即可求解．
本题是四边形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明≌和≌是解题的关键，属于中考常考题型．