2023-2024学年江西省吉安市吉州区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省吉安市吉州区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各组数中是无理数的是( )
A. 0B. −1C. 2D. 2
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm.若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是( )
A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 6cm
3.在平面直角坐标系中，点P的横坐标是−2，且点P到x轴的距离为5，则点P的坐标是( )
A. (5,−2)或(−5,−2)B. (−2,5)或(−2,−5)
C. (−2,5)D. (−2,−5)
4.在“庆元旦”投篮比赛上，甲班有5名同学参加了比赛，比赛结束后，统计了他们各自的投篮数，成绩如下：5，10，6，10，11，则这组数据的中位数是( )
A. 5B. 8C. 9D. 10
5.一次函数y1=kx+b于y2=x+a的图象如图所示，则下列结论：①k<0，②ab>0；③y2随x的增大而增大；④当x<3时，y1A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个矩形色块图的面积为( )
A. 142
B. 143
C. 144
D. 145
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7. 81的算术平方根是______．
8.若点A(3,−2)与点B关于y轴对称，则点B的坐标为______．
9.已知x=3y=1是方程x+ay=2的解，则a的值为______．
10.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD=2，BC=4，则AB2+CD2= ．
11.对于X，Y定义一种新运算“*”：X*Y=aX+bY，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算.若 a−2− 2−a+b=1成立，那么2*3= ______．
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的取值为______．
三、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)解方程组：x+2y=45x−4y=6．
(2)计算：(12)−1−|−2|+ 9−( 3−2)0．
14.(本小题6分)
如图，在直角坐标平面内，已做A(−4,0)，B(−3,4)，C(4,0)．
(1)求△ABC的面积．
(2)在y轴上找一点D，使S△ACD=S△ABC，求点D的坐标．
15.(本小题6分)
如图，在下面3×3的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，在现有网格中，以格点为顶点画图．
(1)在图1中，画一个正方形ABCD，使它的面积为5；
(2)在图2中，面一个直角三角形DEF.使它的三边长都是无理数且面积为2．
16.(本小题6分)
已知函数y=(m+2)xm2−3−1是一次函数．
(1)求m的值；
(2)该一次函数当−317.(本小题6分)
如图，∠ACD=100°，∠B=30°，∠AGF=20°，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的点，FG交AB于点G，求证FG//CE．
18.(本小题8分)
定义：二元一次方程y=ax+b与二元一次方程y=bx+a互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程y=2x+1与二元一次方程y=x+2互为“反对称二元一次方程”．
(1)直接写出二元一次方程y=4x−1的“反对称二元一次方程”：______．
(2)二元一次方程y=3x+5的解x=my=n，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值．
19.(本小题8分)
如图，直线l1的解析表达式为y=−3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1、l2交于点C．
(1)求点D的坐标；
(2)求直线l2的解析表达式；
(3)在x轴上求作一点M，使BM+CM的和最小，直接写出M的坐标．
20.(本小题9分)
2021年“五一”黄金周期间，某草莓基地的甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同，为了吸引顾客，两家采摘园相继推出不同的优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠.优惠期间，某游客的草莓采摘量为x(千克)，在甲园所需总费用为y甲(元)，在乙园所需总费用为y乙(元)，y甲、y乙与x之间的函数关系如图所示，其中折线OAB表示y乙与x之间的函数关系．
(1)甲采摘园的门票是______元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克______元；
(2)当x>10时，求y乙与x的函数表达式；
(3)某游客在“五一期间”去采摘草莓，如何选择这两家草莓园去采摘更省钱？
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E.P是边BC上的动点(不与B，C重合)，连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．
(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．
(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．
22.(本小题12分)
预备知识：(1)在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点P(3t,2−t)在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？
一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”
小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，将点P(3t,2−t)代入得：2−t=k⋅3t+b，整理得(3k+1)t+b−2=0．
∵t为任意实数，等式恒成立；
∴3k+1=0，b−2=0．
∴k=−13，b=2．
∴这条直线的函数表达式为y=−13x+2．
请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点P(2t,3−t)在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式．
问题探究：(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(5,9)，且∠BAC=90°，AB=AC，则点C的坐标为______．
结论应用：(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点P(1,0)，Q是直线y=−12x+2上的一个动点，连接PQ，过点P作PQ′⊥PQ，且PQ′=PQ，连接OQ′，求线段OQ′的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：0，−1，2是整数，它们不是无理数；
2是无限不循环小数，它是无理数；
故选：C．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，
在Rt△ABC中：AC= AB2+BC2= 122+92=15(cm)，
所以18−15=3(cm)，18−12=6(cm)．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：点P到x轴的距离为5，所以点P的纵坐标为5或−5，
所以点P的坐标为(−2,5)或(−2,−5)，
故选：B．
根据点到坐标轴的距离求解即可．
此题主要考查了点的坐标，熟知点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：把这数从小到大排列为：5，6，10，10，11，处于最中间的数是10，则这组数据的中位数是10．
故选：D．
中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．
根据中位数的定义先把这组数据从小到大重新排列，找出最中间的数即可．
本题考查了中位数的意义，正确记忆中位数的定义是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：根据图象y1=kx+b经过第一、二、四象限，
∴k<0，b>0，ab<0，y2随x的增大而增大，故①③正确，②错误；
当x<3时，图象y1在y2的上方，
所以：当x<3时，y1>y2，故④错误．
当x=3时，y1=y2，
∴3k+b=3+a，故⑤正确；
所以正确的有①③⑤共3个．
故选：C．
根据一次函数y1=kx+b，y2=x+a的图象及性质逐一分析可得答案．
本题考查了一次函数图象的性质，一次函数与不等式的关系．
6.【答案】B
【解析】解：设第二个小正方形ABCD的边长是x，则其余正方形的边长为：x，x+1，x+2，x+3，
则根据题意得：x+x+(x+1)=x+2+x+3，
解得：x=4，
∴x+1=5，x+2=6，x+3=7，
∴这个矩形色块图的面积为：1+4×4+4×4+5×5+6×6+7×7=143，
故选：B．
设第二个小正方形的边长是x，则其余正方形的边长为：x，x+1，x+2，x+3，根据矩形的对边相等得到方程x+x+(x+1)=x+2+x+3，求出x的值，再根据面积公式即可求出答案．
本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和面积公式等知识点，解此题的关键是正确设未知数并列出方程．
7.【答案】3
【解析】解：∵ 81=9，
∴ 81的算术平方根是3．
故答案为：3．
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 a，由此即可得到答案．
本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
8.【答案】(−3,−2)
【解析】解：∵点A(3,−2)与点B关于y轴对称，
∴点B的坐标为(−3,−2)．
故答案为：(−3,−2)．
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
9.【答案】−1
【解析】解：∵x=3y=1是方程x+ay=2的解，
∴3+a=2，解得：a=−1．
故答案为：−1．
将方程的解代入方程得到关于a的方程求解即可．
本题考查二元一次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键．
10.【答案】20
【解析】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2，
∵AD=2，BC=4，
∴AB2+CD2=22+42=20．
故答案为：20．
根据垂直的定义和勾股定理解答即可．
本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
11.【答案】7
【解析】解：∵ a−2− 2−a+b=1，
∴a−2≥02−a≥0，
∴a=2，
∴ 2−2− 2−2+b=1，
∴b=1，
∴X*Y=2X+Y，
∴2*3=2×2+3=7．
故答案为：7．
根据二次根式的性质即可得出a=2，再根据负整数指数幂即可得出b=1，再根据新运算的定义将原式展开求解即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂、不等式的解法，根据新定义得出正确的关系式是解题的关键．
12.【答案】8或5或258
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，
由勾股定理得：BC= 102−62=8(cm)，
①当AB=AP时，如图1所示：
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BP，
∴PC=BC=8(cm)，
∴BP=16(cm)，
∴t=16÷2=8(s)，
②当BP=BA=10cm时，如图2所示：
∴t=10÷2=5(s)，
③当PA=PB时，如图3所示：
设BP=x cm，则PC=(8−x)cm，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：(8−x)2+62=x2，
∴x=254，
∴BP=254cm，
∴t=254÷2=258(s)；
综上所述，t的值为8或5或258，
故答案为：8或5或258．
根据△ABP为等腰三角形进行分类讨论，分别求出BP的长，即可求出t的值．
本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，正确地分类是解决本题的关键．
13.【答案】解：(1)x+2y=4①5x−4y=6②，
①×2+②得：7x=14，
解得x=2，
把x=2代入①得：2+2y=4，
解得：y=1，
∴方程组的解是x=2y=1；
(2)(12)−1−|−2|+ 9−( 3−2)0
=2−2+3−1
=2．
【解析】(1)方程组运用加减消元法求解即可；
(2)原式分别根据有理数的乘方，绝对值的代数意义和平方根化简各项后，再进行计算即可得到答案．
本题主要考查了实数的混合运算以及运用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
14.【答案】解：(1)S△ABC=12×|4−(−4)|×4=16；
(2)设点D的坐标为(0,m)，
S△ACD=12×|4−(−4)|×|m|=16=16．
解得m=±4．
∴满足条件的点D的坐标为(0,4)或(0,−4)．
【解析】(1)直接利用三角形的面积公式计算即可；
(2)设点D的坐标为(0,m)，再利用面积公式建立方程求解即可．
本题考查的是坐标与图形面积，理解坐标系的特点是解本题的关键．
15.【答案】解：(1)如图所示，正方形ABCD即为所求；

由图可知，正方形的边长为： 22+12= 5，
∴正方形ABCD的面积为5；
(2)如图所示：直角三角形DEF即为所求；

由勾股定理得：DE= 2,EF= 22+22= 8=2 2,DF= 32+12= 10，
S△DEF=2×3−12×1×3−12×1×1−12×2×2=2，
∴DE2+EF2=DF2，
∴△DEF为直角三角形．
【解析】(1)根据题意画出一个边长为 5的正方形即可；
(2)根据题意，画出一个边长均为无理数的直角三角形且面积为2即可．
本题考查网格作图，勾股定理，勾股定理逆定理，掌握勾股定理，勾股定理逆定理是解题的关键．
16.【答案】解：(1)∵y=(m+2)xm2−3+1是一次函数，
∴m2−3=1，解得m=±2，
∵m+2≠0，
∴m=2；
(2)将m代入得一次函数解析式为y=4x+1，
∵当y=−3时，x=−1；当y=1时，x=0，
∴当−3【解析】(1)根据一次函数的定义即可求解；
(2)分别求出当y=−3时，当y=1时x的值，即可求出x的取值范围．
此题考查了一次函数的应用，正确理解一次函数的定义及根据题意得出自变量的取值范围是解题的关键．
17.【答案】证明：∵∠ACD=100°，∠B=30°，且∠ACD为△ABC的外角，
∴∠ACD=∠B+∠BAC，
∴100°=30°+∠BAC，
∴∠BAC=70°，
又∵∠AGF=20°，且∠BAC为△AGF的外角，
∴∠AFG=70°−20°=50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=50°，
∴∠ACE=∠AFG=50°，
∴FG/​/CE．
【解析】先根据三角形外角的性质求出∠BAC及∠AFG的度数，再由角平分线的定义得出∠ACE的度数，据此可得出结论．
本题考查了三角形的外角的性质、角平分线的定义、平行线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
18.【答案】y=−x+4
【解析】解：(1)由题知，二元一次方程y=4x−1的“反对称二元一次方程”是y=−x+4，
故答案为：y=−x+4．
(2)二元一次方程y=3x+5的“反对称二元一次方程”是y=5x+3，
又∵二元一次方程y=3x+5的解x=my=n，又是它的“反对称二元一次方程”的解，
∴3m+5=n5m+3=n，
解得m=1n=8，
∴m=1，n=8．
(1)理解“反对称二元一次方程”的概念即可解题；
(2)根据概率得出y=3x+5的“反对称二元一次方程”，再将m，n代入这两个二元一次方程求解，即可解题．
本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解和解二元一次方程，解题的关键是掌握相关运算．
19.【答案】解：(1)∵直线l1的解析表达式为y=−3x+3，且l1与x轴交于点D，
当y=0时，x=1，
∴D(1,0)．
(2)设直线l2的解析式为y=kx+b，则有3k+b=−234k+b=0，
解得k=23b=−83，
∴y=23x−83．
(3)如图，由y=−3x+3y=23x−83，解得x=1711y=−1811，
∴C(1711,−1811)，
作点C关于x轴的对称点C′(1711,1811)，
∴直线BC′的解析式为y=−1912x+4912，
∴M(4919,0)．
【解析】(1)利用待定系数法求解即可．
(2)设直线l2的解析式为y=kx+b，则有3k+b=−234k+b=0，解方程组即可解决问题．
(3)构建方程组求出点C的坐标，作点C关于x轴的对称点C′(1711,1811)，再求出直线BC′的解析式即可解决问题．
本题考查作图−复杂作图，一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.【答案】60 30
【解析】解：(1)由图象可得，
甲采摘园的门票是60元，两个采摘园优惠前的草莓单价是：300÷10=30(元/千克)，
故答案为：60，30；
(2)当x>10时，设y乙与x的函数表达式是y乙=kx+b，
10k+b=30025k+b=480，
解得k=12b=180，
即当x>10时，y乙与x的函数表达式是y乙=12x+180；
(3)由题意可得，
y甲=60+30×0.6x=18x+60，
当0当x>10时，令12x+180=18x+60，得x=20，
答：采摘5千克或20千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同．
(1)根据函数图象和图象中的数据可以解答本题；
(2)根据函数图象中的数据可以求得当x>10时，y乙与x的函数表达式；
(3)根据函数图象，利用分类讨论的方法可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
21.【答案】解：(1)∵∠B=40°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=50°，
∵AE平分∠BAC，P与E重合，
∴D在AB边上，AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=(180°−∠BAC)÷2=65°，
∴α=∠ACB−∠ACD=25°；
答：α的度数为25°；
(2)①当点P在线段BE上时，如图：
∵将△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC=AD，
∵∠BCD=α，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACD=90°−α，
又∵∠ADC+∠BAD=∠B+∠BCD，∠BAD=β，∠B=40°，
∴(90°−α)+β=40°+α，
∴2α−β=50°，
②如图2，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，如图：
∵将△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC=AD，
∵∠BCD=α，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACD=90°−α，
又∵∠ADC=∠AFC+∠BCD，∠AFC=∠ABC+∠BAD，
∴∠ADC=∠ABC+∠BAD+∠BCD=40°+β+α，
∴90°−α=40°+α+β，
∴2α+β=50°；
综上所述，当点P在线段BE上时，2α−β=50°；当点P在线段CE上时，2α+β=50°．
【解析】(1)由∠B=40°，∠ACB=90°，得∠BAC=50°，根据AE平分∠BAC，P与E重合，即得∠ACD=∠ADC=65°，从而α=∠ACB−∠ACD=25°；
(2)分两种情况：①当点P在线段BE上时，可得∠ADC=∠ACD=90°−α，根据∠ADC+∠BAD=∠B+∠BCD，即可得2α−β=50°；②当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，由∠ADC=∠ACD=90°−α，又∠ADC=∠AFC+∠BCD，∠AFC=∠ABC+∠BAD可得90°−α=40°+α+β，2α+β=50°．
本题考查三角形综合应用，涉及翻折问题，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练运用三角形内角和定理．
22.【答案】(−7,3)
【解析】解：(1)设直线的函数表达式是：y=kx+b，
将x=2t，y=3−t代入得，
3−t=k⋅2t+b，
∴(2k+1)⋅t+(b−3)=0，
∵t任何实数，等式恒成立，
∴2k+1=0，b−3=0，
∴k=−12，b=3，
∴直线的函数关系式是：y=−12x+3；
(2)如图1，
作CD⊥x轴于D，作BE⊥x轴于E，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠CAD+∠BAE=90°，
∴∠ACD=∠BAE，
在△ACD和△BAE中，
∠ACD=∠BAE∠ADC=∠AEBAC=AB，
∴△ACD≌△BAE(AAS)，
∴AD=BE，CD=AE，
∵A(2,0)，B(5,9)，
∴AE=3，BE=9，
∴AD=9，CD=3，
∴OD=AD−OA=9−2=7，
∴C(−7,3)；
故答案是(−7,3)．
(3)如图2，
作CP⊥OA，截取CP=AP，连接CQ′，直线CQ′交OA于D，作OE⊥CD于E，
∴∠APC=∠QPQ′=90°，
∴∠APC−∠APQ′=∠QPQ′−∠APQ′，
即：∠APQ=∠CPQ′，
在△APQ和△CPQ′中，
AP=CP∠APQ=∠CPQ′PQ=PQ′，
∴△APQ≌△CPQ′(SAS)，
∴∠PCQ′=∠BAO，
由题意得：A(4,0)，B(0,2)，
∴OA=4，OB=2，
∴tan∠BAO=OBOA=12，
∴tan∠PCQ′=12，
∴点Q′在定直线CH上运动，
在Rt△PCD中，CP=AP=3，tan∠PCD=12，
∴PD=3×12=32，
∴OD=OP+PD=52，
∵∠PCD+∠CPD=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∠PCD=∠BAO，
∴∠PCD=∠ABO，
在Rt△AOB中，
AB= OA2+OB2= 22+42=2 5，
∴sin∠ABO=OAAB =42 5=2 55，
在△ODE中，OD=52，sin∠ODE=sin∠ABO=2 55，
∴OE=52×2 55= 5，
∴OQ′的最小值是 5．
(1)仿照给出例题的步骤进行求解即可；
(2)作CD⊥x轴于D，作BE⊥x轴于E，证明△ACD≌△BAE，进而求得结果；
(3)作CP⊥OA，截取CP=AP，连接CQ′，直线CQ′交OA于D，作OE⊥CD于E，△APQ≌△CPQ′，从而∠PCQ′=∠BAO，从而确定点Q′在定直线上运动，进而Rt△PCD和Rt△ODE，进一步求得结果．
本题考查了求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．