2021-2022学年江西省吉安市吉安县、青原区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年江西省吉安市吉安县、青原区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共6小题，共18分）

1. 保护环境，人人有责．下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列式子；；；；其中是一元一次不等式的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

4. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是(    )

A.  B. 且
C.  D. 且

5. 随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产万份疫苗，现在生产万份疫苗所需的时间与更新技术前生产万份疫苗所需时间相同，设更新技术前每天生产万份，依据题意得(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，将▱沿对角线进行折叠，折叠后点落在点处，交于点，有下列结论：≌；；；，其中正确结论的个数是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共6小题，共18分）

7. 将因式分解为______ ．
8. 若点与点关于原点对称，则______．
9. 如图所示直线与轴、轴分别相交于点，，则不等式的解集为______．

10. 如图，平行四边形中，是上一点，、分别是、的平分线，若，则______．

11. 如图，在中，，，，将沿射线方向平移个单位后得到，连接，则的长为______ ．
12. 已知等腰中，，且，则等腰的顶角度数为______．

三、解答题（本题共11小题，共84分）

13. 分解因式：；
    解方程：．
14. 如图所示，已知的周长是，、分别平分和，于，且，求的面积？

15. 如图，在四边形中，，，为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹．
    在图中，画出的边上的中线；
    在图中，若，画出的边上的高．
     

16. 解不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
17. 如图，在中，，于点．
    若，求的度数；
    如图，若点在边上，过点作交的延长线于点，求证：．

18. 先化简：，然后在，，，四个数中给选择一个你喜欢的数代入求值．
19. 请看下面的问题：把分解因式．
    分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
    世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得
    人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解．
    ；
    ．
20. 为落实帮扶措施，确保精准扶贫工作有效开展，加快贫困群众早日脱贫步伐，经过前期对贫困户情况摸排了解，结合贫困户实际养殖意愿，某扶贫工作队开展精准扶贫“送鸡苗”活动，该工作队为帮扶对象购买了一批土鸡苗和乌鸡苗，已知一只土鸡苗比一只乌鸡苗贵元，购买土鸡苗的费用和购买乌鸡苗的费用分别是元和元．
    若两种鸡苗购买的数量相同，求乌鸡苗的单价；
    若两种鸡苗共购买只，且购买两种鸡苗的总费用不超过元，其中土鸡苗至少购买只，根据中两种鸡苗的单价，该工作队最少花费多少元？
21. 如图，在▱中，，，，点沿边从点开始以秒的速度向点移动，同时点沿边从点开始以秒的速度向点移动，用表示移动的时间．
    当为何值时，是等边三角形？
    当为何值时，为直角三角形？

22. 实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平：再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，连接，如图．
    折痕 ______填“是”或“不是”线段的垂直平分线；请判断图中是什么特殊三角形？答______；进一步计算出______；
    继续折叠纸片，使点落在边上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，如图，则______；
    拓展延伸：
    如图，折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，连接交于点，连接、求证：四边形是菱形．
    解决问题：
    如图，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段的长度有，，，．
    请写出以上个数值中你认为正确的数值______．
     

23. 中，，，点是线段的中点，，与线段相交于点与线段或的延长线相交于点．
    
    
    如图，若，垂足为，，求的长；
    如图，将中的绕点顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点求证：；
    如图，将中的继续绕点顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线相交于点，作于点，若，求证：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：是一元一次不等式的有：，，共有个．
故选：．
根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是的不等式就可以．
本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为次，还要注意未知数的系数不能是．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，
六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，
六边形花环为正六边形，
，
而，
．
故选：．
利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断六边形花环为正六边形，根据多边形的内角和定理可计算出，然后把减去得到的度数．
本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：且为整数；多边形的外角和等于．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查解分式方程，分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是解题关键．直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出的取值范围．
【解答】
解：去分母得：，
整理得：，
解得：，
关于的方程的解为正数，
，
解得：，
，即，
解得，
故的取值范围是：且．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】解：设更新技术前每天生产万份疫苗，则更新技术后每天生产万份疫苗，
依题意得：，
故选：．
更新技术后每天生产万份疫苗，根据现在生产万份疫苗所需时间与更新技术前生产万份疫苗所需时间相同，即可得出关于的分式方程．
此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产万份疫苗所需的时间与更新技术前生产万份疫苗所需时间相同”这一个隐含条件得出方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由折叠可得，，，
又平行四边形中，，，
，，
在和中，
，
≌，故正确；
，
，
，即，故正确；
，
又，
，
，故正确；
不一定是的中点，
不一定成立，故错误；
故选：．
根据即可判定≌，根据全等三角形的性质以及等式性质，即可得到，根据，即可得出根据不一定是的中点，可得不一定成立．
本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定与性质以及平行线的判定的运用，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
则．
故答案为：．
直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：直线和轴的交点的坐标为，
不等式的解集是，
故答案为：．
不等式的解集为函数图象在轴的上方自变量的取值．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图形和的坐标得出答案是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：、分别是、的平分线，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，，
，，，
，，，
，
，
故答案为：．
利用平行四边形的性质结合角平分线的性质得出，，进而利用勾股定理得出的长，利用勾股定理求得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，得出，的长是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
根据平移的性质可得，，，然后根据等边三角形的判定与性质即可得解．
【解答】
解：沿射线方向平移个单位后得到，
，，，
是等边三角形，
，
故答案为．  

12.【答案】或或 

【解析】解：如图中，当时，

，，
，
，
如图中，当，

，，
，
，
，

如图中，当，

，，
，
，
，
综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为或或．
故答案为：或或．
分三种情形：如图中，当时，如图中，当，如图中，当，分别利用等腰三角形的性质求出顶角的度数即可．
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】解：原式；
两边都乘以得，，
即，
解得，
经检验，当时，，
因此是方程的增根，
所以原方程无实数解． 

【解析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
根据分式方程的解法步骤进行解答即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，解分式方程，掌握完全平方公式的结构特征以及解分式方程的解法步骤是正确解答的关键．
 

14.【答案】解：如图，连接，过作于，于，
、分别平分和，
，
的周长是，于，且，

， 

【解析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点到、、的距离都相等即，从而可得到的面积等于周长的一半乘以，代入求出即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．
 

15.【答案】解：如图所示，即为所求：
如图所示，即为所求． 

【解析】连接，利用平行四边形的判定和性质解答即可；
连接，，，利用三角形重心的性质解答即可．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．
 

16.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
在数轴上表示为：． 

【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
 

17.【答案】解：，于点，
，，
又，
，
；

证明：，于点，
，
，
，
，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；
根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式


，
要使分式有意义，故且，
且，
时，原式． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后根据分式有意义的条件求出的值，将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可；
原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解配方法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：设乌鸡苗的单价为元只，则土鸡苗的单价为元只，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：乌鸡苗的单价为元只．
设购买土鸡苗只，则购买乌鸡苗只，
依题意得：，
解得：．
设该工作队购买鸡苗的总花费为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：该工作队最少花费元． 

【解析】设乌鸡苗的单价为元只，则土鸡苗的单价为元只，利用数量总价单价，结合两种鸡苗购买的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买土鸡苗只，则购买乌鸡苗只，根据“购买两种鸡苗的总费用不超过元，且土鸡苗至少购买只”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，设该工作队购买鸡苗的总花费为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

21.【答案】解：，，
当是等边三角形时，，
即，
解得．
当时，是等边三角形；

是直角三角形，
，
当时，有，，
即，
，
解得秒，
当时，有，，
即
，解得秒．
当或时，是直角三角形． 

【解析】设，，根据当是等边三角形时，，列出方程求得值即可求得答案；
分当时，有，和当时，有，两种情况分类讨论确定值即可求得答案．
本题主要考查平行四边形的性质和等腰直角三角形的知识点，解决动点移动问题时，关键是找到相等关系量，此题还考查了一元一次方程的性质及其应用．
 

22.【答案】是  等边三角形      ， 

【解析】解：对折矩形纸片，使与重合，
垂直平分，
，，，
再一次折叠纸片，使点落在上的点处，
垂直平分，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：是，等边三角形，；
折叠纸片，使点落在边上的点处，
，
，
故答案为：；
证明：折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，
垂直平分，
，，
，
，，
≌
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
折叠纸片，使点落在边上的点处，
，
在中，，
，
，
点在上，
当点与点重合时，有最大值为，
，
正确的数值为，，
故答案为：，．
由折叠的性质可得，，，垂直平分，，可证是等边三角形，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；
由折叠的性质可得，可求解；
由折叠的性质可得，，由“”可证≌，可得，由菱形的判定可证四边形是菱形；
先由折叠的性质求出的范围，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是本题的关键．
 

23.【答案】解：如图，，，
是等边三角形，
，．
点是线段的中点，
．
，即，
，
，
，
；
证明：过点作于，作于，如图，
．
，
．
，
．
在和中，
，
≌，
，．
在和中，
，
≌，
，
；
证明：过点作于，如图．
同可得：．
同可得：，，．
，
，
，
．
，
，
． 

【解析】如图，易求得，，，由直角三角形的性质可求出的值；
过点作于，作于，如图，易证≌，则有，，进而可证到≌，则有，就可得到；
过点作于，如图同可得：，同可得：，，由可得，从而可得，然后在中，由勾股定理可得结论．
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．