江西省吉安市吉州区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版含答案）

这是一份江西省吉安市吉州区2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（word版含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江西省吉安市吉州区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6分，每小题3分，共18分）
1．保护环境，人人有责．下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．OA＝OC，OB＝OD B．AD∥BC
C．AB＝CD，AD∥BC D．AC⊥BD
3．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°
4．下列说法错误的是（　　）
A．若a+3＞b+3，则a＞b B．若，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则a+3＞b+2
5．随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间相同，设更新技术前每天生产x万份，依据题意得（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
6．如图，将▱ABCD沿对角线AC进行折叠，折叠后点D落在点F处，AF交BC于点E，有下列结论：①△ABF≌△CFB；②AE＝CE；③BF∥AC；④BE＝CE，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．将3x2y﹣27y因式分解为　 　．
8．若点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则mn＝　 　．
9．一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b≥kx的解集为　 　．

10．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是　 　．
11．如图，将直角梯形ABCD沿AB方向向下平移2个单位得到直角梯形EFGH，已知BC＝6，∠A＝90°，∠C＝45°，则阴影部分的面积为 　 　．

12．已知在直角三角形中，若一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°．若在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC顶角的度数为 　 　．
三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）分解因式：a3+10a2+25a；
（2）解方程：+1＝．
14．（6分）解不等式组，井把它的解集在数轴上表示出来．

15．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．

16．（6分）先化简：÷（1+），再从绝对值小于2的数中选择一个合适的x代入求值．
17．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝39°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．

四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF．
（1）说明：AC＝AG；
（2）求线段EF的长．

19．（8分）请看下面的问题：把x4+4分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）4x4+y4；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
20．（8分）为落实帮扶措施，确保精准扶贫工作有效开展，加快贫困群众早日脱贫步伐，经过前期对贫困户情况摸排了解，结合贫困户实际养殖意愿，某扶贫工作队开展精准扶贫“送鸡苗”活动，该工作队为帮扶对象购买了一批土鸡苗和乌鸡苗，已知一只土鸡苗比一只乌鸡苗贵2元，购买土鸡苗的费用和购买乌鸡苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种鸡苗购买的数量相同，求乌鸡苗的单价；
（2）若两种鸡苗共购买1100只，且购买两种鸡苗的总费用不超过6000元，其中土鸡苗至少购买200只，根据（1）中两种鸡苗的单价，该工作队最少花费多少元？
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在▱ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，∠A＝60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？
（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？

22．（9分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF＝AB；
（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：BE+CF＝（BE﹣CF）．

六、解答题（本大题共1题，共12分）
23．（12分）在平行四边形ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E．交AB的延长线于点F，连接AC．

（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE＝BF；
②请判断△AGC的形状，并说明理由．
（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG，请判断△AGC的形状，并说明理由．
（3）如图3，∠ADC＝90°，作∠BED的角平分线EH交AB于点H，已知AB＝9，BH＝2AH，求BC的长．

2020-2021学年江西省吉安市吉州区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6分，每小题3分，共18分）
1．保护环境，人人有责．下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意．
故选：D．
2．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．OA＝OC，OB＝OD B．AD∥BC
C．AB＝CD，AD∥BC D．AC⊥BD
【分析】由两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论．
【解答】解：一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是OA＝OC，OB＝OD，理由如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：A．
3．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°
【分析】利用全等三角形的性质和正六边形的定义可判断六边形花环为正六边形，根据多边形的内角和定理可计算出∠ABD＝120°，然后把∠ABD减去90°得到∠ABC的度数．
【解答】解：如图，
∵六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，
∴六边形花环为正六边形，
∴∠ABD＝＝120°，
而∠CBD＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝120°﹣90°＝30°．
故选：A．

4．下列说法错误的是（　　）
A．若a+3＞b+3，则a＞b B．若，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bc D．若a＞b，则a+3＞b+2
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【解答】解：A、若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、若＞，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、若a＞b，则ac＞bc，这里必须满足c≠0，原变形错误，故此选项符合题意；
D、若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间相同，设更新技术前每天生产x万份，依据题意得（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【分析】更新技术后每天生产（x+10）万份疫苗，根据现在生产500万份疫苗所需时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间相同，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设更新技术前每天生产x万份疫苗，则更新技术后每天生产（x+10）万份疫苗，
依题意得：＝，
故选：B．
6．如图，将▱ABCD沿对角线AC进行折叠，折叠后点D落在点F处，AF交BC于点E，有下列结论：①△ABF≌△CFB；②AE＝CE；③BF∥AC；④BE＝CE，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据SSS即可判定△ABF≌△CFB，根据全等三角形的性质以及等式性质，即可得到EC＝EA，根据∠EBF＝∠EFB＝∠EAC＝∠ECA，即可得出BF∥AC．根据E不一定是BC的中点，可得BE＝CE不一定成立．
【解答】解：由折叠可得，AD＝AF，DC＝FC，
又∵平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，
∴AF＝BC，AB＝CF，
在△ABF和△CFB中，
，
∴△ABF≌△CFB（SSS），故①正确；
∴∠EBF＝∠EFB，
∴BE＝FE，
∴BC﹣BE＝FA﹣FE，即EC＝EA，故②正确；
∴∠EAC＝∠ECA，
又∵∠AEC＝∠BEF，
∴∠EBF＝∠EFB＝∠EAC＝∠ECA，
∴BF∥AC，故③正确；
∵E不一定是BC的中点，
∴BE＝CE不一定成立，故④错误；
故选：C．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7．将3x2y﹣27y因式分解为　3y（x+3）（x﹣3）　．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解．
【解答】解：原式＝3y（x2﹣9）＝3y（x+3）（x﹣3），
故答案为：3y（x+3）（x﹣3）．
8．若点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，则mn＝　9　．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点P（m，﹣2）与点Q（3，n）关于原点对称，
∴m＝﹣3，n＝2，
则mn＝（﹣3）2＝9．
故答案为：9．
9．一次函数y＝ax+b与正比例函数y＝kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b≥kx的解集为　x≥﹣1　．

【分析】当x≥﹣1时，y＝kx的函数图象在y＝ax+b的下方，从而可得到不等式的解集．
【解答】解：从图象可看出当x≥﹣1，直线l2的图象在直线l1的上方，不等式ax+b＞kx．
故答案为：x≥﹣1．
10．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是　m＞﹣6且m≠﹣4　．
【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．
【解答】解：解关于x的方程得x＝m+6，
∵x﹣2≠0，解得x≠2，
∵方程的解是正数，
∴m+6＞0且m+6≠2，
解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．
故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．
11．如图，将直角梯形ABCD沿AB方向向下平移2个单位得到直角梯形EFGH，已知BC＝6，∠A＝90°，∠C＝45°，则阴影部分的面积为 　10　．

【分析】根据平移的性质得AE＝BF＝2，BC＝FG＝6，由于S阴影部分+S梯形EBOH＝S梯形EBOH+S梯形BFGO，所以S阴影部分＝S梯形BFGO，然后根据梯形的面积公式计算．
【解答】解：如图所示：
由平移的性质得AE＝BF＝2，BC＝FG＝6，∠C＝∠G＝45°，

∵S阴影部分+S梯形EBOH＝S梯形EBOH+S梯形BFGO，
∴S阴影部分＝S梯形BFGO，
过O作OQ⊥FG于Q，
在Rt△OQG中，∠G＝45°，
∴OQ＝QG＝BF＝2，
∴BO＝FG﹣OG＝6﹣2＝4，
∴S阴影部分＝S梯形BFGO＝，
故答案为：10．
12．已知在直角三角形中，若一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°．若在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC顶角的度数为 　30°或150°或90°　．
【分析】分两种情况：①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD＝30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
【解答】解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD＝BC，
∴∠ACD＝30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C＝30°；

如图2，延长BC，过A作AD⊥BC于D，

AD在△ABC外部时，顶角∠ACB＝180°﹣30°＝150°；
②BC为底，如图3，

∵AD⊥BC于点D，AD＝BC，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD＝×180°＝90°，
∴顶角∠BAC＝90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）分解因式：a3+10a2+25a；
（2）解方程：+1＝．
【分析】（1）原式提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝a（a2+10a+25）
＝a（a+5）2；
（2）去分母得：2x﹣2+x2+x﹣2＝x2+2x，
解得：x＝4，
检验：把x＝4代入得：（x+2）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝4．
14．（6分）解不等式组，井把它的解集在数轴上表示出来．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
由①得x≤4，
由②得x＞﹣2，
所以，原不等式组得解集为﹣2＜x≤4，
在数轴上表示如下图：
．
15．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA＝BD，画出△ABD的AD边上的高．

【分析】（1）连接EC，利用平行四边形的判定和性质解答即可；
（2）连接EC，ED，FA，利用三角形重心的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图1所示，AF即为所求：
（2）如图2所示，BH即为所求．
16．（6分）先化简：÷（1+），再从绝对值小于2的数中选择一个合适的x代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝•
＝x+1，
∵x为绝对值小于2的数，且x≠1，﹣1，0，
∴当x＝0.5时，原式＝1.5（答案不唯一）．
17．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝39°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据三角形的内角和即可得到∠BAD＝∠CAD＝90°﹣39°＝51°；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD根据平行线的性质得到∠F＝∠CAD，等量代换得到∠BAD＝∠F，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，
又∠B＝39°，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣39°＝51°；

（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠F，
∴AE＝FE．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF．
（1）说明：AC＝AG；
（2）求线段EF的长．

【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，利用ASA定理证明△GAF≌△CAF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）根据题意求出BG，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CG⊥AD，
∴∠AFG＝∠AFC＝90°，
在△GAF和△CAF中，
，
∴△GAF≌△CAF（ASA），
∴AC＝AG；
（2）解：∵AC＝8cm，
∴AG＝AC＝8cm，
∴BG＝AB﹣AG＝12﹣8＝4（cm），
∵△GAF≌△CAF，
∴CF＝FG，
∵CE＝EB，
∴EF＝BG＝×4＝2（cm）．
19．（8分）请看下面的问题：把x4+4分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）4x4+y4；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可；
（2）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝4x4+y4+4x2y2﹣4x2y2＝（2x2+y2）2﹣4x2y2＝（2x2+y2+2xy）（2x2+y2﹣2xy）；
（2）原式＝x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab＝（x﹣a）2﹣（a+b）2＝（x+b）（x﹣2a﹣b）．
20．（8分）为落实帮扶措施，确保精准扶贫工作有效开展，加快贫困群众早日脱贫步伐，经过前期对贫困户情况摸排了解，结合贫困户实际养殖意愿，某扶贫工作队开展精准扶贫“送鸡苗”活动，该工作队为帮扶对象购买了一批土鸡苗和乌鸡苗，已知一只土鸡苗比一只乌鸡苗贵2元，购买土鸡苗的费用和购买乌鸡苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种鸡苗购买的数量相同，求乌鸡苗的单价；
（2）若两种鸡苗共购买1100只，且购买两种鸡苗的总费用不超过6000元，其中土鸡苗至少购买200只，根据（1）中两种鸡苗的单价，该工作队最少花费多少元？
【分析】（1）设乌鸡苗的单价为x元/只，则土鸡苗的单价为（x+2）元/只，利用数量＝总价÷单价，结合两种鸡苗购买的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买土鸡苗m只，则购买乌鸡苗（1100﹣m）只，根据“购买两种鸡苗的总费用不超过6000元，且土鸡苗至少购买200只”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设该工作队购买鸡苗的总花费为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设乌鸡苗的单价为x元/只，则土鸡苗的单价为（x+2）元/只，
依题意得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．
答：乌鸡苗的单价为5元/只．
（2）设购买土鸡苗m只，则购买乌鸡苗（1100﹣m）只，
依题意得：，
解得：200≤m≤250．
设该工作队购买鸡苗的总花费为w元，则w＝（5+2）m+5（1100﹣m）＝2m+5500，
∵k＝2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝200时，w取得最小值，最小值＝2×200+5500＝5900．
答：该工作队最少花费5900元．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，在▱ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，∠A＝60°，点P沿AB边从点A开始以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以1cm/秒的速度向点A移动，用t表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）当t为何值时，△PAQ是等边三角形？
（2）当t为何值时，△PAQ为直角三角形？

【分析】（1）设AP＝2t（cm），AQ＝6﹣t（cm），根据当△PAQ是等边三角形时，AQ＝AP，列出方程求得t值即可求得答案；
（2）分当∠AQP＝90°时，有∠APQ＝30°，和当∠APQ＝90°时，有∠AQP＝30°，两种情况分类讨论确定t值即可求得答案．
【解答】解：（1）AP＝2t（cm），AQ＝6﹣t（cm），
∵当△PAQ是等边三角形时，AQ＝AP，
即2t＝6﹣t，
解得t＝2．
∴当t＝2时，△PAQ是等边三角形；

（2）∵△PAQ是直角三角形，
∴∠AQP＝90°，
当∠AQP＝90°时，有∠APQ＝30°，，
即AP＝2AQ，
∴2t＝2（6﹣t），
解得t＝3（秒），
当∠APQ＝90°时，有∠AQP＝30°，，
即AQ＝2AP
∴6﹣t＝2•2t，解得（秒）．
∴当t＝3或时，△PAQ是直角三角形．
22．（9分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF＝AB；
（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：BE+CF＝（BE﹣CF）．

【分析】（1）如图1，易求得∠B＝60°，∠BED＝90°，BD＝2，然后运用三角函数的定义就可求出BE的值；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM＝CN，DM＝DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM＝FN，就可得到BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝BC＝AB；
（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B＝∠ACD＝60°，同（2）可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．由DN＝FN可得DM＝DN＝FN＝EM，从而可得BE+CF＝BM+EM+CF＝CN+DM+CF＝NF+DM＝2DM，BE﹣CF＝BM+EM﹣CF＝BM+NF﹣CF＝BM+NC＝2BM．然后在Rt△BMD中，运用三角函数就可得到DM＝BM，即BE+CF＝（BE﹣CF）．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．
∵点D是线段BC的中点，
∴BD＝DC＝BC＝2．
∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，
∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，
∴∠BED＝90°，
∴BE＝BD×cos∠B＝2×cos60°＝2×＝1；

（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，
则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．
∵∠A＝60°，
∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．
∵∠EDF＝120°，
∴∠MDE＝∠NDF．
在△MBD和△NCD中，
，
∴△MBD≌△NCD，
∴BM＝CN，DM＝DN．
在△EMD和△FND中，
，
∴△EMD≌△FND，
∴EM＝FN，
∴BE+CF＝BM+EM+CF＝BM+FN+CF＝BM+CN
＝2BM＝2BD×cos60°＝BD＝BC＝AB；

（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．
同（1）可得：∠B＝∠ACD＝60°．
同（2）可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．
∵DN＝FN，
∴DM＝DN＝FN＝EM，
∴BE+CF＝BM+EM+CF＝CN+DM+CF＝NF+DM＝2DM，
BE﹣CF＝BM+EM﹣CF＝BM+NF﹣CF＝BM+NC＝2BM．
在Rt△BMD中，DM＝BM•tanB＝BM，
∴BE+CF＝（BE﹣CF）．



六、解答题（本大题共1题，共12分）
23．（12分）在平行四边形ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E．交AB的延长线于点F，连接AC．

（1）如图1，若∠ADC＝90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE＝BF；
②请判断△AGC的形状，并说明理由．
（2）如图2，若∠ADC＝60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG，请判断△AGC的形状，并说明理由．
（3）如图3，∠ADC＝90°，作∠BED的角平分线EH交AB于点H，已知AB＝9，BH＝2AH，求BC的长．
【分析】（1）①先判定四边形ABCD是矩形，可得∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根据平行线的性质求出∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，利用角平分线的定义得到∠ADF＝∠FDC，从而得到∠F＝∠BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；
②连接BG，由等腰直角三角形的性质可得∠F＝∠BEF＝45°，BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，然后利用“SAS”可证△AFG≌△CBG，可得AG＝CG，再求出∠GAC+∠ACG＝90°，然后求出∠AGC＝90°，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；
（2）连接BG，根据旋转的性质可证△BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AF＝AD，由平行四边形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝60°，然后求出∠CBG＝60°，从而得到∠AFG＝∠CBG，然后利用“ASA”证明△AFG≌△CBG，可得AG＝CG，∠FAG＝∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG＝120°，再求出∠AGC＝60°，然后根据等边三角形的判定方法判定即可；
（3）在BH上截取BN＝BE，连接NE，由等腰三角形的性质可求HN＝NE＝BN，可求BN的长，即可求解．
【解答】（1）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F＝∠FDC，∠BEF＝∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF＝∠FDC，
∴∠F＝∠BEF，
∴BF＝BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：如图1，连接BG，

由①知，BF＝BE，∠FBC＝90°，
∴∠F＝∠BEF＝45°，
∵G是EF的中点，
∴BG＝FG，∠F＝∠CBG＝45°，
∵∠FAD＝90°，
∴AF＝AD，
又∵AD＝BC，
∴AF＝BC，
在△AFG和△CBG中，
，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，
∴∠FAG＝∠BCG，
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB＝90°，
即∠GAC+∠ACG＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接BG，

∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，
∴FB＝FG，∠BFG＝60°，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG＝BG，∠FBG＝60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°
∴∠CBG＝180°﹣∠FBG﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AFG＝∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF＝∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD＝∠FDC，
∴∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
在△AFG和△CBG中，
，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，∠FAG＝∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG＝∠ACB+∠BCG+∠GAC＝∠ACB+∠BAG+∠GAC＝∠ACB+∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠AGC＝180°﹣（∠GAC+∠ACG）＝180°﹣120°＝60°，
∴△AGC是等边三角形；
（3）如图3，在BH上截取BN＝BE，连接NE，

∵AB＝9，BH＝2AH，
∴AH＝3，BH＝6，
∵∠BEF＝45°，
∴∠BED＝135°，
∵EH平分∠BED，
∴∠BEH＝67.5°，
∴∠BHE＝22.5°，
∵BE＝BN，∠ABC＝90°，
∴∠BEN＝∠BNE＝45°，NE＝BN，
∵∠BNE＝∠BHE+∠HNE＝45°，
∴∠BHE＝∠NEH＝22.5°，
∴HN＝NE＝BN，
∵BH＝BN+NH＝（+1）BN＝6，
∴BN＝6﹣6＝BE，
∴BF＝6﹣6，
∴BC＝AD＝AF＝AB+BF＝9+6﹣6＝6+3．