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苏科版初中数学八年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）
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这是一份苏科版初中数学八年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析），共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
苏科版初中数学八年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，点C，D在AB同侧，∠CAB=∠DBA，下列条件中不能判定△ABD≌△BAC的是( )
A. ∠D=∠C B. BD=AC
C. AD=BC D. ∠CAD=∠DBC
2. 如图，Rt△AED中，∠AED=90°，AB=AC=AD，EC=2，BE=8，则ED的值为( )
A. 16
B. 12
C. 23
D. 4
3. 用尺规作∠AOB平分线的方法如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧交OA,OB于点C，点D；②分别以点C，点D为圆心，以大于12CD长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线OP，则OP平分∠AOB，由作法得△OCP≌△ODP，其判定的依据是()
A. ASA B. SAS C. AAS D. SSS
4. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，AD平分∠BAC，则下列结论：
①DE=DF；②BE=CF；③∠ABD+∠C=180°；④AB+AC=2AE，正确的有个( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 如图，(2)中的图案是由(1)中五种基本图形中的两种拼接而成的，这两种基本图形是( )
A. ① ② B. ① ③ C. ① ④ D. ③ ⑤
6. 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别为边AB、AC上的点，BE与CD相交于点F，∠ADC=∠AEB，则下列结论：①△ABE≌△ACD；②BF=CF；③连接AF，则AF所在的直线为△ABC的对称轴：④若AD=BD，则四边形ADFE的面积与△BCF的面积相等．其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
7. 如图所示，直线y=23x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，则过B、C两点直线的解析式为( )
A. y=−13x+2
B. y=−15x+2
C. y=−14x+2
D. y=−2x+2
8. 如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为( )
A. 47
B. 62
C. 79
D. 98
9. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )
A. 521
B. 25
C. 105+5
D. 35
10. 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则DE为( )
A. 2 B. 25 C. 22 D. 4
11. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=60°，BC=CD=8，将四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，则BE的长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 32
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是( )
A. 1 B. 43 C. 53 D. 2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，已知四边形ABCD中，AB=12厘米，BC=8厘米，CD=14厘米，∠B=∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=12，延长线段BC至点D使CD=4，连接AD.若点P是线段BC上一个动点，过点P作PQ//AD交AB于点Q，连接AP，则当△APQ的面积最大时，BP的长度为______．
15. 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，将△ABC按如图方式进行折叠，使点A与BC边上的点F重合，折痕分别与AC、AB交于点D、点E.下列结论：①∠1=∠2；②∠1+∠2=90°；③∠3+∠B=90°；④DF//AB.其中一定正确的结论有______.(填序号)
16. 如图，Rt△ABC中，∠C=90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，△ABC和△ADE中，AB=AD，BC=DE，∠B=∠D，边AD与边BC交于点P(不与点B、C重合)，点B、E在AD异侧，I为△APC的内心(三条角平线的交点)．
(1)求证：∠BAD=∠CAE；
(2)当∠BAC=90°时，
①若AB=16，BC=20时，求线段PD的最大值；
②若∠B=36°，∠AIC的取值范围为m°<∠AIC
18. 在平面直角坐标系xOy中，对于M，N两点，若在y轴上存在点T，使得∠MTN=90°，且MT=NT，则称M，N两点互相等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点．已知A点的坐标是(2,0)．
(1)如图①，在点B(2,−2)，C(0,1)，D(−2,0)中，点A的等垂点是______；(选填“B”，“C”或“D”)
(2)如图②，若一次函数y=2x−1的图像上存在点A的等垂点A′，求A′点的坐标；
(3)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图像上存在无数个点A的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式：______．
19. 如图，已知三角形EFG的顶点E，F分别在直线AB和CD上，且AB//CD.若∠EFG=90°，∠FEG=30°，∠EGF=60°．
(1)当∠2=2∠1时，求∠1的度数．
(2)设∠AEG=α，∠CFG=β，求α和β的数量关系(用含α，β的等式表示)．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC=90°．
(1)求点C的坐标．
(2)E是x轴上的一个动点，是否存在这样的点E，使得|EC−EB|的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出点E的坐标．
(3)若以Q，A，B为顶点的三角形和△ABC全等(点Q不与点C重合)，请直接写出点Q的坐标．
21. 已知，一次函数y=−34x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y=54x相交于点C.过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．
(1)求点A，点B的坐标；
(2)若S△AOC=S△BCP，求点P的坐标；
(3)若点E是直线y=54x上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴相交于点A(2,0)，与y轴相交于点B，与直线y=2x相交于点C(1,m)．
(1)求直线AB的解析式及点B的坐标；
(2)动点M在线段OC、BC上沿路线O→C→B运动，若△OMB的面积为S1，△OBC的面积为S2，当S1:S2=1:2时，求点M的坐标；
(3)在第一象限内是否存在一点P，使△PBC是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23. 如图，△ABC中，AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，连结CD，动点P从点A出发，沿A→C→B的路径运动，到达点B时运动停止，速度为每秒2cm，设运动时间为t秒．
(1)求CD的长；
(2)当t为何值时，△ADP是直角三角形？
(3)直接写出：当t为何值时，△ADP是等腰三角形？
24. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=2，BE=22，求AC的长和四边形ABCD的面积．
25. 请阅读下列材料：
已知：如图(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图(2)，其它条件不变，(1)中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
(3)已知：如图(3)，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，符合SSA和AAA不能推出两三角形全等． 根据图形知道隐含条件BC=BC，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】
解：A、添加条件∠D=∠C，还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；
B、添加条件BD=AC，还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；
C、添加条件AD=BC，还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△BAC，故本选项正确；
D、∵∠CAB=∠DBA，∠CAD=∠DBC，
∴∠DAB=∠CBA， 还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；
故选C．
2.【答案】D
【解析】解：如图，
∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
作⊙A，延长DE交⊙A于F，连接BF，CD，
∵∠AED=90°，
∴AE⊥DF，
∴DE=EF，
∵CF=CF，
∴∠CDE=∠CBF，
∵∠CED=∠BEF，
∴△CDE∽△FBE，
∴CEEF=DEBE，
∴DE⋅FE=CE⋅BE，
∴DE2=2×8，
∴DE=4，
故选：D．
先判断点点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后延长DE交圆A于F，则DF是圆A的弦，根据垂径定理，得出DE=EF，在证明△CDE∽△FBE，进而求得结果．
本题考查了确定圆的条件，垂径定理，相交弦定理(相似三角形判断和性质得出)等知识，解决问题的关键是作辅助圆，构造相似三角形．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了作图−基本作图：掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了全等三角形的判定方法．利用基本作图和三角形全等的判定方法可得到正确选项．
【解答】
解：根据作法得到OC=OD，CP=DP，
而OP=OP，
所以利用“SSS”可判断△OCP≌△ODP．
故选D．
4.【答案】D
【解析】解：如图所示：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC，
又∴DE=DF，
∴结论①正确；
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
DE=DFBD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF，
∴结论②正确；
∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠EBD=∠C，
又∵∠ABD+∠DBE=180°，
∴∠ABD+∠C=180°，
∴结论③正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
DE=DFAD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
又∵BE=CF，AE=AB+BE，
∴AB+AC=AE+AF=2AE，
∴结论④正确，
综上所述，四个结论都正确．
故选：D．
由角平分线的性质得DE=DF，全等三角形的判定与性质得BE=CF，邻补角的定义和等量代换得∠ABD+∠C=180°，全等三角形的性质和线段的和差得AB+AC=2AE.综合所述四个结论都正确．
本题综合考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，邻补角的定义，等量代换和线段的和差等相关知识，重点掌握角平分线的性质和三角形全等的判定与性质．
5.【答案】B
【解析】根据已知图形，利用分割与组合的原理对图形进行分析即可得到答案．
6.【答案】D
【解析】解：在△ABE和△ACD中，
∠AEB=∠ADC∠A=∠AAB=AC，
∴△ABE≌△ACD(AAS)，故①正确；
∴∠ABE=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EBC=∠DCB，
∴BF=CF，故②正确；
∴F点在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，
∴A点在BC的垂直平分线上，
∴直线AF是BC的垂直平分线，
即AF所在的直线为△ABC的对称轴，故③正确；
④若AD=BD，则S△ACD=S△BCD，
在△BDF和△CEF中，
∠ABE=∠ACDBF=CF∠DFB=∠EFC，
∴△BDF≌△CEF(ASA)，
∴S△BDF=S△CEF，
∴S四边形ADFE=S△BFC，故④正确．
故选：D．
可利用AAS证明①；由全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得∠EBC=∠DCB，进而可证明②；利用线段垂直平分的判定可得AF是BC的垂直平分线，进而可判定③；利用三角形的中线的性质可得S△ACD=S△BCD，再证明△BDF≌△CEF可得S△BDF=S△CEF，进而可证明④．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：对于直线y=23x+2，令x=0，得到y=2，即B(0,2)，OB=2，
令y=0，得到x=−3，即A(−3,0)，OA=3，
过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中，
∠AMC=∠BOA=90°∠ACM=∠BAOAC=BA，
∴△CAM≌△ABO(AAS)，
∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，
∴C(−5,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B(0,2)，
∴b=2−5k+b=3，
解得k=−15b=2．
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y=−15x+2．
故选：B．
过C作CM垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及AC=AB，利用AAS得到三角形ACM与三角形BAO全等，由全等三角形对应边相等得到CM=OA，AM=OB，由AM+OA求出OM的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点的直线对应的函数表达式．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股数，数式规律问题，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
依据每列数的规律，即可得到a=n+12−1，b=2n+1，c=n+12+1，(n为正整数)，进而得出x+y的值．
【解答】
解：由题可得，3=22−1，4=2×2，5=22+1，
8=32−1，6=2×3，10=32+1，
15=42−1，8=2×4，17=42+1，
24=52−1，10=2×5，26=52+1，
……
∴a=n+12−1，b=2n+1，c=n+12+1，(n为正整数)
∴当c=n+12+1=65时，n=7，
∴x=(7+1)2−1=63，y=2×(7+1)=16，
∴x+y=79，
故选：C．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面展开−最短路径问题，勾股定理以及分类讨论的思想．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”分三种情况讨论即可得出结果．
【解答】
解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，分三种情况进行讨论：
(1)如图，BD=10+5=15，AD=20，
由勾股定理得：AB=AD2+BD2=152+202=625=25．
(2)如图，BC=5，AC=20+10=30，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=52+302=925=537．
(3)只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=BD2+AD2=102+252=529；
由于25<529<537，
所以需要爬行的最短距离是25．
10.【答案】C
【解析】解：如图所示，连接BE，过D作DG⊥AC于G，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=4，
∴由勾股定理得AB=45，
由折叠可得，△ADE与△A′DE全等，
∵△DEF的面积是△ADE面积的一半，
∴△DEF的面积是△A′DE面积的一半，且DF=12AD，
∴F是A′E的中点，
又∵D是AB的中点，
∴DF=12AD=12BD，即F是BD的中点，
又∵∠A′FD=∠EFB，
∴△A′DE≌△EBF(SAS)，
∴A′D=BE=AD=25，
又∵∠C=90°，
∴Rt△BCE中，CE=BE2−BC2=20−16=2，
∵DG//BC，D是AB的中点，
∴G是AC的中点，即CG=12AC=4，
∴EG=CG−CE=4−2=2，DG=12BC=2，
∴Rt△DEG中，DE=DG2+EG2=4+4=22，
故选：C．
连接BE，过D作DG⊥AC于G，先判定△A′DE≌△EBF(SAS)，即可得出A′D=BE=AD=25，再根据勾股定理求得CE的长，进而得出EG和DG的长，再根据勾股定理即可得到DE的长．
本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查的是等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，轴对称的性质，轴对称变换的有关知识，连接BD，AE，证出△CBD是等边三角形得到BD=BC=8，然后利用特殊角的三角函数值求出AB，再利用等腰三角形的判定及性质得到AE=CE，最后利用勾股定理进行求解即可．
【解答】
解：如图，连接BD，AE，
∵∠C=60°，BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=CD=8，∠CBD=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°−60°=30°，
∴AB=BDcos30°=8×32=43，
∵将四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，
∴△CEA是等腰三角形，CE=AE，
∵CE=BC−BE，
∴AE=BC−BE=8−BE，
在Rt△ABE中AE2=BE2+AB2，
∴(8−BE)2=BE2+432，
解得：BE=1．
故选A．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质定理及等腰三角形的判定等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
过点E作EG⊥AB于点G，由EG⊥AB，CD⊥AB，可得EG // CD，由平行线的性质可得∠GEB=∠EFC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB的值；由HL判定Rt△EBC≌Rt△EBG，由全等三角形的性质可得∠CEB=∠EFC及AG的值，进而可判定CF=CE.设CF=EG=EC=x，则AE=3−x，在Rt△AEG中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即为CF的长．
【解答】
解：过点E作EG⊥AB于点G，如图：
∵CD⊥AB于D，
∴EG // CD，
∴∠GEB=∠EFC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴EC⊥CB，
又∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，
∴EG=EC．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5．
在Rt△EBC和Rt△EBG中，
EB=EBEC=EG，
∴Rt△EBC≌Rt△EBG(HL)，
∠CEB=∠GEB，BG=BC=4，
∴∠CEB=∠EFC，AG=AB−BG=5−4=1，
∴CF=CE．
设CF=EG=EC=x，则AE=3−x，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：
(3−x)2=x2+12，
解得x=43
∴CF的长是43．
故选：B．
13.【答案】3或92
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．
分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
【解答】
解：设点P运动的时间为t秒，则BP=3t，CP=8−3t，
∵∠B=∠C，
∴①当BE=CP=6，BP=CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，6=8−3t，
解得t=23，
∴BP=CQ=2，
此时，点Q的运动速度为2÷23=3厘米/秒；
②当BE=CQ=6，BP=CP时，△BPE与△CPQ全等，
此时，3t=8−3t，
解得t=43，
∴点Q的运动速度为6÷43=92厘米/秒；
故答案为3或92．
14.【答案】8
【解析】解：以C点为坐标原点，AC为x轴，BC为y轴，建立平面直角坐标系，则A点的坐标为(12,0)，B点的坐标为(0,12)，D点的坐标为(0,−4)．
∴直线AB的解析式为y=−x+12，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴12k+b=0b=−4，
解得k=13b=−4，
∴直线AD的解析式为y=13x−4，
∵PQ//AD，
∴可设直线PQ的解析式为y=13x+m，则P(0,m)(0
解得：x=34(12−m)，
∴Q(34(12−m),13x+m)，
∴S△APQ=S△ABC−S△BPQ−S△ACP=12×12×12−12(12−m)×34(12−m)−12×12m=−38(m−4)2+24，
∴m=4时，△APQ的面积最大，
∴BP=12−4=8．
以C点为坐标原点，AC为x轴，BC为y轴，建立平面直角坐标系，则A点的坐标为(12,0)，B点的坐标为(0,12)，D点的坐标为(0,−4).利用待定系数法求出直线AB、AD的解析式，根据两直线平行可得直线PQ的解析式为y=13x+m，则P(0,m)(0
15.【答案】②③
【解析】解：由折叠的性质，∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=∠3=45°，
∴∠3+∠B=90°，
故选项③正确；
设∠ADE=∠FED=α，∠AED=∠FED=β，
∴∠1+∠ADE+∠FED=∠1+2α=180°①，∠2+∠AED+∠FED=∠2+2β=180°②，∠A+α+β=180°，
∴①+②，得∠1+2α+∠2+2β=∠1+∠2+2(α+β)=360°，
∴∠1+∠2=90°，
故选项②正确；
∵∠1+∠2=90°，
∠1与∠2不一定相等，
∴选项①不一定正确；
∵点F在BC边上，不固定，DF与AB不一定平行，
∴选项④不一定正确；
故答案为：②③．
由折叠性质可得∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，再由等腰直角三角形性质得∠A=∠B=∠3=45°，即可得到∠3+∠B=90°；设∠ADE=∠FED=α，∠AED=∠FED=β，可得∠1+∠ADE+∠FED=∠1+2α=180°①，∠2+∠AED+∠FED=∠2+2β=180°②，∠A+α+β=180°，即可推导出∠1+∠2=90°；∠1与∠2不一定相等，DF与AB不一定平行，即可确定答案．
本题考查了折叠的性质，平行线的判定，三角形内角和定理等知识，正确的识别图形是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：根据题意，得DE垂直平分AB，则AE=BE．
得∠A=∠ABE
根据折叠，得∠ABE=∠CBE
再根据直角三角形的两个锐角互余得∠A=∠ABE=∠CBE=30°
∴CE=12BE=2
则AC=4+2=6．
运用线段垂直平分线的性质得∠A=∠ABE，根据折叠的性质得∠ABE=∠CBE，然后根据直角三角形的性质计算．
此题综合了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，所以学生学过的知识要系统．
17.【答案】(1)证明：∵在△ABC与△ADE中，
AB=AD∠B=∠DBC=DE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE；
(2)①在△ABC中，∠BAC=90°，
由勾股定理，得AC=BC2−AB2=202−162=12，
∵AD=AB=16，而PD=AD−AP=16−AP，
∴当AP⊥BC时，AP最小，PD最大，
此时，S△ABC=12BC⋅AP=12AB⋅AC，
即12×20×AP=12×16×12，
解得，AP=485，
∴PD的最大值为：16−485=325；
②如图，∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
设∠BAP=α，则∠PAC=90°−α，∠PCA=54°，
∵I为△APC的内心，
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC=12∠PAC，∠ICA=12∠PCA，
∴∠AIC=180°−(∠IAC+∠ICA)
=180°−12(∠PAC+∠PCA)
=180°−12(90°−α+54°)
=12α+108°，
∵0°<α<90°，
∴108°<12α+108°<153°，
即108°<∠AIC<153°，
∴m=108，n=153．
【解析】(1)通过全等三角形的判定定理“边角边”证△ABC≌△ADE，推出∠BAC=∠DAE，可进一步推出∠BAD=∠CAE；
(2)①在△ABC中，由勾股定理，求得AC的长，当AP⊥BC时，AP最小，PD最大，由面积法求出AP的长，即可求出PD的最大值；
②如图，由已知可推出∠BAC=90°，设∠BAP=α，则∠PAC=90°−α，∠PCA=54°，推出∠AIC=12α+108°，因为0°<α<90°，可推出108°<∠AIC<153°，即可写出m，n的值．
本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，三角形的内心，三角形的内角和定理等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用三角形的内角和定理等．
18.【答案】解：(1)D.理由如下：
显然，点C在y轴上，不可能为点A的等垂点，
对于点B，AB的垂直平分线为直线y=1，此时，AE=BE，但∠AEB≠90°，故点B不是点A的等垂点；
对于点D，点A，D关于y轴对称，故当取点(0,2)或(0,−2)时，满足等垂点的定义，故D是点A的等垂点；
(2)①如图，当点A′在x轴上方时，过点A′作y轴的垂线，交于点G，
∵∠A′FA=90°，
∴∠A′FG+∠AFO=90°，
又∵∠AFO+∠OAF=90°，
∴∠A′FG=∠FAO，
又∵A′F=AF，∠A′GF=∠AOF，
∴△AOF≌△FGA′(AAS)，
∴GF=OA=2，A′G=OF，
设A′G=OF=a，则A′(a,a+2)，代入y=2x−1得：a+2=2a−1，解得：a=3，
∴A′(3,5)；
②当点A′位于x轴下方时，过点H作x轴的平行线，分别过点A，A′作x轴的垂线，与过点H且与x轴平行的直线分别交于点M，N，则HM=OA=2，
∵∠AHA′=90°，
∴∠AHM+∠A′HN=90°，
又∵∠AHM+∠MAH=90°，
∴∠A′HN=∠MAH，
又∵∠N=∠M=90°，AH=A′H，
∴△A′HN≌△HAM(AAS)，
∴A′N=HM=2，NH=AM，
设NH=AM=b，则A′(−b,b−2)，代入y=2x−1得：b−2=−2b−1，解得：b=13，
∴A′(−13,−53)；
综上，A′的坐标为(3,5)或(−13,−53)；
(3)y=x+2或y=−x−2.理由如下：
由(2)得：①当点A′在x轴上方时，A′(a,a+2)，在直线y=x+2上；
②当点A′在x轴下方时，A′(−b,b−2)，在直线y=−x−2上，
综上，该一次函数的解析式为y=x+2或y=−x−2．
【解析】本题主要考查一次函数、新定义问题、全等三角形的判定与性质等知识点．
(1)根据定义逐项判断即可；
(2)分①当点A′在x轴上方时，②当点A′位于x轴下方时，两种情况讨论即可；
(3)根据(2)判断即可．
19.【答案】解：(1)∵AB//CD，
∴∠BEF=∠EFC，
∵∠FEG=30°，
∴∠EFC=∠1+30°，
∵∠2+∠EFC+90°=180°，∠2=2∠1，
∴2∠1+∠1+30°+90°=180°，
解得∠1=20°；
(2)过G点作GM//AB，
∴∠AEG+∠EGM=180°，
∵AB//CD，
∴MG//CD，
∴∠MGF+∠CFG=180°，
∴∠AEG+∠EGM+∠MGF+∠CFG=360°，
即∠AEG+∠EGF+∠CFG=360°，
∵∠EGF=60°，
∴∠AEG+∠CFG=300°．
∵∠AEG=α，∠CFG=β，
∴α+β=300°．
【解析】(1)由平行线的性质可得∠EFC=∠1+30°，再根据平角的定义可求解；
(2)过G点作GM//AB，则MG//CD，利用平行线的性质可得∠AEG+∠EGF+∠CFG=360°，结合∠EGF=60°可求解．
本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，
对于一次函数y=14x+1，
令x=0，则y=1;
令y=0，则14x+1=0，即x=−4，故B0,1,A−4,0，
∴OA=4,OB=1，
∵∠ADC=∠BOA=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB，
在△ADC和△BOA中，
∠ADC=∠BOA,∠ACD=∠BAO,AC=BA,
∴△ADC≌△BOA(AAS)，
∴CD=OA=4，AD=BO=1，
∴OD=OA+AD=5，
∴C(−5,4)；
(2)存在点E，使得|EC−EB|的值最大．
∵E是x轴上的一个动点，
∴|EC−EB|≤BC，
∴当点E在CB的延长线与x轴的交点上时，|EC−EB|=BC，此时|EC−EB|的值最大，
如图2，延长CB交x轴于点E，设直线CB的解析式为y=kx+b，
∵B(0,1)，C(−5,4)，
∴b=1,−5k+b=4,解得k=−35,b=1,
∴直线CB的解析式为y=−35x+1．
当y=0时，−35x+1=0，解得x=53，
∴E(53,0)；
(3)点Q的坐标为(−3,−4)，(−1,5)，(1,−3)．
【解析】本题主要考查一次函数与等腰直角三角形的综合，用待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质等知识，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键，注意分类讨论．
(1)过点C作CD⊥x轴于点D，通过证明△ADC≌△BOA，求得线段OD，CD的长度即可得出结论；
(2)延长CB，交x轴于点E，则此时|EC−EB|的值最大，利用待定系数法求得直线BC的解析式，令y=0即可求得点E的横坐标；
(3)分三种情况，分别过点Q作x、y轴的垂线，通过全等三角形的性质求出点Q到x、y轴的垂线段的长，即得点Q的坐标．
解：(3)如图3，△ABC≌△ABQ1≌△BAQ2≌△BAQ3，过点Q1作Q1F⊥x轴于点F，
过点Q2作Q2G⊥y轴于点G，过点Q3作Q3H⊥y轴于点H，
易证△ABO≌△Q1AF≌△BQ2G≌△BQ3H，
∴OA=FQ1=GB=HB，OB=FA=GQ2=HQ3，
由(1)可知OA=4，OB=1，
∴OA=FQ1=GB=HB=4，OB=FA=GQ2=HQ3=1，
∴Q1(−3,−4)，Q2(−1,5)，Q3(1,−3)，
综上所述，点Q的坐标为(−3,−4)，(−1,5)，(1,−3)，
故答案为：Q的坐标为(−3,−4)，(−1,5)，(1,−3)．
21.【答案】解：(1)令x=0，y=6，
令y=0，x=8，
点A(8,0)，点B(0,6)，
A(8,0)，点B(0,6)
(2)联立y=54xy=−34x+6,
解得：x=3y=154,
∴C为3,154，
∴S△AOC=12×8×154=15，
∴S△BCP=12×BP×(yP−yC)=12×BP×(6−154)=15，
解得：BP=403，
∴P(403,6)或−403,6；
(3)设点E(m,54m)、点P(n,6)；
①当∠EPA=90°时，点P在点E的左侧时，如图1，
∵∠MEP+∠MPE=90°，∠MPE+∠NPA=90°，
∴∠MEP=∠NPA，AP=PE，
∵∠EMP=∠PNA=90°，
∴△EMP≌△PNA(AAS)，
则ME=PN=6，MP=AN，
即m−n=6，54m−6=8−n，
解得：m=809，54m=1009，
故点E(809,1009)；
当点P在点E的右侧时，如下图，
同理可得△AMP≌△PNE，
则NE=PM=6，NP=AM，
即m+6=n，54m−6=n−8，
解得：m=16，54m=20，
故点E(16,20)；
②当∠EAP=90°时，
当点P在点E左侧时，如图2，
同理可得：△AMP≌△ENA，
则AN=PM=6，EN=AM，
m−8=6，54m=8−n，
解得：m=14，54m=352，
故点E(14,352)；
当点P在点E的右侧时，如图3，
同理可得：△AMP≌△ANE(AAS)，
故MP=EN，AM=AN=6，
即54m=n−8，8−m=6，
解得：m=2，54m=52，
故点E(2,52).
综上，E(809,1009)或(16,20)或(14,352)或(2,52).
【解析】此题主要考查一次函数的性质，三角形全等，三角形的面积计算等知识，难度较大，其中(3)要注意分类讨论，避免漏解．
(1)根据一次函数y=−34x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，分别令x=0，y=0即可解答；
(2)首先求出点C的坐标，然后根据三角形的面积公式即可解答；
(3)分∠EPA=90°、∠EAP=90°两种情况，分别求解即可．
22.【答案】解：(1)∵点C(1,m)在直线y=2x上，
∴m=2，
∴点C(1,2)，
设直线AB解析式为y=kx+b，
则2k+b=0k+b=2,
解方程组得：k=−2b=4,
∴直线AB解析式为y=−2x+4，
∵对于y=−2x+4，当x=0时，y=4，
∴B(0,4)，
∴直线AB解析式为y=−2x+4，B(0,4)；
(2)分别过点C，M作CD⊥y轴于点D，ME⊥y轴于点E，
∵B(0,4)，
∴OB=4，
∵C(1,2)，
∴CD=1，
∴S2=12OB·CD=12×4×1=2，
∴S1=12S2=1，
∴12OB·ME= 12×4ME=1，
∴ME=12，
∴点M的横坐标为12，
①当点M在OC上时，对于y=2x，当x=12时，y=1，
∴M(12,1)，
②当点M在BC上时，对于y=−2x+4，当x=12时，y=3，
∴M(12,3)，
综上所述，点M的坐标为(12,1)或(12,3)；
(3)点P坐标为(2,5)或(3,3)或(32,72).
【解析】
【分析】
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及等腰直角三角形的判定，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及等腰直角三角形的判定是解题的关键．
(1)求出C的坐标，进而根据待定系数法求一次函数解析式即可求解；
(2)求出S1与S2，进而求出ME，即可求解；
(3)根据等腰直角三角形的判定，找到P的位置，进而求解即可，注意分类讨论．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)①当∠BCP=90°且BC=CP时，如图1，过点C作CF⊥y轴，交于点F，过点P作PQ⊥CF，交FC延长线于点Q，
∵△PBC是等腰直角三角形，∠BCP=90°，BC=CP，
∴∠BCF=∠CPQ，
在△BFC与△CQP中，
∠BFC=∠CQP=90°∠BCF=∠CPQBC=CP,
∴△BFC≌△CQP(AAS)，
∴CF=PQ=1，BF=CQ=4−2=2，
∴点P坐标为(3,3)；
②当∠PBC=90°且BP=BC时，如图2，过点C作CF⊥y轴，交于点F，过点P作PQ⊥y轴，交于点Q，
同理，可证：∴△BFC≌△PQB，
∴CF=BQ=1，BF=PQ=2，
∴点P坐标为(2,5)；
③当∠BPC=90°且BP=CP时，如图3，过点P作PQ平行y轴交FC延长线于点G，作BQ⊥PQ交于点Q，
同理，可证：∴△BQP≌△PGC，
设P(a,n)，
∴BQ=PG=FG=a，PQ=CG，BF=QG，
∴1+CG=a，a+CG=2，
解得：CG=12，a=32，
∴点P坐标为(32,72)；
综上，当点P坐标为(2,5)或(3,3)或(32,72)，△PBC是等腰直角三角形 ．
故答案为P(2,5)或(3,3)或(32,72).
23.【答案】解：(1)如图，
∵AB=12 cm，点D是AB的中点，
∴AD=12AB=6cm，
∵AC=BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
在Rt△ADC中，CD=AC2−AD2=102−62=8cm；
(2)当△APD为直角三角形时，有两种情况，分别为：
①如图，当∠APD=90∘时，即点P在AC边上，
由S△ACD=12AC⋅DP=12AD⋅CD，得DP=6×810=4.8cm，
在Rt△APD中，AP=AD2−PD2=62−4.82=3.6cm，
∴t=3.62=1.8(秒)，
②当∠ADP=90∘时，点P与点C重合如图，
此时，t=102=5(秒)，
∴当t为1.8秒或5秒时，△ADP是直角三角形；
(3)当t=2.5或3或3.6或6.4秒时，△ADP是等腰三角形．
【解析】
【分析】
本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形面积的应用，解决问题的关键是作辅助线，根据同一三角形的面积相等进行计算．解题时注意方程思想和分类思想的运用．
(1)根据题意，运用等腰三角形的性质，求得AD的长，再根据勾股定理求得CD的长即可；
(2)分两种情况进行讨论：当DP⊥AC时，△ADP是直角三角形，由面积法求出PD长，再根据勾股定理求出AP长，即可得出t的值；当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，此时P点与C点重合，根据时间=路程÷速度求解即可；
(3)分四种情况进行讨论：当PA=PD时，当AP=AD时，当AD=PD时，点P在AC或BC上时，分别作辅助线，求得t的值即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)分四种情况：
由(2)得△ACD的AC边上的高为4.8cm，
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=12AD=3cm，
∵PE=AP2−AE2，S△PAD=12AP⋅4.8=12AD⋅PE，
∴AP2·4.82=AD2·(AP2−AE2)，
解得AP=5，
∴t=5÷2=2.5；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
∴t=6÷2=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=12AP=t，
∵FD=4.8cm，
∴AD2−AF2=FD2=4.82，
解得AF=3.6，AP=7.2，
即：t=7.2÷2=3.6；
④如图所示，当点P在BC上，AD=PD=6cm时，过D作DG⊥BC，
∵AC=BC，点D是AB的中点，
∴△BCD的BC边上的高也是4.8cm，且△BDP也是等腰三角形，BD=PD=6cm，
∴BP=2×62−4.82=7.2cm，
∵AC+CP=AC+BC−BP，即2t=10+10−7.2，
解得：t=6.4，
综上所述，当t=2.5或3或3.6或6.4秒时，△ADP是等腰三角形．
24.【答案】解：过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45∘，DH⊥AC，DE=2，
∴EH=DH，
∵EH2+DH2=ED2，
∴EH2=1，
∴EH=DH=1，
又∵∠DCE=30°，
∴DC=2，HC=3，
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=22，
∴AB=AE=2，
∴AC=2+1+3=3+3，
∴S四边形ABCD=12×2×3+3+12×1×3+3=33+92．
【解析】此题主要考查的是勾股定理，根据已知条件构造出直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键.利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．
25.【答案】解：(1)DE2=BD2+EC2；
(2)关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．
证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE
∴△AFD≌△ABD，
∴AF=AB，FD=DB，
∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，
又∵AB=AC，
∴AF=AC，
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，
∠EAC=∠BAC−∠BAE=90°−(∠DAE−∠DAB)=45°+∠DAB，
∴∠FAE=∠EAC，
又∵AE=AE，
∴△AFE≌△ACE，
∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°−∠ABC=135°
∴∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°，
∴在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，
即DE2=BD2+EC2；
解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB.连接DT．
∴∠ABT=∠C=45°，AT=AE，∠TAE=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠TBC=∠TBD=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAT=∠DAE，
∵AD=AD，
∴△DAT≌△DAE(SAS)，
∴DT=DE，
∵DT2=DB2+EC2，
∴DE2=BD2+EC2；
(3)当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
如图，与(2)类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，
可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
∴AD=DF，EF=BE．
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．
若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，
∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．
【解析】(1)DE2=BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；
(2)根据(1)的思路一样可以解决问题；
(3)当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与(1)类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD=DF，EF=BE.由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°，这样就可以解决问题．
此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．
苏科版初中数学八年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，点C，D在AB同侧，∠CAB=∠DBA，下列条件中不能判定△ABD≌△BAC的是( )
A. ∠D=∠C B. BD=AC
C. AD=BC D. ∠CAD=∠DBC
2. 如图，Rt△AED中，∠AED=90°，AB=AC=AD，EC=2，BE=8，则ED的值为( )
A. 16
B. 12
C. 23
D. 4
3. 用尺规作∠AOB平分线的方法如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧交OA,OB于点C，点D；②分别以点C，点D为圆心，以大于12CD长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线OP，则OP平分∠AOB，由作法得△OCP≌△ODP，其判定的依据是()
A. ASA B. SAS C. AAS D. SSS
4. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，AD平分∠BAC，则下列结论：
①DE=DF；②BE=CF；③∠ABD+∠C=180°；④AB+AC=2AE，正确的有个( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 如图，(2)中的图案是由(1)中五种基本图形中的两种拼接而成的，这两种基本图形是( )
A. ① ② B. ① ③ C. ① ④ D. ③ ⑤
6. 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别为边AB、AC上的点，BE与CD相交于点F，∠ADC=∠AEB，则下列结论：①△ABE≌△ACD；②BF=CF；③连接AF，则AF所在的直线为△ABC的对称轴：④若AD=BD，则四边形ADFE的面积与△BCF的面积相等．其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
7. 如图所示，直线y=23x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边，在第二象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，则过B、C两点直线的解析式为( )
A. y=−13x+2
B. y=−15x+2
C. y=−14x+2
D. y=−2x+2
8. 如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为( )
A. 47
B. 62
C. 79
D. 98
9. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )
A. 521
B. 25
C. 105+5
D. 35
10. 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A′DE，A′E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则DE为( )
A. 2 B. 25 C. 22 D. 4
11. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠C=60°，BC=CD=8，将四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，则BE的长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 32
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，BE与CD相交于F，则CF的长是( )
A. 1 B. 43 C. 53 D. 2
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，已知四边形ABCD中，AB=12厘米，BC=8厘米，CD=14厘米，∠B=∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=12，延长线段BC至点D使CD=4，连接AD.若点P是线段BC上一个动点，过点P作PQ//AD交AB于点Q，连接AP，则当△APQ的面积最大时，BP的长度为______．
15. 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，将△ABC按如图方式进行折叠，使点A与BC边上的点F重合，折痕分别与AC、AB交于点D、点E.下列结论：①∠1=∠2；②∠1+∠2=90°；③∠3+∠B=90°；④DF//AB.其中一定正确的结论有______.(填序号)
16. 如图，Rt△ABC中，∠C=90度．将△ABC沿折痕BE对折，C点恰好与AB的中点D重合，若BE=4，则AC的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，△ABC和△ADE中，AB=AD，BC=DE，∠B=∠D，边AD与边BC交于点P(不与点B、C重合)，点B、E在AD异侧，I为△APC的内心(三条角平线的交点)．
(1)求证：∠BAD=∠CAE；
(2)当∠BAC=90°时，
①若AB=16，BC=20时，求线段PD的最大值；
②若∠B=36°，∠AIC的取值范围为m°<∠AIC
18. 在平面直角坐标系xOy中，对于M，N两点，若在y轴上存在点T，使得∠MTN=90°，且MT=NT，则称M，N两点互相等垂，其中一个点叫做另一个点的等垂点．已知A点的坐标是(2,0)．
(1)如图①，在点B(2,−2)，C(0,1)，D(−2,0)中，点A的等垂点是______；(选填“B”，“C”或“D”)
(2)如图②，若一次函数y=2x−1的图像上存在点A的等垂点A′，求A′点的坐标；
(3)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图像上存在无数个点A的等垂点，试写出该一次函数的所有表达式：______．
19. 如图，已知三角形EFG的顶点E，F分别在直线AB和CD上，且AB//CD.若∠EFG=90°，∠FEG=30°，∠EGF=60°．
(1)当∠2=2∠1时，求∠1的度数．
(2)设∠AEG=α，∠CFG=β，求α和β的数量关系(用含α，β的等式表示)．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=14x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC，∠BAC=90°．
(1)求点C的坐标．
(2)E是x轴上的一个动点，是否存在这样的点E，使得|EC−EB|的值最大？如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出点E的坐标．
(3)若以Q，A，B为顶点的三角形和△ABC全等(点Q不与点C重合)，请直接写出点Q的坐标．
21. 已知，一次函数y=−34x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y=54x相交于点C.过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．
(1)求点A，点B的坐标；
(2)若S△AOC=S△BCP，求点P的坐标；
(3)若点E是直线y=54x上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴相交于点A(2,0)，与y轴相交于点B，与直线y=2x相交于点C(1,m)．
(1)求直线AB的解析式及点B的坐标；
(2)动点M在线段OC、BC上沿路线O→C→B运动，若△OMB的面积为S1，△OBC的面积为S2，当S1:S2=1:2时，求点M的坐标；
(3)在第一象限内是否存在一点P，使△PBC是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23. 如图，△ABC中，AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，连结CD，动点P从点A出发，沿A→C→B的路径运动，到达点B时运动停止，速度为每秒2cm，设运动时间为t秒．
(1)求CD的长；
(2)当t为何值时，△ADP是直角三角形？
(3)直接写出：当t为何值时，△ADP是等腰三角形？
24. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=2，BE=22，求AC的长和四边形ABCD的面积．
25. 请阅读下列材料：
已知：如图(1)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图(2)，其它条件不变，(1)中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
(3)已知：如图(3)，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，符合SSA和AAA不能推出两三角形全等． 根据图形知道隐含条件BC=BC，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】
解：A、添加条件∠D=∠C，还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；
B、添加条件BD=AC，还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；
C、添加条件AD=BC，还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△BAC，故本选项正确；
D、∵∠CAB=∠DBA，∠CAD=∠DBC，
∴∠DAB=∠CBA， 还有已知条件∠CAB=∠DBA，BC=BC，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABD≌△BAC，故本选项错误；
故选C．
2.【答案】D
【解析】解：如图，
∵AB=AC=AD，
∴点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
作⊙A，延长DE交⊙A于F，连接BF，CD，
∵∠AED=90°，
∴AE⊥DF，
∴DE=EF，
∵CF=CF，
∴∠CDE=∠CBF，
∵∠CED=∠BEF，
∴△CDE∽△FBE，
∴CEEF=DEBE，
∴DE⋅FE=CE⋅BE，
∴DE2=2×8，
∴DE=4，
故选：D．
先判断点点B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后延长DE交圆A于F，则DF是圆A的弦，根据垂径定理，得出DE=EF，在证明△CDE∽△FBE，进而求得结果．
本题考查了确定圆的条件，垂径定理，相交弦定理(相似三角形判断和性质得出)等知识，解决问题的关键是作辅助圆，构造相似三角形．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了作图−基本作图：掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了全等三角形的判定方法．利用基本作图和三角形全等的判定方法可得到正确选项．
【解答】
解：根据作法得到OC=OD，CP=DP，
而OP=OP，
所以利用“SSS”可判断△OCP≌△ODP．
故选D．
4.【答案】D
【解析】解：如图所示：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC，
又∴DE=DF，
∴结论①正确；
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
DE=DFBD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF，
∴结论②正确；
∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠EBD=∠C，
又∵∠ABD+∠DBE=180°，
∴∠ABD+∠C=180°，
∴结论③正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
DE=DFAD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
又∵BE=CF，AE=AB+BE，
∴AB+AC=AE+AF=2AE，
∴结论④正确，
综上所述，四个结论都正确．
故选：D．
由角平分线的性质得DE=DF，全等三角形的判定与性质得BE=CF，邻补角的定义和等量代换得∠ABD+∠C=180°，全等三角形的性质和线段的和差得AB+AC=2AE.综合所述四个结论都正确．
本题综合考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，邻补角的定义，等量代换和线段的和差等相关知识，重点掌握角平分线的性质和三角形全等的判定与性质．
5.【答案】B
【解析】根据已知图形，利用分割与组合的原理对图形进行分析即可得到答案．
6.【答案】D
【解析】解：在△ABE和△ACD中，
∠AEB=∠ADC∠A=∠AAB=AC，
∴△ABE≌△ACD(AAS)，故①正确；
∴∠ABE=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EBC=∠DCB，
∴BF=CF，故②正确；
∴F点在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，
∴A点在BC的垂直平分线上，
∴直线AF是BC的垂直平分线，
即AF所在的直线为△ABC的对称轴，故③正确；
④若AD=BD，则S△ACD=S△BCD，
在△BDF和△CEF中，
∠ABE=∠ACDBF=CF∠DFB=∠EFC，
∴△BDF≌△CEF(ASA)，
∴S△BDF=S△CEF，
∴S四边形ADFE=S△BFC，故④正确．
故选：D．
可利用AAS证明①；由全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得∠EBC=∠DCB，进而可证明②；利用线段垂直平分的判定可得AF是BC的垂直平分线，进而可判定③；利用三角形的中线的性质可得S△ACD=S△BCD，再证明△BDF≌△CEF可得S△BDF=S△CEF，进而可证明④．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：对于直线y=23x+2，令x=0，得到y=2，即B(0,2)，OB=2，
令y=0，得到x=−3，即A(−3,0)，OA=3，
过C作CM⊥x轴，可得∠AMC=∠BOA=90°，
∴∠ACM+∠CAM=90°，
∵△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，
∴∠CAM+∠BAO=90°，
∴∠ACM=∠BAO，
在△CAM和△ABO中，
∠AMC=∠BOA=90°∠ACM=∠BAOAC=BA，
∴△CAM≌△ABO(AAS)，
∴AM=OB=2，CM=OA=3，即OM=OA+AM=3+2=5，
∴C(−5,3)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B(0,2)，
∴b=2−5k+b=3，
解得k=−15b=2．
∴过B、C两点的直线对应的函数表达式是y=−15x+2．
故选：B．
过C作CM垂直于x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及AC=AB，利用AAS得到三角形ACM与三角形BAO全等，由全等三角形对应边相等得到CM=OA，AM=OB，由AM+OA求出OM的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过B、C两点的直线对应的函数表达式．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股数，数式规律问题，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
依据每列数的规律，即可得到a=n+12−1，b=2n+1，c=n+12+1，(n为正整数)，进而得出x+y的值．
【解答】
解：由题可得，3=22−1，4=2×2，5=22+1，
8=32−1，6=2×3，10=32+1，
15=42−1，8=2×4，17=42+1，
24=52−1，10=2×5，26=52+1，
……
∴a=n+12−1，b=2n+1，c=n+12+1，(n为正整数)
∴当c=n+12+1=65时，n=7，
∴x=(7+1)2−1=63，y=2×(7+1)=16，
∴x+y=79，
故选：C．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面展开−最短路径问题，勾股定理以及分类讨论的思想．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”分三种情况讨论即可得出结果．
【解答】
解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，分三种情况进行讨论：
(1)如图，BD=10+5=15，AD=20，
由勾股定理得：AB=AD2+BD2=152+202=625=25．
(2)如图，BC=5，AC=20+10=30，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=52+302=925=537．
(3)只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=BD2+AD2=102+252=529；
由于25<529<537，
所以需要爬行的最短距离是25．
10.【答案】C
【解析】解：如图所示，连接BE，过D作DG⊥AC于G，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=4，
∴由勾股定理得AB=45，
由折叠可得，△ADE与△A′DE全等，
∵△DEF的面积是△ADE面积的一半，
∴△DEF的面积是△A′DE面积的一半，且DF=12AD，
∴F是A′E的中点，
又∵D是AB的中点，
∴DF=12AD=12BD，即F是BD的中点，
又∵∠A′FD=∠EFB，
∴△A′DE≌△EBF(SAS)，
∴A′D=BE=AD=25，
又∵∠C=90°，
∴Rt△BCE中，CE=BE2−BC2=20−16=2，
∵DG//BC，D是AB的中点，
∴G是AC的中点，即CG=12AC=4，
∴EG=CG−CE=4−2=2，DG=12BC=2，
∴Rt△DEG中，DE=DG2+EG2=4+4=22，
故选：C．
连接BE，过D作DG⊥AC于G，先判定△A′DE≌△EBF(SAS)，即可得出A′D=BE=AD=25，再根据勾股定理求得CE的长，进而得出EG和DG的长，再根据勾股定理即可得到DE的长．
本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查的是等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，轴对称的性质，轴对称变换的有关知识，连接BD，AE，证出△CBD是等边三角形得到BD=BC=8，然后利用特殊角的三角函数值求出AB，再利用等腰三角形的判定及性质得到AE=CE，最后利用勾股定理进行求解即可．
【解答】
解：如图，连接BD，AE，
∵∠C=60°，BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=CD=8，∠CBD=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD=90°−60°=30°，
∴AB=BDcos30°=8×32=43，
∵将四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，
∴△CEA是等腰三角形，CE=AE，
∵CE=BC−BE，
∴AE=BC−BE=8−BE，
在Rt△ABE中AE2=BE2+AB2，
∴(8−BE)2=BE2+432，
解得：BE=1．
故选A．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质定理及等腰三角形的判定等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
过点E作EG⊥AB于点G，由EG⊥AB，CD⊥AB，可得EG // CD，由平行线的性质可得∠GEB=∠EFC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB的值；由HL判定Rt△EBC≌Rt△EBG，由全等三角形的性质可得∠CEB=∠EFC及AG的值，进而可判定CF=CE.设CF=EG=EC=x，则AE=3−x，在Rt△AEG中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即为CF的长．
【解答】
解：过点E作EG⊥AB于点G，如图：
∵CD⊥AB于D，
∴EG // CD，
∴∠GEB=∠EFC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴EC⊥CB，
又∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，
∴EG=EC．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5．
在Rt△EBC和Rt△EBG中，
EB=EBEC=EG，
∴Rt△EBC≌Rt△EBG(HL)，
∠CEB=∠GEB，BG=BC=4，
∴∠CEB=∠EFC，AG=AB−BG=5−4=1，
∴CF=CE．
设CF=EG=EC=x，则AE=3−x，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：
(3−x)2=x2+12，
解得x=43
∴CF的长是43．
故选：B．
13.【答案】3或92
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．
分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
【解答】
解：设点P运动的时间为t秒，则BP=3t，CP=8−3t，
∵∠B=∠C，
∴①当BE=CP=6，BP=CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，6=8−3t，
解得t=23，
∴BP=CQ=2，
此时，点Q的运动速度为2÷23=3厘米/秒；
②当BE=CQ=6，BP=CP时，△BPE与△CPQ全等，
此时，3t=8−3t，
解得t=43，
∴点Q的运动速度为6÷43=92厘米/秒；
故答案为3或92．
14.【答案】8
【解析】解：以C点为坐标原点，AC为x轴，BC为y轴，建立平面直角坐标系，则A点的坐标为(12,0)，B点的坐标为(0,12)，D点的坐标为(0,−4)．
∴直线AB的解析式为y=−x+12，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴12k+b=0b=−4，
解得k=13b=−4，
∴直线AD的解析式为y=13x−4，
∵PQ//AD，
∴可设直线PQ的解析式为y=13x+m，则P(0,m)(0
解得：x=34(12−m)，
∴Q(34(12−m),13x+m)，
∴S△APQ=S△ABC−S△BPQ−S△ACP=12×12×12−12(12−m)×34(12−m)−12×12m=−38(m−4)2+24，
∴m=4时，△APQ的面积最大，
∴BP=12−4=8．
以C点为坐标原点，AC为x轴，BC为y轴，建立平面直角坐标系，则A点的坐标为(12,0)，B点的坐标为(0,12)，D点的坐标为(0,−4).利用待定系数法求出直线AB、AD的解析式，根据两直线平行可得直线PQ的解析式为y=13x+m，则P(0,m)(0
15.【答案】②③
【解析】解：由折叠的性质，∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=∠3=45°，
∴∠3+∠B=90°，
故选项③正确；
设∠ADE=∠FED=α，∠AED=∠FED=β，
∴∠1+∠ADE+∠FED=∠1+2α=180°①，∠2+∠AED+∠FED=∠2+2β=180°②，∠A+α+β=180°，
∴①+②，得∠1+2α+∠2+2β=∠1+∠2+2(α+β)=360°，
∴∠1+∠2=90°，
故选项②正确；
∵∠1+∠2=90°，
∠1与∠2不一定相等，
∴选项①不一定正确；
∵点F在BC边上，不固定，DF与AB不一定平行，
∴选项④不一定正确；
故答案为：②③．
由折叠性质可得∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，再由等腰直角三角形性质得∠A=∠B=∠3=45°，即可得到∠3+∠B=90°；设∠ADE=∠FED=α，∠AED=∠FED=β，可得∠1+∠ADE+∠FED=∠1+2α=180°①，∠2+∠AED+∠FED=∠2+2β=180°②，∠A+α+β=180°，即可推导出∠1+∠2=90°；∠1与∠2不一定相等，DF与AB不一定平行，即可确定答案．
本题考查了折叠的性质，平行线的判定，三角形内角和定理等知识，正确的识别图形是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：根据题意，得DE垂直平分AB，则AE=BE．
得∠A=∠ABE
根据折叠，得∠ABE=∠CBE
再根据直角三角形的两个锐角互余得∠A=∠ABE=∠CBE=30°
∴CE=12BE=2
则AC=4+2=6．
运用线段垂直平分线的性质得∠A=∠ABE，根据折叠的性质得∠ABE=∠CBE，然后根据直角三角形的性质计算．
此题综合了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，所以学生学过的知识要系统．
17.【答案】(1)证明：∵在△ABC与△ADE中，
AB=AD∠B=∠DBC=DE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE；
(2)①在△ABC中，∠BAC=90°，
由勾股定理，得AC=BC2−AB2=202−162=12，
∵AD=AB=16，而PD=AD−AP=16−AP，
∴当AP⊥BC时，AP最小，PD最大，
此时，S△ABC=12BC⋅AP=12AB⋅AC，
即12×20×AP=12×16×12，
解得，AP=485，
∴PD的最大值为：16−485=325；
②如图，∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
设∠BAP=α，则∠PAC=90°−α，∠PCA=54°，
∵I为△APC的内心，
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC=12∠PAC，∠ICA=12∠PCA，
∴∠AIC=180°−(∠IAC+∠ICA)
=180°−12(∠PAC+∠PCA)
=180°−12(90°−α+54°)
=12α+108°，
∵0°<α<90°，
∴108°<12α+108°<153°，
即108°<∠AIC<153°，
∴m=108，n=153．
【解析】(1)通过全等三角形的判定定理“边角边”证△ABC≌△ADE，推出∠BAC=∠DAE，可进一步推出∠BAD=∠CAE；
(2)①在△ABC中，由勾股定理，求得AC的长，当AP⊥BC时，AP最小，PD最大，由面积法求出AP的长，即可求出PD的最大值；
②如图，由已知可推出∠BAC=90°，设∠BAP=α，则∠PAC=90°−α，∠PCA=54°，推出∠AIC=12α+108°，因为0°<α<90°，可推出108°<∠AIC<153°，即可写出m，n的值．
本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，三角形的内心，三角形的内角和定理等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用三角形的内角和定理等．
18.【答案】解：(1)D.理由如下：
显然，点C在y轴上，不可能为点A的等垂点，
对于点B，AB的垂直平分线为直线y=1，此时，AE=BE，但∠AEB≠90°，故点B不是点A的等垂点；
对于点D，点A，D关于y轴对称，故当取点(0,2)或(0,−2)时，满足等垂点的定义，故D是点A的等垂点；
(2)①如图，当点A′在x轴上方时，过点A′作y轴的垂线，交于点G，
∵∠A′FA=90°，
∴∠A′FG+∠AFO=90°，
又∵∠AFO+∠OAF=90°，
∴∠A′FG=∠FAO，
又∵A′F=AF，∠A′GF=∠AOF，
∴△AOF≌△FGA′(AAS)，
∴GF=OA=2，A′G=OF，
设A′G=OF=a，则A′(a,a+2)，代入y=2x−1得：a+2=2a−1，解得：a=3，
∴A′(3,5)；
②当点A′位于x轴下方时，过点H作x轴的平行线，分别过点A，A′作x轴的垂线，与过点H且与x轴平行的直线分别交于点M，N，则HM=OA=2，
∵∠AHA′=90°，
∴∠AHM+∠A′HN=90°，
又∵∠AHM+∠MAH=90°，
∴∠A′HN=∠MAH，
又∵∠N=∠M=90°，AH=A′H，
∴△A′HN≌△HAM(AAS)，
∴A′N=HM=2，NH=AM，
设NH=AM=b，则A′(−b,b−2)，代入y=2x−1得：b−2=−2b−1，解得：b=13，
∴A′(−13,−53)；
综上，A′的坐标为(3,5)或(−13,−53)；
(3)y=x+2或y=−x−2.理由如下：
由(2)得：①当点A′在x轴上方时，A′(a,a+2)，在直线y=x+2上；
②当点A′在x轴下方时，A′(−b,b−2)，在直线y=−x−2上，
综上，该一次函数的解析式为y=x+2或y=−x−2．
【解析】本题主要考查一次函数、新定义问题、全等三角形的判定与性质等知识点．
(1)根据定义逐项判断即可；
(2)分①当点A′在x轴上方时，②当点A′位于x轴下方时，两种情况讨论即可；
(3)根据(2)判断即可．
19.【答案】解：(1)∵AB//CD，
∴∠BEF=∠EFC，
∵∠FEG=30°，
∴∠EFC=∠1+30°，
∵∠2+∠EFC+90°=180°，∠2=2∠1，
∴2∠1+∠1+30°+90°=180°，
解得∠1=20°；
(2)过G点作GM//AB，
∴∠AEG+∠EGM=180°，
∵AB//CD，
∴MG//CD，
∴∠MGF+∠CFG=180°，
∴∠AEG+∠EGM+∠MGF+∠CFG=360°，
即∠AEG+∠EGF+∠CFG=360°，
∵∠EGF=60°，
∴∠AEG+∠CFG=300°．
∵∠AEG=α，∠CFG=β，
∴α+β=300°．
【解析】(1)由平行线的性质可得∠EFC=∠1+30°，再根据平角的定义可求解；
(2)过G点作GM//AB，则MG//CD，利用平行线的性质可得∠AEG+∠EGF+∠CFG=360°，结合∠EGF=60°可求解．
本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，
对于一次函数y=14x+1，
令x=0，则y=1;
令y=0，则14x+1=0，即x=−4，故B0,1,A−4,0，
∴OA=4,OB=1，
∵∠ADC=∠BOA=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD+∠BAO=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB，
在△ADC和△BOA中，
∠ADC=∠BOA,∠ACD=∠BAO,AC=BA,
∴△ADC≌△BOA(AAS)，
∴CD=OA=4，AD=BO=1，
∴OD=OA+AD=5，
∴C(−5,4)；
(2)存在点E，使得|EC−EB|的值最大．
∵E是x轴上的一个动点，
∴|EC−EB|≤BC，
∴当点E在CB的延长线与x轴的交点上时，|EC−EB|=BC，此时|EC−EB|的值最大，
如图2，延长CB交x轴于点E，设直线CB的解析式为y=kx+b，
∵B(0,1)，C(−5,4)，
∴b=1,−5k+b=4,解得k=−35,b=1,
∴直线CB的解析式为y=−35x+1．
当y=0时，−35x+1=0，解得x=53，
∴E(53,0)；
(3)点Q的坐标为(−3,−4)，(−1,5)，(1,−3)．
【解析】本题主要考查一次函数与等腰直角三角形的综合，用待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质等知识，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键，注意分类讨论．
(1)过点C作CD⊥x轴于点D，通过证明△ADC≌△BOA，求得线段OD，CD的长度即可得出结论；
(2)延长CB，交x轴于点E，则此时|EC−EB|的值最大，利用待定系数法求得直线BC的解析式，令y=0即可求得点E的横坐标；
(3)分三种情况，分别过点Q作x、y轴的垂线，通过全等三角形的性质求出点Q到x、y轴的垂线段的长，即得点Q的坐标．
解：(3)如图3，△ABC≌△ABQ1≌△BAQ2≌△BAQ3，过点Q1作Q1F⊥x轴于点F，
过点Q2作Q2G⊥y轴于点G，过点Q3作Q3H⊥y轴于点H，
易证△ABO≌△Q1AF≌△BQ2G≌△BQ3H，
∴OA=FQ1=GB=HB，OB=FA=GQ2=HQ3，
由(1)可知OA=4，OB=1，
∴OA=FQ1=GB=HB=4，OB=FA=GQ2=HQ3=1，
∴Q1(−3,−4)，Q2(−1,5)，Q3(1,−3)，
综上所述，点Q的坐标为(−3,−4)，(−1,5)，(1,−3)，
故答案为：Q的坐标为(−3,−4)，(−1,5)，(1,−3)．
21.【答案】解：(1)令x=0，y=6，
令y=0，x=8，
点A(8,0)，点B(0,6)，
A(8,0)，点B(0,6)
(2)联立y=54xy=−34x+6,
解得：x=3y=154,
∴C为3,154，
∴S△AOC=12×8×154=15，
∴S△BCP=12×BP×(yP−yC)=12×BP×(6−154)=15，
解得：BP=403，
∴P(403,6)或−403,6；
(3)设点E(m,54m)、点P(n,6)；
①当∠EPA=90°时，点P在点E的左侧时，如图1，
∵∠MEP+∠MPE=90°，∠MPE+∠NPA=90°，
∴∠MEP=∠NPA，AP=PE，
∵∠EMP=∠PNA=90°，
∴△EMP≌△PNA(AAS)，
则ME=PN=6，MP=AN，
即m−n=6，54m−6=8−n，
解得：m=809，54m=1009，
故点E(809,1009)；
当点P在点E的右侧时，如下图，
同理可得△AMP≌△PNE，
则NE=PM=6，NP=AM，
即m+6=n，54m−6=n−8，
解得：m=16，54m=20，
故点E(16,20)；
②当∠EAP=90°时，
当点P在点E左侧时，如图2，
同理可得：△AMP≌△ENA，
则AN=PM=6，EN=AM，
m−8=6，54m=8−n，
解得：m=14，54m=352，
故点E(14,352)；
当点P在点E的右侧时，如图3，
同理可得：△AMP≌△ANE(AAS)，
故MP=EN，AM=AN=6，
即54m=n−8，8−m=6，
解得：m=2，54m=52，
故点E(2,52).
综上，E(809,1009)或(16,20)或(14,352)或(2,52).
【解析】此题主要考查一次函数的性质，三角形全等，三角形的面积计算等知识，难度较大，其中(3)要注意分类讨论，避免漏解．
(1)根据一次函数y=−34x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，分别令x=0，y=0即可解答；
(2)首先求出点C的坐标，然后根据三角形的面积公式即可解答；
(3)分∠EPA=90°、∠EAP=90°两种情况，分别求解即可．
22.【答案】解：(1)∵点C(1,m)在直线y=2x上，
∴m=2，
∴点C(1,2)，
设直线AB解析式为y=kx+b，
则2k+b=0k+b=2,
解方程组得：k=−2b=4,
∴直线AB解析式为y=−2x+4，
∵对于y=−2x+4，当x=0时，y=4，
∴B(0,4)，
∴直线AB解析式为y=−2x+4，B(0,4)；
(2)分别过点C，M作CD⊥y轴于点D，ME⊥y轴于点E，
∵B(0,4)，
∴OB=4，
∵C(1,2)，
∴CD=1，
∴S2=12OB·CD=12×4×1=2，
∴S1=12S2=1，
∴12OB·ME= 12×4ME=1，
∴ME=12，
∴点M的横坐标为12，
①当点M在OC上时，对于y=2x，当x=12时，y=1，
∴M(12,1)，
②当点M在BC上时，对于y=−2x+4，当x=12时，y=3，
∴M(12,3)，
综上所述，点M的坐标为(12,1)或(12,3)；
(3)点P坐标为(2,5)或(3,3)或(32,72).
【解析】
【分析】
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及等腰直角三角形的判定，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积以及等腰直角三角形的判定是解题的关键．
(1)求出C的坐标，进而根据待定系数法求一次函数解析式即可求解；
(2)求出S1与S2，进而求出ME，即可求解；
(3)根据等腰直角三角形的判定，找到P的位置，进而求解即可，注意分类讨论．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)①当∠BCP=90°且BC=CP时，如图1，过点C作CF⊥y轴，交于点F，过点P作PQ⊥CF，交FC延长线于点Q，
∵△PBC是等腰直角三角形，∠BCP=90°，BC=CP，
∴∠BCF=∠CPQ，
在△BFC与△CQP中，
∠BFC=∠CQP=90°∠BCF=∠CPQBC=CP,
∴△BFC≌△CQP(AAS)，
∴CF=PQ=1，BF=CQ=4−2=2，
∴点P坐标为(3,3)；
②当∠PBC=90°且BP=BC时，如图2，过点C作CF⊥y轴，交于点F，过点P作PQ⊥y轴，交于点Q，
同理，可证：∴△BFC≌△PQB，
∴CF=BQ=1，BF=PQ=2，
∴点P坐标为(2,5)；
③当∠BPC=90°且BP=CP时，如图3，过点P作PQ平行y轴交FC延长线于点G，作BQ⊥PQ交于点Q，
同理，可证：∴△BQP≌△PGC，
设P(a,n)，
∴BQ=PG=FG=a，PQ=CG，BF=QG，
∴1+CG=a，a+CG=2，
解得：CG=12，a=32，
∴点P坐标为(32,72)；
综上，当点P坐标为(2,5)或(3,3)或(32,72)，△PBC是等腰直角三角形 ．
故答案为P(2,5)或(3,3)或(32,72).
23.【答案】解：(1)如图，
∵AB=12 cm，点D是AB的中点，
∴AD=12AB=6cm，
∵AC=BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
在Rt△ADC中，CD=AC2−AD2=102−62=8cm；
(2)当△APD为直角三角形时，有两种情况，分别为：
①如图，当∠APD=90∘时，即点P在AC边上，
由S△ACD=12AC⋅DP=12AD⋅CD，得DP=6×810=4.8cm，
在Rt△APD中，AP=AD2−PD2=62−4.82=3.6cm，
∴t=3.62=1.8(秒)，
②当∠ADP=90∘时，点P与点C重合如图，
此时，t=102=5(秒)，
∴当t为1.8秒或5秒时，△ADP是直角三角形；
(3)当t=2.5或3或3.6或6.4秒时，△ADP是等腰三角形．
【解析】
【分析】
本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形面积的应用，解决问题的关键是作辅助线，根据同一三角形的面积相等进行计算．解题时注意方程思想和分类思想的运用．
(1)根据题意，运用等腰三角形的性质，求得AD的长，再根据勾股定理求得CD的长即可；
(2)分两种情况进行讨论：当DP⊥AC时，△ADP是直角三角形，由面积法求出PD长，再根据勾股定理求出AP长，即可得出t的值；当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，此时P点与C点重合，根据时间=路程÷速度求解即可；
(3)分四种情况进行讨论：当PA=PD时，当AP=AD时，当AD=PD时，点P在AC或BC上时，分别作辅助线，求得t的值即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)分四种情况：
由(2)得△ACD的AC边上的高为4.8cm，
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=12AD=3cm，
∵PE=AP2−AE2，S△PAD=12AP⋅4.8=12AD⋅PE，
∴AP2·4.82=AD2·(AP2−AE2)，
解得AP=5，
∴t=5÷2=2.5；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，
∴t=6÷2=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=12AP=t，
∵FD=4.8cm，
∴AD2−AF2=FD2=4.82，
解得AF=3.6，AP=7.2，
即：t=7.2÷2=3.6；
④如图所示，当点P在BC上，AD=PD=6cm时，过D作DG⊥BC，
∵AC=BC，点D是AB的中点，
∴△BCD的BC边上的高也是4.8cm，且△BDP也是等腰三角形，BD=PD=6cm，
∴BP=2×62−4.82=7.2cm，
∵AC+CP=AC+BC−BP，即2t=10+10−7.2，
解得：t=6.4，
综上所述，当t=2.5或3或3.6或6.4秒时，△ADP是等腰三角形．
24.【答案】解：过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45∘，DH⊥AC，DE=2，
∴EH=DH，
∵EH2+DH2=ED2，
∴EH2=1，
∴EH=DH=1，
又∵∠DCE=30°，
∴DC=2，HC=3，
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=22，
∴AB=AE=2，
∴AC=2+1+3=3+3，
∴S四边形ABCD=12×2×3+3+12×1×3+3=33+92．
【解析】此题主要考查的是勾股定理，根据已知条件构造出直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键.利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．
25.【答案】解：(1)DE2=BD2+EC2；
(2)关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．
证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE
∴△AFD≌△ABD，
∴AF=AB，FD=DB，
∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，
又∵AB=AC，
∴AF=AC，
∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，
∠EAC=∠BAC−∠BAE=90°−(∠DAE−∠DAB)=45°+∠DAB，
∴∠FAE=∠EAC，
又∵AE=AE，
∴△AFE≌△ACE，
∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°−∠ABC=135°
∴∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°，
∴在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，
即DE2=BD2+EC2；
解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB.连接DT．
∴∠ABT=∠C=45°，AT=AE，∠TAE=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠TBC=∠TBD=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAT=∠DAE，
∵AD=AD，
∴△DAT≌△DAE(SAS)，
∴DT=DE，
∵DT2=DB2+EC2，
∴DE2=BD2+EC2；
(3)当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
如图，与(2)类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，
可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
∴AD=DF，EF=BE．
∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．
若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，
∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．
【解析】(1)DE2=BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE=∠AFD−∠AFE=135°−45°=90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；
(2)根据(1)的思路一样可以解决问题；
(3)当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与(1)类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD=DF，EF=BE.由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°，这样就可以解决问题．
此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．
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