苏科版初中数学九年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）

苏科版初中数学九年级上册期中测试卷

考试范围：第一 二章 考试时间 ：120分钟  总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知，是关于的一元二次方程的两实数根，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式每两个队之间都要比赛一场，计划安排场比赛，则参赛的足球队个数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.实数，，满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.平面上有四个点，过其中任意个点一共能确定圆的个数为(    )

A. 或或 B. 或或 C. 或或或 D. 或或

6.如图，半圆的直径，弦，弦平分，的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

8.在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆上有且仅有两点到轴所在直线的距离等于，则圆的半径的取值范围是                                                        
 (    )

A.  B.  C.  D.

9.下列说法中正确的说法有个(    )
到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；
长度相等的两条弧是等弧；
相等的圆心角所对的弧相等；
平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
圆周角的度数等于圆心角的一半；
直径所对的圆周角是直角．

A.  B.  C.  D.

10.如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

11.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

12.若关于的方程的两根互为相反数，则的值为
(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为        ．

14.如图，在正六边形中，，点在边上，且若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是          ．

 

15.一个等腰三角形的底边长是，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是______．

16.在中，，，若点在内部含边界且，则所有满足条件的组成的区域的面积为          ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

如图，中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．
如果点、，分别从、同时出发，那么几秒后，的面积等于？
如果点、，分别从、同时出发，那么几秒后，的长度等于？

18.本小题分
已知关于的一元二次方程的一根为．
用的代数式表示；
求证：关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根．

19.本小题分

如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点处甲沿着喀什路以的速度由西向东走，乙沿着北京路以的速度由南向北走当乙走到点以北处时，甲恰好到点处若两人继续向前行走，求两个人相距时各自的位置．

20.本小题分
【问题呈现】阿基米德折弦定理：
如图，和是的两条弦即折线是圆的一条折弦，，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．

证明：如图，在上截取，连接、、和．
是的中点，
又
≌
又
即
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：
______，
______，
______；
【理解运用】如图，、是的两条弦，，，点是的中点，于点，则______；
【变式探究】如图，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为，求长．

21.本小题分

如图，在正方形中，，动点从点出发向点运动，同时动点从点出发向点运动，点、运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段、相交于点，求线段的最小值．

22.本小题分
已知：如图，，是以为直径的上的两点，分别连接、、、、，且，求证：．

23.本小题分

如图，、、、四点在上，延长，交于点，且．

若．

求证：；

当时，求的度数用含的代数式表示．

若的半径为．

在的条件下，求的长；

直接写出的最大值．

24.本小题分
商场购进某种新商品的每件进价为元，在试销期间发现，当每件商品的售价为元时，每天可销售件；当每件商品的售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件，据此规律，请回答下列问题．
当每件商品的售价为元时，每天可销售______件商品，商场每天可盈利______元；
设销售价定为元时，商品每天可销售______件，每件盈利______元；
在销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少时，商场每天盈利达到元．

25.本小题分

如图，有长为米的篙笆，一面利用墙，若墙的最大可用长度为米围成间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圆时，在上用其他材料造了宽为米的两个小门．
设花圃的宽为米，用含的代数式表示 ______ ；
此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长、宽各是多少米？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，是关于的一元二次方程的两实数根，
，，
．
方程有两个实数根，
，
，
．
故选：．
由根与系数的关系可得出、，将其代入中可得出
，由方程有两个实数根结合根的判别式可求出的取值范围，再根据配方法即可得出的最小值．
本题考查了根与系数的关系、根的判别式，根据根与系数的关系找出是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：设共有个球队参赛，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
共有个球队参赛．
故选：．
设共有个球队参赛，利用计划安排比赛的总场数参赛队伍个数参赛队伍个数，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：设一元二次方程为
当时，原方程化为
所以一元二次方程为有实数根，
所以．
故选：．
根据根的判别式，一元二次方程有实数根时，．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是用特殊值法．

4.【答案】 

【解析】解：关于的方程有实数根，
，
解得，
故选：．
根据一元二次方程有实数根，列不等式求解即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查确定圆的条件，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆：当四点共圆时，只能作一个圆当三点在同一直线上时，可以作三个圆当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆，由此即可解决问题．【解答】
解：如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．

故选C．

6.【答案】 

【解析】解：连接，，相交于点，连接，

是半的直径，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
在中，，
在中，，
故选：．
连接，，相交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，再利用角平分线的定义和圆周角定理可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用垂径定理可得，进而可得是的中位线，再利用三角形的中位线定理可得，从而求出的长，最后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：四边形为圆的内接四边形，
，，
，
为的直径，
，
在中，，，
点为的中点，
，
，，
点坐标为．
故选：．
先利用圆内接四边形的性质得到，再根据为的直径，点为的中点，接着利用含度角的直角三角形三边的关系得到，，所以，，然后利用线段的中点坐标公式得到点坐标．

8.【答案】 

【解析】【分析】
根据题意可知，本题其实是利用圆与直线和直线之间的位置关系来求得半径的取值范围，根据相离时半径小于圆心到直线的距离，相交时半径大于圆心到直线的距离即可求得的范围．
【解答】
解：根据题意可知到轴所在直线的距离等于的点的集合分别是直线和直线，
若以点为圆心，为半径的圆上有且仅有两点到轴所在直线的距离等于，
那么该圆与直线必须是相离的关系，与直线必须是相交的关系，
的取值范围是，
即．
故选D．

9.【答案】 

【解析】解：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，正确，符合题意；
同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，错误，不符合题意；
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，错误，不符合题意；
平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，错误，不符合题意；
同圆或等圆中，同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，错误，不符合题意；
直径所对的圆周角是直角，正确，符合题意．
故正确的是，
故选：．
根据圆相关定义，垂径定理，圆周角定理，逐项分析判断即可求解．
本题考查了圆相关定义，垂径定理，圆周角定理，掌握圆的相关性质定理是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：连接、、，交于，如图，

的内切圆与，，分别相切于点，，，
平分，，，，
设，
，，，
，，
，
，
解得：，
．
，，
设的半径为，
由海伦公式得：，其中，
由三角形内切圆可知：，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，
．
故选：．
连接、、，交于，设，然后根据切线长定理可得的值，设的半径为，由海伦公式得：，其中，由三角形内切圆可知：，可得，然后根据，进而可以解决问题．
本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理以及三角形面积，解决本题的关键是掌握三角形内心定义．

11.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

12.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，利用根与系数的关系得到，解方程得到或，然后利用方程有无实数解确定的值．
【解答】
解：根据题意得，解得或，
而时，原方程化为，方程没有实数解，
所以的值为．
故选B．

13.【答案】 

【解析】解：有一个根是，
，
解得，
故答案为：．
把方程的根代入方程即可求解．
本题考查方程的解的问题，解题关键是方程的根一定满足方程，代入求解．

14.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了正多边形和圆，掌握正六边形的特点，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．
设正六边形的中心为，过点，作直线交于点，则直线将正六边形的面积平分，直线被正六边形所截的线段是，连接，，过点作于点由正六边形的性质得出，，，进而得出是等边三角形，，由，得出，由，得出，进而求出，，再求出，利用勾股定理求出，即可求出的长度．
【解答】
解：如图，设正六边形的中心为，过点，作直线交于点，则直线将正六边形的面积平分，直线被正六边形所截的线段是，连接，，过点作于点．

六边形是正六边形，，中心为，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
先求出方程的解，再根据三角形的三边关系判断能否组成三角形，再求出即可．
【解答】
解：解方程得：或，
当腰为时，三角形的三边为，，，，此时不符合三角形三边关系，构不成三角形；
当腰为时，三角形的三边为，，，此时符合三角形三边关系，三角形的周长为．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查勾股定理逆定理，扇形面积，直角三角形性质，线段垂直平分线性质等知识点；能够结合条件判断点所在区域是解题的关键．
作，作的垂直平分线交的角平分线于点，作的外接圆弧，圆心为，连接，，，利用，判断出点所在区域，利用扇形的面积减去的面积即可求解．
【解答】
解：如图，作，作的垂直平分线交的角平分线于点，作的外接圆，圆心为，连接，，，

，，，
，
，
，，，
，，
，
点在左侧，
，
点在下侧，
，
，
，
，
，
当点在圆弧上时，，
，
，
，
，
点在圆弧内侧，
，
，
，
为等边三角形，
，，
在中，由勾股定理可得：，
，，
点组成的区域的面积为，
故答案为：．

17.【答案】解：设经过秒以后面积为，根据题意得，
整理得：，
解得：或舍去．
答：秒后的面积等于；
，则，即，舍或．
答：秒后，的长度为． 

【解析】经过秒钟，的面积等于，根据点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，表示出和的长可列方程求解；
利用勾股定理列出方程求解即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，找到关键描述语“的面积等于”，得出等量关系是解决问题的关键．

18.【答案】解：把，代入方程得
，
则；
，
关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根． 

【解析】把，代入原方程就可求出、的关系式；
利用根的判别式，可求具体数值，利用数值来说明方程总有两个不相等的实数根．
本题考查了一元二次方程为常数根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的意义．

19.【答案】解：设经过秒时两人相距，
根据题意得，
去括号得，
即，
化简得，
，
解得，不符合实际情况，舍去，
当时，，．
当两人相距时，甲在点以东处，乙在点以北处．
故当两人相距米时，甲在点以东米处，乙在点以北米处． 

【解析】本题可分别用未知数表示出两人的路程，再根据勾股定理列出方程求出未知数的值．
本题综合考查了方向角，一元二次方程的应用和勾股定理等知识点．要注意的是方向角问题中，南北和西东是垂直的．

20.【答案】相等的弧所对的弦相等  同弧所定义的圆周角相等  有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等   

【解析】【问题呈现】
相等的弧所对的弦相等
同弧所定义的圆周角相等
有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；

【理解运用】，即，即，解得：，
，
故答案为：；

【变式探究】．
证明：在上截去，连接、、、，

是弧的中点，
，．
又
≌
，
又，
，
，
即；

【实践应用】
如图，是圆的直径，所以．

因为，圆的半径为，所以．
已知，过点作于点，
则，
所以．
所以．
如图，同理易得．
所以的长为或．
【问题呈现】：根据圆的性质即可求解；
【理解运用】，即，即，解得：，即可求解；
【变式探究】证明≌，则，，又，则，即可求解；
【实践应用】已知，过点作于点，则，所以如图，同理易得．
此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．

21.【答案】解：由题意，可得，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
点在以为直径的圆弧上，
取的中点，连接，交于，

则，
所以的最小值为． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，属于中档题．
根据题意，进行求解即可．

22.【答案】证明：连接，如图，
，
，，
又，
，
，
． 

【解析】连接，根据平行线的性质得到，，而，所以，则根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

23.【答案】解：
．
，
，
．
，，
．
．
，
．
，，
．
．
．
是的直径，
，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
，
．
过点作于点，如图，

由勾股定理得：
，
，
．
，
，
，
．
．
在中，
，
．
直径是圆中最长的弦，
当为直径时，取最大值，
的半径为，
当时，的最大值为： 

【解析】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的内角和定理，圆的有关性质，过点作于点，构造直角三角形是解题的关键．
利用等腰三角形的性质与圆周角定理得到，结论可得；
利用等边对等角可得，利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求得；通过等量代换得到，利用三角形的内角和定理与等腰三角形的性质可求，最后利用即可求得结论；
先证明是直径，再根据勾股定理得出，即可解答
过点作于点，构造直角三角形，利用勾股定理求得，用已知条件表示出，，通过转化得到，利用直径是圆中最长的弦，得到当为直径时，，取最大值，将代入即可得出结论．

24.【答案】解：        
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每件商品的销售价定为元或元时，商场每天盈利达到元． 

【解析】【分析】
根据“当每件商品的售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件”，即可算出售价为元时的日销售量，再根据总盈利单件盈利销售数量即可求出商场每天的盈利；
根据“当每件商品的售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件”，即可列出售价为元时的日销售量，再根据盈利售价进价即可求出单件盈利；
根据总盈利单件盈利销售数量结合商场每天盈利达到元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据数量关系列式计算；根据数量关系列出代数式；根据总盈利单件盈利销售数量结合商场每天的盈利列出关于的一元二次方程．
【解答】
解：件，
元．
故答案为：；．
设销售价定为元时，商品每天可销售量为件，
每件的利润为元．
故答案为：；．
见答案

25.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：；
，
化简得：，
解得：，．
当时，，符合要求；
当时，，不符合要求，舍去．
长为：米
答：花圃的宽为米，长为米．
设花圃的宽为米，列出长的解析式即可；
由在上用其他材料造了宽为米的两个小门，故长变为，令面积为，解得．
本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出一元二次方程模型并运用一元二次方程解决实际问题，比较简单．