浙教版初中数学八年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析）

这是一份浙教版初中数学八年级上册期中测试卷（困难）（含答案解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙教版初中数学八年级上册期中测试卷
考试范围：第一.二.三章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在△ABC中，∠B=45°，点D在BC边上，CE⊥AD于点E，交AB于点F，FC=AD，若AF=6，BC=8，则AC的长是(    )

A. 52-1 B. 52 C. 35 D. 41
2. 下列命题：①直角三角形两锐角互余；②全等三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角相等：④对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中逆命题是真命题的个数是(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 如图，P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点．有下列结论：①PM=PN恒成立；②OM+ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变．其中正确的个数是(    )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
4. 如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AD=CE，连接AE、BD交于点F，∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG.下列说法：①△ABD≌△CAE；②∠BGE=30°；③∠ABG=∠BGF；④AB=AH+FG；⑤S△AGE：S△BGC=DG：GC，其中正确的说法有(    )

A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
5. 如图，在四边形ABDE中，AB/​/DE，AB⊥BD，点C是边BD上一点，BC=DE=a，CD=AB=b，AC=CE=c.下列结论：①△ABC≌△CDE；②∠ACE=90°；③四边形ABDE的面积是12(a+b)2；④12(a+b)2-12c2=2×12ab；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是(    )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
6. 已知直角三角形两边长x、y满足x2-4+y-22-1=0，则第三边长为(    )
A. 3 B. 13
C. 5或13 D. 3，5或13
7. 2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”(如图)，体现了数学研究的继承和发展，弦图中四边形ABCD与EFGH均为正方形，若AG=BH=CE=DF=a，AF=BG=CH=DE=b，且正方形EFGH的面积为正方形ABCD的面积的一半，则a：b的值为(    )
A. 2-3 B. 2 C. 2 D. 2+3
8. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N.再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于点P.连接AP并延长，交BC于点D.有下列说法： ①线段AD是∠BAC的平分线; ②∠ADC=60∘; ③点D到AB边的距离与DC的长相等; ④S△DAC:S△ABC= 1:3.其中正确结论的个数是(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 方程4x-8+x-y-m=0，当y>0时，m的取值范围是(    )
A. 0 10. 若关于x的不等式组2x+7>4x+1x-k<2的解集为x<3，则k的取值范围为(    )
A. k>1 B. k<1 C. k≥1 D. k≤1
11. 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高(    )
A. 40% B. 33.4% C. 33.3% D. 30%
12. 若数a使得关于x的分式方程ax-1-x-31-x=5有正数解，且使得关于y的不等式组2y-a≥y-112y+a<3有解，那么符合条件的所有整数a的个数为(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，在Rt▵ABC中，∠C=90​∘，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF=45∘，连接EF，当AC=6，BC=8，AB=10时，则▵CEF的周长为__________．
14. 如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：(1)PM=PN恒成立；(2)OM+ON的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN的长不变，其中正确的序号为____．
15. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD是△ABC的角平分线，点E是AC的中点，P是CD上一点，则△AEP周长的最小值是______．


16. 已知不等式组x+1<2ax-b>1的解集是3
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，点E是AC上一点，AE=AB，过点E作DE/​/AB，且DE=AC．
(1)求证：△ABC≌△EAD；
(2)若∠B=76°，∠ADE=32°，∠ECD=52°，求∠CDE的度数．

18. (本小题8.0分)
已知：AB/​/CD，BE、CF分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，O是BC中点，则线段BE与线段CF有怎样的关系？请说明理由．

19. (本小题8.0分)
在△ABC中，已知∠B=50°，∠C=60°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC；求：∠DAE的度数．

20. (本小题8.0分)
将一副三角尺叠放在一起：
(1)如图①，若∠1=4∠2，请计算出∠CAE的度数；
(2)如图②，若∠ACE=2∠BCD，请求出∠ACD的度数．


21. (本小题8.0分)
阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形和全等解决问题．

(1)如图1，B、C、D三点在同一条直线上，等边三角形ABC和等边三角形ECD具有共同的顶点C，我们容易证明△BCE≌△ACD，从而得到BE=________；
(2)如图2，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，若点D在△ABC内，且∠ADC=150°，AD=3，CD=1，以CD为边在它的下方作等边三角形CDE，求BD的长；
(3)如图3，在△ABC中，AC=10，BC=12，点D在△ABC外，位于BC下方，△ABD为等边三角形，当∠ACD=30°时，求CD；
(4)如图4，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=1，BC=2，以AC为直角边，A为直角顶点作等腰Rt△ACD，则BD=____________(直角写出结果)．
22. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上．

(1)如图1，当点E在边BC上时，求证DE=EB；
(2)如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；
(3)如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE/​/AB，交线段AC的延长线于点G，AG=5CG，BH=3.求CG的长．
23. (本小题8.0分)
(1)已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等边△ADE，连接CE.求证：①BD=CE，②∠DCE=120°；
(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE，类比题(1)请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；
(3)如图3，在(2)的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE；
①则题(2)的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；
②连结BE，若BE=10，BC=6，直接写出AE的长。


24. (本小题8.0分)
我市某中学组织部分学生去某地开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．

甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
30
42
租金/(元/辆)
300
400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
(2)①既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师，需租用几辆客车；②求租车费用的最小值．
25. (本小题8.0分)
某商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？
(3)已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利(5-a)元，试问在(2)的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？(商家出售的纪念品均不低于成本价)
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：如图，过A点作AN⊥BC交FC于O点，交BC于N点，过F点作FM⊥BC于M点．

∵∠FCM+∠NOC=90°，∠DAN+∠AOE=90°，且∠NOC=∠AOE，
∴∠DAN=∠FCM．
又∠AND=∠CMF=90°，AD=CF．
∴△ADN≌△CFM(AAS)．
∴AN=MC，DN=FM，
∵∠B=45°，
∠BMF=90°，∠ANB=90°，
∴△BMF和△ANB都是等腰直角三角形，
设BM=FM=a，AN=BN=b，
∴BF=2a，AB=2b，
∵AN=CM，
∴BC=BM+MC=BM+AN=a+b，
∵AF=6，BC=8，
∴AF=AB-BF=2b-2a=6，
BC=a+b=8，
∴2b-2a=6a+b=8，
解得 a=8-322b=8+322，
∴AN=BN=b=8+322，
∴CN=BC-BN=8-8+322=8-322，
在Rt△ANC中，利用勾股定理，得
AC=AN2+NC2=(8+322)2+(8-322)2=41．
故选：D．
过A点作AN⊥BC交FC于O点，交BC于N点，过F点作FM⊥BC于M点．证明△ADN≌△CFM，可得AN=MC，DN=FM，根据∠B=45°，∠BMF=90°，∠ANB=90°，可得△BMF和△ANB都是等腰直角三角形，设BM=FM=a，AN=BN=b，可得AF=AB-BF=2b-2a=6，BC=a+b=8，联立方程组可得a和b的值，再根据勾股定理即可求出AC的长．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，二元一次方程组，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．本题属于中考选择题的压轴题．

2.【答案】C 
【解析】解：①直角三角形两锐角互余逆命题是如果两个角互余那么这个三角形是直角三角形是真命题；
②全等三角形的对应角相等逆命题是对应角相等的两个三角形全等是假命题；
③两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行是真命题：
④对角线互相平分的四边形是平行四边形逆命题是如果平行四边形，那么它的对角线互相平分是真命题；
故选：C．
首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．
本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论．

3.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，解答此题可作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【解答】
解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．

∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，OP=OPPE=PF,

∴△POE≌△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN,
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故③正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确，
MN的长度是变化的，故④错误，
故选B．  
4.【答案】A 
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ACB=∠BAC=60°，
在△ABD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠ACE=60°AD=CE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，故①正确，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
∵∠BFE=∠BAE+∠ABD，
∴∠BFE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°，
∵∠AEC=∠EBF+∠BFE，
∴∠AEC=∠FBE+60°，
∵∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，
∴∠GEC=12∠AEC=12∠FBE+30°，∠GBE=12CBD=12∠FBE，
∵∠GEC=∠GBE+∠BGE，
∴∠BGE=30°，故②正确，
∵FG平分∠DFE，BG平分∠FBE，
∴同法可得∠BGF=12∠AEB=12(∠EAC+∠C)=12∠EAC+30°，
∵∠ABG=∠ABD+∠DBG=∠ABD+12(60°-∠ABD)=12∠ABD+30°，
∵∠ABD=∠EAC，
∴∠ABG=∠BGF，故③正确，
过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，
∵GB平分∠DBC，GE平分∠AEC，
∴GT=GK=GJ，
∵∠GFJ=∠C=60°，∠GJF=∠GKC=90°，
∴△GJF≌△GKC(AAS)，
∴GF=GC，
∵∠BAH+∠EAC=∠EAC+∠AGF=60°，
∴∠BAH=∠AGF，
∵∠AHG=∠ABG+∠BAH，∠AGH=∠BGF+∠AGF，
∴∠AHG=∠AGH，
∴AH=AG，
∴AH+GF=AG+GC=AC=AB，
∴AB=AH+GF，故④正确，
∵S△AEGS△CBG=12⋅AE⋅GJ12⋅BC⋅GK=AEBC，
∵AE=BD，
∴S△AEGS△CBG=BDBC，
∵S△BGDS△BGC=DGGC=12⋅BD⋅GT12⋅BC⋅GK=BDBC，
∴∵S△AEGS△CBG=DGGC，故⑤正确，
故选：A．
①正确．根据SAS证明三角形全等即可．
②正确．证明∠BGE=12∠BFE，∠BFE=60°即可．
③正确．证明∠BGF=30°+12∠EAC，∠ABG=30°+12∠ABD即可．
④正确．过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，想办法证明GF=GC，AH=AG即可．
⑤正确．由题意，S△AEGS△CBG=12⋅AE⋅GJ12⋅BC⋅GK=AEBC，因为AE=BD，推出S△AEGS△CBG=BDBC，又因为S△BGDS△BGC=DGGC=12⋅BD⋅GT12⋅BC⋅GK=BDBC，由此可得结论．
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

5.【答案】A 
【解析】解：∵AB//DE，AB⊥BD，
∴DE⊥BD，
∴∠B=∠D=90°．
在△ABC和△CDE中，
AB=CD∠B=∠D=90°BC=DE，
∴△ABC≌△CDE(SAS)，
∴∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED．
∵∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠DCE+∠ACB=90°．
∵∠DCE+∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠ACE=90°，
故①②正确；
∵AB//DE，AB⊥BD，
∴四边形ABDE的面积是12(a+b)2；
故③正确；
∵梯形ABDE的面积-直角三角形ACE的面积=两个直角三角形的面积，
∴12(a+b)2-12c2=2×12ab，
∴a2+b2=c2．
故④⑤正确．
故选：A．

6.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了绝对值非负性、二次根式的非负性、直角三角形的勾股定理，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0，求出x、y的值是解题的关键.先根据非负数的性质列式求出x、y的值，分4种情况进行讨论，最后利用勾股定理求解．  
【解答】
解：根据题意得，x2-4=0，(y-2)2-1=0， 
解得x=±2，y=3或y=1， 
∵x、y是直角三角形的边长，
∴x=2，y=3或y=1，
分4种情况：
①当2，3是直角三角形的直角边时，
斜边为22+32=4+9=13；
②当2是直角三角形的直角边，3是直角三角形的斜边时，
 第三边为32-22=9-4=5；
③当2，1是直角三角形的直角边时，
斜边为22+12=4+1=5；
④当2是直角三角形的斜边，1是直角三角形的直角边时，
第三边为22-12=4-1=3．
故选D.  
7.【答案】D 
【解析】解：∵AG=BH=CE=DF=a，AF=BG=CH=DE=b，
∴正方形EFGH的面积为(a-b)2，正方形ABCD的面积为(a2+b2)，
∵正方形EFGH的面积为正方形ABCD的面积的一半，
∴(a-b)2=12(a2+b2)，
∴a2-4ab+b2=0，
∴ab-4+ba=0，
设ab=x，
∴x-4+1x=0，
∴x2-4x+1=0，
解得x1=2+3，x2=2-3，
经检验，x1=2+3，x2=2-3是原分式方程的根，
∵a>b>0，
∴ab>1，
∴a：b的值为2+3．
故选：D．
根据题意可得正方形EFGH的面积为(a-b)2，正方形ABCD的面积为(a2+b2)，然后列出方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，正方形的面积，一元二次方程，解决本题的关键是掌握勾股定理．

8.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线的性质、三角形面积、等腰三角形的判定与性质，直角三角形性质和含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．① 根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【解答】
解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
故①正确；
②如图，

∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=12∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
∴点D到AB边的距离与DC的长相等，
故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=12AD，
∴BC=CD+BD=12AD+AD=32AD，S△DAC=12AC⋅CD=14AC⋅AD，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12AC⋅32AD=34AC⋅AD， 
∴S△DAC：S△ABC=14AC⋅AD：34AC⋅AD=1：3. 
故④正确． 
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 
故选D．
  
9.【答案】C 
【解析】解：根据题意得：4x-8=0x-y-m=0，
解方程组就可以得到x=2y=2-m，
根据题意得2-m>0，
解得：m<2．
故选C．
先根据非负数的性质列出方程组，用m表示出y的值，再根据y>0，就得到关于m的不等式，从而求出m的范围．
本题考查了初中范围内的两个非负数，利用非负数的性质转化为解方程，这是考试中经常出现的题目类型．

10.【答案】C 
【解析】解：不等式整理得：x<3x 由不等式组的解集为x<3，
得到k的范围是k≥1，
故选：C．
不等式整理后，由已知解集确定出k的范围即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11.【答案】B 
【解析】解：设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为(1+x)b元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ab元，但在售出时，水果只剩下(1-10%)a千克，售货款为(1-10%)a(1+x)b=0.9a(1+x)b元，根据公式：利润率=(售货款-进货款)÷进货款×100%可列出不等式：
(1-10%)a×(1+x)b⩾(1+20％)ab
解得x≥13≈33.3％，
∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%．
故选B．


12.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，根据分式方程的解为正数结合不等式组有解，找出-2-2且a≠2，根据不等式组有解，即可得：a<73，找出所有的整数，a的个数为3．
【解答】
解：解方程ax-1-x-31-x=5，得：x=a+24，
∵分式方程的解为正数，
∴a+2>0，即a>-2，
又x≠1，
∴a+24≠1，即a≠2，
则a>-2且a≠2，
∵关于y的不等式组2y-a≥y-112y+a<3有解，
∴a-1≤y<6-2a，即a-1<6-2a，
解得：a<73，
综上，a的取值范围是-2 则符合题意的整数a的值有-1、0、1，3个，
故选C．  
13.【答案】4 
【解析】
【分析】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的面积有关知识，如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ=FN，连接PJ.利用全等三角形的性质证明EF=EM+FN，可得结论．
【解答】
解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ=FN，连接PJ．

∵BP平分∠ABC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM=PK，PK=PN，
∴PM=PN，
∵∠C=∠PMC=∠PNC=90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM=PM，
∴∠MPN=90°，
在△PMJ和△PNF中，
PM=PN∠PMJ=∠PNF=90°MJ=NF
∴△PMJ≌△PNF(SAS)，
∴∠MPJ=∠FPN，PJ=PF，
∴∠JPF=∠MPN=90°，
∵∠EPF=45°，
∴∠EPF=∠EPJ=45°，
在△PEF和△PEJ中，
PE=PE∠EPF=∠EPJPF=PJ,
∴△PEF≌△PEJ(SAS)，
∴EF=EJ，
∴EF=EM+FN，
∴△CEF的周长=CE+EF+CF=CE+EM+CF+FN=2CM=2PM，
∵S ​△ABC=12⋅BC⋅AC=12(AC+BC+AB)⋅PM，
∴PM=2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为4．  
14.【答案】(1)(2)(3) 
【解析】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
OP=OPPE=PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
∠MPE=∠NPFPE=PF∠PEM=∠PFN，
∴△PEM≌△PFN，
∴EM=NF，PM=PN，故(1)正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故(3)正确，
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故(2)正确，
∵M，N的位置变化，∴MN的长度是变化的，故(4)错误，
故答案为：(1)(2)(3)
如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F.只要证明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

15.【答案】35+3 
【解析】解：在CB上截取CM=CA，连接DM，交CD于点P，

∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD=∠NCD，
∵CD=CD，
∴△CDA≌△CDM(SAS)，
∴AD=DM，
∴点A、M关于CD成轴对称，
连接ME交CD于P，
此时PA+PE=EM有最小值，最小值35，
∴△AEP周长的最小值是35+3．
故选答案为：35+3．
在CB上截取CM=CA，利用全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质解答即可．
本题考查轴对称-最短问题，关键是利用全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质解答．

16.【答案】x=23 
【解析】解：由x+1<2a，得：x<2a-1，
由x-b>1，得：x>b+1，
∵解集是3 ∴2a-1=5，b+1=3，
解得a=3，b=2，
∴方程为3x-2=0，
解得x=23，
故答案为：x=23．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集可得a、b的值，代入计算可得．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

17.【答案】(1)证明：∵DE//AB，
∴∠BAC=∠AED，
在△ABC和△EAD中，AE=AB∠BAC=∠AEDDE=AC，
∴△ABC≌△EAD(SAS)；

(2)解：∵△ABC≌△EAD，
∴∠B=∠EAD=76°，
由三角形的外角性质得，∠CED=∠EAD+∠ADE=76°+32°=108°，
在△CDE中，∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-108°-52°=20°． 
【解析】(1)根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠AED，再利用“边角边”证明即可；
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠EAD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CED，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．

18.【答案】解：BE=CF，理由如下：
∵AB/​/CD，
∴∠ABC=∠BCD．
∵BE、CF分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，
∴∠EBO=12∠ABC，∠FCO=12∠BCD．
∴∠EBO=∠FCO．
又∠EOB=∠FOC，BO=CO，
∴△BEO≌△CFO(ASA)．
∴BE=CF． 
【解析】根据平行线的性质和角平分线定义证明∠EBO=∠FCO，又∠EOB=∠FOC，BO=CO，所以△BEO≌△CFO，从而得到BE=CF．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，求解线段相等的问题一般是找到与此线段有关的三角形，证明两三角形全等即可．

19.【答案】解：∵在△ABC中，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-50°-60°=70°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=12∠BAC=35°．
∵AE⊥BC于E，
∴∠CAE=90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=35°-30°=5°． 
【解析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由角平分线的定义得出∠CAD的度数，根据AE⊥BC于E求出∠CAE的度数，进而可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

20.【答案】解：(1)因为∠BAC=90°，
所以∠1+∠2=90°，
因为∠1=4∠2，
所以4∠2+∠2=90°，
所以∠2=18°，
又因为∠DAE=90°，
所以∠1+∠CAE=∠2+∠1=90°，
所以∠CAE=∠2=18°；

(2)因为∠ACE+∠BCE=90°，
∠BCD+∠BCE=60°，
所以∠ACE-∠BCD=30°，
又∠ACE=2∠BCD，
所以2∠BCD-∠BCD=30°，
∠BCD=30°，
所以∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°+30°=120°． 
【解析】(1)根据∠BAC=90°列出关于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度数，再根据同角的余角相等求出∠CAE=∠2，从而得解；
(2)根据∠ACB和∠DCE的度数列出等式求出∠ACE-∠BCD=30°，再结合已知条件求出∠BCD，然后根据∠ACD=∠ACB+∠BCD代入数据计算即可得解．
本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

21.【答案】解：(1)AD；

(2)如图2所示：

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD=DE=1，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA-∠BCD=∠ECD-∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△BCE和△ACD中，BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD=3，
∵∠ADC=∠BCE=150°，∠DEC=60°，
∴∠BED=90°，
∴BE2+DE2=BD2，
∴BD=32+12=10；
(3)以CD为边在△ABC的下方作等边三角形CDE，连接AE，如图3所示：

则∠CDE=∠DCE=60°，CD=ED=CE，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=BD，
∴∠ADE=∠BDC，
在△ADE和△BDC中，AD=BD∠ADE=∠BDCED=CD，
∴△ADE≌△BDC(SAS)，
∴AE=BC=12，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE=30°+60°=90°，
∴CD2=CE2=AE2-AC2=122-102=44，
∴CD=44；
 (4)6． 
【解析】
【分析】
本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理，直角三角形的判定等知识；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
(1)证明△BCE≌△ACD(SAS)，即可得出结论；
(2)证明△BCE≌△ACD(SAS)，进一步得到∠BED=90°，利用勾股定理即可得出答案；
(3)以CD为边在△ABC的下方作等边三角形CDE，由等边三角形的性质得出∠CDE=∠DCE=60°，CD=ED=CE，∠ADB=60°，AD=BD，得出∠ADE=∠BDC，证明△ADE≌△BDC(SAS)，得出AE=BC=12，求出∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°，由勾股定理即可得出答案；
(4)关键构造以A为顶点，AB为腰向左作等腰Rt△ABE，有△ABD≌△AEC(SAS)得到直角三角形EBC，用勾股定理即可得出答案．
【解答】
解：
(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=∠CDE=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，
故答案为：AD；
(2)见答案；
(3)见答案；
(4)以A为顶点，AB为腰向左作等腰Rt△ABE，连接CE，

∴有△ABD≌△AEC(SAS)，则BD=CE，
∵∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°，
∴在Rt△EBC中，EB=2，BC=2，
∴BD=EC=(2)2+22=6．
故答案为6．
  
22.【答案】解：(1)证明：∵△CDE是等边三角形，
∴∠CED=60°，
∴∠EDB=60°-∠ABC=30°，
∴∠EDB=∠ABC，
∴DE=EB；
(2)ED=EB，
理由如下：取AB的中点O，连接CO、EO，

∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=60°，OC=OA，
∴△ACO为等边三角形，
∴CA=CO，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠ACD=∠OCE，
在△ACD和△OCE中，
CA=CO∠ACD=∠OCECD=CE，
∴△ACD≌△OCE，
∴∠COE=∠A=60°，
∴∠BOE=60°，
在△COE和△BOE中，
OC=OB∠COE=∠BOEOE=OE，
∴△COE≌△BOE，
∴EC=EB，
∴ED=EB；
(3)取AB的中点O，连接CO、EO、EB，

由(2)得△ACD≌△OCE，△ACO为等边三角形，
∴∠COE=∠A=60°，
∴∠BOE=60°，
△COE≌△BOE，
∴EC=EB，
∴ED=EB，
∵EH⊥AB，
∴DH=BH=3，
∵GE/​/AB，
∴∠G=180°-∠A=120°，
∵∠ECG+∠OCD=∠ODC+∠OCD=60°，
∴∠ECG=∠ODC，
在△CEG和△DCO中，
∠G=∠COD∠ECG=∠ODCCE=CD，
∴△CEG≌△DCO，
∴CG=OD，
设CG=a，则AG=5a，OD=a，
∴AC=OC=4a，
∵OC=OB，
∴4a=a+3+3，
解得，a=2，
即CG=2． 
【解析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
(1)根据等边三角形的性质、三角形的外角的性质得到∠EDB=∠ABC，根据等腰三角形的判定定理证明；
(2)取AB的中点O，连接CO、EO，分别证明△ACD≌△OCE和△COE≌△BOE，根据全等三角形的性质证明；
(3)取AB的中点O，连接CO、EO、EB，根据(2)的结论得到△CEG≌△DCO，根据全等三角形的性质解答．

23.【答案】证明：(1)①如图1，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠ACB=∠B=60°
∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
∴∠BAD=∠EAC
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE
②∵△ABD≌△ACE
∴∠ACE=∠B=60°
∴∠DCE=∠ACE+∠ACB=60°+60°=120°
(2)∠DCE=90°；BD2+CD2=DE2
证明：如图2，
∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴∠ACE=∠B=45°，BD=CE
∴∠ACE+∠ACB=∠B+∠ACB=90°
∴∠BCE=90°
∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2
∴BD2+CD2=DE2
(3)①(2)中的结论还成立。
理由：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴∠ACE=∠ABC=45°，BD=CE
∴∠ACE+∠ACB=∠ABC+∠ACB=90°
∴∠BCE=90°=∠ECD
∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2
∴BD2+CD2=DE2
②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6
∴CE=BE2-BC2=102-62=8
∴BD=CE=8
∴CD=8-6=2
∴Rt△DCE中，DE=CE2+CD2=82+22=68
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=682=34 
【解析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质。
(1)①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出结论；
②由△ABD≌△ACE以及等边三角形的性质，得出∠ACE=∠B=60°，则∠DCE=∠ACE+∠ACB=120°；
(2)先判定△ABD≌△ACE(SAS)，得出∠ACE=∠B=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根据勾股定理得出CE2+CD2=DE2，即可得到BD2+CD2=DE2；
(3)①运用(2)中的方法得出BD2+CD2=DE2；②根据Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得CE=8，进而得出CD=8-6=2，在Rt△DCE中，求得DE=68，最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长。

24.【答案】解：(1)设参加此次研学旅行活动的老师有x名，学生有y名，
依题意，得：17x=y-1218x=y+4，
解得：x=16y=284．
答：参加此次研学旅行活动的老师有16名，学生有284名；
(2)①∵每辆客车上至少要有2名老师，
∴汽车总数不能大于8辆；
∵要保证300名师生有车坐，汽车总数不能小于30042=507(取整为8)辆，
∴需租8辆客车．
②设租用m辆乙种客车，则租用甲种客车(8-m)辆，
依题意，得：400m+300(8-m)≤310042m+30(8-m)≥300，
解得：5≤m≤7(m为整数)．
∵乙种车辆租金高，
∴租用乙种车辆越少，租车费用越低，
∴租用甲种客车3辆，乙种客车5辆时，租车费用最低，最低费用为400×5+300×3=2900(元)．
答：租车费用的最小为2900元． 
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)①由每辆客车上至少要有2名老师及每个学生都有座，确定租车辆数；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
(1)设参加此次研学旅行活动的老师有x名，学生有y名，根据“若每位老师带17个学生，还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)①由每辆车上至少需要2名老师可求出最多租车的辆数，利用租车辆数=师生数÷42(结果利用进一法取整)可求出最少租车辆数，二者结合即可得出结论；
②设租用m辆乙种客车，则租用甲种客车(8-m)辆，由租车总费用不超过3100元及每个学生都有座，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合两种客车租金间的关系可找出租车费用最少的租车方案及租金．

25.【答案】解：(1)设A、B两种纪念品的价格分别为x元和y元，则
8x+3y=955x+6y=80，
解得x=10y=5，
答：A、B两种纪念品的价格分别为10元和5元．

(2)设购买A种纪念品t件，则购买B种纪念品(100-t)件，则
750≤5t+500≤764，
解得50≤t≤2645，
∵t为正整数，
∴t=50，51，52，
即有三种方案．
第一种方案：购A种纪念品50件，B种纪念品50件；
第二种方案：购A种纪念品51件，B种纪念品49件；
第三种方案：购A种纪念品52件，B种纪念品48件； 

(3)第一种方案商家可获利250元；
第二种方案商家可获利(245+2a)元；
第三种方案商家可获利(240+4a)元；
当a=2.5时，三种方案获利相同，
当0≤a<2.5时，方案一获利最多，
当2.5 【解析】(1)设A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，根据购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元和购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元，列出方程组，再进行求解即可；
(2)设商店最多可购进A纪念品t件，则购进B纪念品(100-t)件，根据购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，列出不等式组，再进行求解即可；
(3)根据(2)得出的方案分别求出各个方案的获利，再根据a的取值范围，即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的综合运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．