北师大版高考数学一轮复习第4章第1节平面向量的概念及线性运算课时作业理含解析

第一节 平面向量的概念及线性运算

授课提示：对应学生用书第315页

[A组　基础保分练]

1．如图所示，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝（　　）

A．0　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：由题图知＋＋＝＋＋＝＋＝．

答案：D

2．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于（　　）

A．  B．2

C．3  D．4

解析：＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝2＋2＝4．

答案：D

3．（2021·合肥模拟）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，则（　　）

A．＝12＋3

B．＝12－3

C．＝－12＋3

D．＝－12－3

解析：对于A，＝12＋3＝12（－）＋3（－）＝12＋3－15，整理，可得16－12－3＝0，这与题干中条件相符合．

答案：A

4．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0．若a∥b，则等于（　　）

A．－　　　　　　　 B．

C．－2  D．2

解析：∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ（ne1－e2），则故＝－2．

答案：C

5．（2021·潍坊模拟）若M是△ABC内一点，且满足＋＝4，则△ABM与△ACM的面积之比为（　　）

A．  B．

C．  D．2

解析：设AC的中点为D，则＋＝2，于是2＝4，从而＝2，即M为BD的中点，于是＝＝＝．

答案：A

6．如图所示，在等边△ABC中，O为△ABC的重心，点D为BC边上靠近B点的四等分点．若＝x＋y，则x＋y＝（　　）

A．　　　　　 B．

C．　　　　　 D．

解析：设点E为BC的中点，连接AE（图略），可知O在AE上，由＝＋＝＋＝（＋）＋（－）＝－，故x＝，y＝－，x＋y＝．

答案：B

7．如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB．若用和来表示向量，则＝_________．

解析：易知＝＋＝＋＝＋（－）＝＋．

答案：＋

8．（2021·邯郸模拟）设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝_________．

解析：由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ（a＋2b），即（λ－μ）a＋（1－2μ）b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝．

答案：

9．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．

解析：设＝a，＝b，则＝（a＋b），

＝－＝nb－ma，

＝－＝（a＋b）－ma＝a＋b．

由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，

即nb－ma＝λa＋λb，

则消去λ，得＋＝3．

10．在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上．若c与xa＋yb（x，y为非零实数）共线，求的值．

解析：设e1，e2分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ（xa＋yb），所以e1－2e2＝2λ（x－y）e1＋λ（x－2y）e2，所以所以

所以的值为．

[B组　能力提升练]

1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b．若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．

答案：A

2．（2021·丹东五校协作体联考）P是△ABC所在平面上的一点，满足＋＋＝2，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为（　　）

A．2  B．3

C．4  D．8

解析：因为＋＋＝2＝2（－），所以3＝－＝，所以∥，且方向相同．所以＝＝＝3，所以S△PAB＝＝2．

答案：A

3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于（　　）

A．a＋b  B．a＋b

C．a＋b  D．a＋b

解析：如图所示，＝＋，由题意知，＝a＋b，＝a－b，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，所以＝．所以＝＋＝a＋b＋＝a＋b．

答案：B

4．如图所示，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝（　　）

A．－

B．2－2

C．－

D．2－2

解析：连接CD（图略），因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD，所以＝2＝2（－）＝2－2．

答案：D

5．在△ABC中，＝2，＝＋λ，则λ＝_________．

解析：∵A，D，B共线，∴＋λ＝1，∴λ＝．

答案：

6．（2021·包头模拟）如图所示，在△ABC中，AH⊥BC交BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝_________．

解析：因为＝（＋）＝[＋x（－）]＝[（1＋x）－x]，又因为＝λ＋μ，所以1＋x＝2λ，2μ＝－x，所以λ＋μ＝．

答案：

7．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2．

（1）求证：A，B，D三点共线；

（2）若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．

解析：（1）证明：由已知得＝－＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2．

因为＝2e1－8e2，所以＝2．

又，有公共点B，所以A，B，D三点共线．

（2）由（1）可知＝e1－4e2，且＝3e1－ke2，

由B，D，F三点共线得＝λ，

即3e1－ke2＝λe1－4λe2，

得解得k＝12．

[C组　创新应用练]

1．（2021·郑州模拟）如图所示，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤－．

若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（　　）

A．①②  B．②④

C．①③  D．③⑤

解析：在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA（图略），则＝＋2，其终点不在阴影区域内，排除A，C；取线段OA上一点E，使AE＝OA，作EF∥OB，交AB于点F，则EF＝OB，由于EF＜OB，所以＋的终点不在阴影区域内，排除选项D．

答案：B

2．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D．若AB＝4，且＝＋λ（λ∈R），则AD的长为_________．

解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图所示，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，

因为△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，所以四边形AMDN是菱形，因为AB＝4，所以AN＝AM＝3，AD＝3．

答案：3

3．如图所示，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设＝α＋β（α，β∈R），则α＋β的取值范围是_________．

解析：当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈＝[3，4]．

答案：[3，4]