北师大版高考数学一轮复习第4章第4节数系的扩充与复数的引入课时作业理含解析

第四节 数系的扩充与复数的引入

授课提示：对应学生用书第321页

[A组　基础保分练]

1．（1＋3i）（1－i）＝（　　）

A．4＋2i　　　　　　　 B．2＋4i

C．－2＋2i  D．2－2i

解析：（1＋3i）（1－i）＝1＋3i－i－3i2＝4＋2i．

答案：A

2．复数z满足2＋3i＝zi（其中i是虚数单位），则z的虚部为（　　）

A．2　　　 B．－3　　　　

C．3　　　 D．－2

解析：由2＋3i＝zi可得z＝＝＝3－2i，所以z的虚部为－2．

答案：D

3．已知a＋bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a＋b＝（　　）

A．－1  B．－

C．  D．1

解析：＝＝＝－i＝a－bi，所以a＝0，b＝1，所以a＋b＝1．

答案：D

4．（2021·漳州一检）已知复数z满足z（3＋i）＝3＋i2 020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（　　）

A．－i  B．－ 

C．i  D．

解析：∵i2 020＝（i4）505＝1，∴z＝＝＝－i，∴＝＋i，因此，复数的虚部为．

答案：D

5．（2021·西安模拟）复数z＝2i2＋i5的共轭复数在复平面上对应的点在（　　）

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：因为z＝2i2＋i5＝－2＋i，所以＝－2－i，其在复平面上对应的点为（－2，－1），位于第三象限．

答案：C

6．设复数z满足|z－1－i|＝，则|z|的最大值为（　　）

A．  B．2 

C．2  D．4

解析：复数z满足|z－1－i|＝，故复数z对应的复平面上的点是以A（1，1）为圆心，为半径的圆，|AO|＝（O为坐标原点），故|z|的最大值为＋＝2．

答案：C

7．设复数z满足＝|1－i|＋i（i为虚数单位），则复数z＝_________．

解析：复数z满足＝|1－i|＋i＝＋i，则复数z＝－i．

答案：－i

8．已知复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝_________．

解析：z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，－2），将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5．

答案：－5

9．设复数z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i（i是虚数单位），试求实数m取何值时：

（1）z是纯虚数；

（2）z是实数；

（3）z对应的点位于复平面的第二象限．

解析：（1）由题意可得解得m＝3．

（2）由题意可得解得m＝－1或m＝－2．

（3）由题意可得即解得－1<m<1－或1＋<m<3．

10．（1）复数z＝|（－i）i|＋i2 018（i为虚数单位），求|z|；

（2）定义：＝ad－bc，若复数z满足＝－1－i，求z．

解析：（1）z＝|（－i）i|＋i2 018＝|1＋i|＋i2 016＋2＝2＋i2＝2－1＝1，故|z|＝1．

（2）根据定义，得＝－zi－i＝－1－i，则iz＝1，

∴z＝＝＝－i．

[B组　能力提升练]

1．（2021·成都模拟）已知（1＋i）（1－ai）＞0（i为虚数单位），则实数a等于（　　）

A．－1  B．0 

C．1  D．2

解析：（1＋i）（1－ai）＝（1＋a）＋（1－a）i＞0，所以所以a＝1．

答案：C

2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝（　　）

A．1＋i  B．＋i

C．1＋i  D．1＋i

解析：因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i．

答案：B

3．（2021·咸宁联考）若复数z满足＝1－i，则z的共轭复数是（　　）

A．＋i  B．－i

C．－＋i  D．－－i

解析：∵＝1－i，∴z＝＝，∴＝－－i．

答案：D

4．若复数z＝cos x－1＋（sin x＋2）i为纯虚数（x∈R，i是虚数单位），则|z|等于（　　）

A．2  B．3

C．4  D．与x的取值有关

解析：依题意得，cos x－1＝0，则cos x＝1，∵sin2x＋cos2x＝1，∴sin x＝0，则z＝2i，则|z|＝2．

答案：A

5．（2021·蓉城名校高三第一次联考）设复数z＝x＋yi（x，y∈R）满足z＝3＋2i2＋i5，则的值为（　　）

A．  B． 

C．1  D．

解析：z＝3＋2i2＋i5＝1＋i＝x＋yi，所以x＝1，y＝1，所以＝．

答案：A

6．（2021·衡水中学高三联考）已知i为虚数单位，是复数z的共轭复数，复数z＝，则复数在复平面内对应的点位于（　　）

A．第二象限  B．第四象限

C．直线3x－2y＝0上  D．直线3x＋2y＝0上

解析：z＝＝＝－＋i，＝－－i，它在复平面内的点为，位于第三象限，且在直线3x－2y＝0上．

答案：C

7．（2020·高考全国卷Ⅱ）设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝_________．

解析：法一：设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，

因为z1＋z2＝＋i，

所以2z1＝（＋a）＋（1＋b）i，2z2＝（－a）＋（1－b）i．

因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，

所以＝4，①

＝4，②

①2＋②2得a2＋b2＝12．

所以|z1－z2|＝＝2．

法二：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，，则z1＋z2对应向量＋．

由题知||＝||＝|＋|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1－z2对应向量，OA＝AC＝OC＝2，可得BA＝2OAsin 60°＝2．故|z1－z2|＝||＝2．

答案：2

8．已知复数z＝（2＋i）（a＋2i3）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是_________．

解析：复数z＝（2＋i）（a＋2i3）＝（2＋i）（a－2i）＝2a＋2＋（a－4）i，其在复平面内对应的点（2a＋2，a－4）在第四象限，则2a＋2>0，且a－4<0，解得－1<a<4，则实数a的取值范围是（－1，4）．

答案：（－1，4）

[C组　创新应用练]

1．（2021·南昌模拟）欧拉公式eix＝cos x＋isin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，ei表示的复数位于复平面中的（　　）

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：由题意可得ei＝cos＋isin＝＋i，即ei表示的复数位于复平面中的第一象限．

答案：A

2．若实数a，b，c满足a2＋a＋bi<2＋ci，集合A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b＋c}，则A∩（∁RB）为（　　）

A．∅

B．{0}

C．{x|－2<x<1}

D．{x|－2<x<0或0<x<1}

解析：由于只有实数之间才能比较大小，故a2＋a＋bi<2＋ci⇔解得因此A＝{x|－2<x<1}，B＝{0}，故A∩（∁RB）＝{x|－2<x<1}∩{x|x∈R，x≠0}＝{x|－2<x<0或0<x<1}．

答案：D

3．设有下面四个命题：

p1：若复数z满足∈R，则z∈R；

p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；

p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝1；

p4：若复数z∈R，则∈R．

其中的真命题为（　　）

A．p1，p3  B．p1，p4

C．p2，p3  D．p2，p4

解析：p1：设z＝a＋bi，则＝＝∈R，得到b＝0，所以z∈R．故p1正确；

p2：若z2＝－1，满足z2∈R，而z＝i，不满足z∈R，故p2不正确；

p3：若z1＝1，z2＝2，则z1z2＝2，满足z1z2∈R，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p3不正确；

p4：实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确．

答案：B