北师大版高考数学一轮复习第5章第1节数列的概念与简单表示法课时作业理含解析

数列的概念与简单表示法

授课提示：对应学生用书第323页

[A组　基础保分练]

1．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（　　）

A．an＝n2－n＋1　　　 B．an＝

C．an＝  D．an＝

解析：从题图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…；∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝．

答案：C

2．（2021·山西太原模拟）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋an＝2n（n∈N＋），则a7＝（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：当n≥2时，Sn－1＋an－1＝2n－2，又Sn＋an＝2n，所以2an－an－1＝2，所以2（an－2）＝an－1－2，故{an－2}是首项为a1－2，公比为的等比数列，

又S1＋a1＝2，故a1＝1，所以an＝－＋2，故a7＝2－＝．

答案：B

3．在数列{an}中，若对任意的n∈N＋均有an＋an＋1＋an＋2为定值，且a1＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝（　　）

A．132  B．299

C．68  D．99

解析：因为对任意的n∈N＋均有an＋an＋1＋an＋2为定值，所以an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3，所以an＋3＝an．所以数列{an}是周期数列，且周期为3．故a2＝a98＝4，a3＝a9＝3，a100＝a1＝2，所以S100＝33（a1＋a2＋a3）＋a100＝299．

答案：B

4．（2021·济宁期中测试）已知数列{an}满足an＝若对任意的n∈N＋都有an＜an＋1成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．（1，4）  B．（2，5）

C．（1，6）  D．（4，6）

解析：因为对任意的n∈N＋都有an＜an＋1成立，所以数列是递增数列，因此解得1＜a＜4．

答案：A

5．已知数列{an}满足a1＝2，且2an＋1－1＝a1＋a12an－2，则a32＝（　　）

A．8  B．7

C．6  D．5

解析：将a1＝2代入2an＋1－1＝a1＋a12an－2，整理得2an＋1－1－2an－1＝2，又2a1－1＝2，所以数列{2an－1}是首项为2，公差为2的等差数列，所以2an－1＝2＋（n－1）×2＝2n，所以an＝log22n＋1，于是a32＝log264＋1＝7．

答案：B

6．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列的第20项为（　　）

A．180  B．200

C．128  D．162

解析：由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，可得偶数项的通项公式为a2n＝2n2，则此数列的第20项为2×102＝200．

答案：B

7．已知{an}满足an＝（n－λ）2n（n∈N＋），若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．

解析：因为{an}是递增数列，

所以an＋1＞an，所以（n＋1－λ）2n＋1＞（n－λ）2n，

化简得λ＜n＋2，对任意n∈N＋都成立．

所以λ＜3．

答案：（－∞，3）

8．（2021·天水月考）已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3·2n，则数列{an}的通项公式an＝________．

解析：由an＋1＝2an＋3·2n，得＝＋，即－＝．又＝1，∴数列是以1为首项，以为公差的等差数列，则＝1＋（n－1）＝n－，∴an＝（3n－1）·2n－1．

答案：（3n－1）·2n－1

9．（1）已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2（Sn＋1）＝n＋1，求数列{an}的通项公式；

（2）已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N＋，均有2Sn＝an＋a，求数列{an}的通项公式．

解析：（1）由log2（Sn＋1）＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，

当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，

∴数列{an}的通项公式为an＝

（2）∵2Sn＝an＋a，当n＝1时，2S1＝2a1＝a1＋a．

又a1＞0，∴a1＝1．当n≥2时，2an＝2（Sn－Sn－1）＝an＋a－an－1－a，

∴（a－a）－（an＋an－1）＝0，

∴（an＋an－1）（an－an－1）－（an＋an－1）＝0，

∴（an＋an－1）（an－an－1－1）＝0，

∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝1，

∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴an＝n（n∈N＋）．

10．（2021·东营模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋．

（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式．

解析：（1）令n＝1，T1＝2S1－1，

因为T1＝S1＝a1，

所以a1＝2a1－1，所以a1＝1．

（2）n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－（n－1）2，

则Sn＝Tn－Tn－1

＝2Sn－n2－[2Sn－1－（n－1）2]

＝2（Sn－Sn－1）－2n＋1

＝2an－2n＋1．

因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，

所以Sn＝2an－2n＋1（n≥1），

当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2（n－1）＋1，

两式相减得an＝2an－2an－1－2，

所以an＝2an－1＋2（n≥2），

所以an＋2＝2（an－1＋2），

因为a1＋2＝3≠0，

所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．

所以an＋2＝3×2n－1，

所以an＝3×2n－1－2，

当n＝1时也成立，

所以an＝3×2n－1－2．

[B组　能力提升练]

1．在数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1（n≥2），那么a2 019＝（　　）

A．1  B．－2

C．3  D．－3

解析：因为an＝an－1－an－2（n≥3），所以an＋1＝an－an－1＝（an－1－an－2）－an－1＝－an－2，

所以an＋3＝－an，所以an＋6＝－an＋3＝an，

所以{an}是以6为周期的周期数列．

因为2 019＝336×6＋3，所以a2 019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1．

答案：A

2．已知数列{xn}满足xn＋2＝|xn＋1－xn|（n∈N＋），若x1＝1，x2＝a（a≤1，a≠0），且xn＋3＝xn对任意的正整数n均成立，则数列{xn}的前2 019项和S2 019＝（　　）

A．672  B．673

C．1 344  D．1 346

解析：∵x1＝1，x2＝a（a≤1，a≠0），∴x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a，∴x1＋x2＋x3＝1＋a＋（1－a）＝2，又xn＋3＝xn对任意的正整数n均成立，∴数列{xn}的周期为3，∴数列{xn}的前2 019项和S2 019＝S673×3＝673×2＝1 346．

答案：D

3．若数列an＝cos，k∈N＋，则在下列数列中，可取遍数列{an}前6项值的数列为（　　）

A．{a2k＋1}  B．{a3k＋1}

C．{a4k＋1}  D．{a5k＋1}

解析：∵数列an＝cos，k∈N＋，∴a1＝cos ，a2＝cos，a3＝cos，a4＝cos，a5＝cos，a6＝cos＝cos，a7＝cos，∴{an}是以6为周期的周期数列，∴{a5k＋1}是可取遍数列{an}前6项值的数列．

答案：D

4．对于一个给定的数列{an}，把它连续的两项an＋1与an的比记为bn，得到一个新的数列{bn}，称数列{bn}是数列{an}的一阶比数列．若数列{an}的一阶比数列是每一项均为2的常数列，则＝（　　）

A．8  B．6

C．4  D．2

解析：由题意可知，数列{an}是等比数列，且公比q＝2，则＝＝q3＝8．

答案：A

5．若数列{an}满足a1＝－，an＋an＋1＝，则a10＝________．

解析：法一：因为an＋an＋1＝，所以an＋an＋1＝＝－，所以a1＋a2＝1－，因为a1＝－，所以a2＝1－＋；因为a2＋a3＝－，所以a3＝－－1；因为a3＋a4＝－，所以a4＝－＋1，以此类推，a10＝－＋1＝．

法二：因为an＋an＋1＝，所以an＋1＝－an，因为a1＝－＝－1，所以a2＝＋＝＝＋1，a3＝－＝－＝－1，a4＝＋＝＝＋1，以此类推，a10＝＋（－1）10＝．

答案：

6．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝（n∈N＋），则该数列的前2 021项的乘积a1·a2·a3·…·a2 021＝________．

解析：由题意可得，a2＝＝－3，

a3＝＝－，

a4＝＝，a5＝＝2＝a1，

所以数列{an}是以4为周期的周期数列，而2 021＝4×505＋1，

且a1a2a3a4＝2×（－3）××＝1．

故该数列前2 021项的乘积为a1＝2．

答案：2

7．已知二次函数f（x）＝x2－ax＋a（a＞0，x∈R），有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f（n）（n∈N＋）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设cn＝1－（n∈N＋），定义所有满足cm·cm＋1＜0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．

解析：（1）依题意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4．

又由a＞0得a＝4，所以f（x）＝x2－4x＋4．

所以Sn＝n2－4n＋4．

当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5．

所以an＝

（2）由题意得cn＝

由cn＝1－可知，当n≥5时，恒有cn＞0．

又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，

即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0．

所以数列{cn}的变号数为3．

[C组　创新应用练]

1．已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为（　　）

A．4  B．4－1

C．8  D．9

解析：由an＋1－an＝2n知a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，

…，an－an－1＝2（n－1），n≥2，

以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，

当n＝1时，a1＝20符合上式，

所以＝n＋－1，n∈N＋，

所以n≤4时单调递减，n≥5时单调递增，

因为＝，所以的最小值为＝＝8．

答案：C

2．（2021·昆明调研测试）将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：

a1

a2，a3

a4，a5，a6

a7，a8，a9，a10

……

记数阵中的第1列数a1，a2，a4，…构成的数列为{bn}，Sn为数列{bn}的前n项和．若Sn＝2bn－1，则a56＝________．

解析：当n≥2时，因为Sn＝2bn－1，所以Sn－1＝2bn－1－1，所以bn＝2bn－2bn－1，所以bn＝2bn－1（n≥2且n∈N＋），因为b1＝2b1－1，所以b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn＝2n－1．设a1，a2，a4，a7，a11，…的下标1，2，4，7，11，…构成数列{cn}，则c2－c1＝1，c3－c2＝2，c4－c3＝3，c5－c4＝4，…，cn－cn－1＝n－1，累加得，cn－c1＝1＋2＋3＋4＋…＋（n－1），所以cn＝＋1，由cn＝＋1＝56，得n＝11，所以a56＝b11＝210＝1 024．

答案：1 024

3．（2021·湛江模拟）一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2，2 019]时，符合条件的a共有　　　　个．

解析：由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N，

则3m＝5n＋1，m，n∈N，

当m＝5k，n不存在；

当m＝5k＋1，n不存在；

当m＝5k＋2，n＝3k＋1，满足题意；

当m＝5k＋3，n不存在；

当m＝5k＋4，n不存在．

其中k∈N．

故2≤a＝15k＋8≤2 019，解－≤k≤，则k＝0，1，2，…，134，共135个，即符合条件的a共有135个．故答案为135．

答案：135