北师大版高考数学一轮复习第3章第5节y＝asinωx＋φ的图像及应用课时作业理含解析

y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用

授课提示：对应学生用书第309页

[A组　基础保分练]

1．将函数y＝sin的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图像的解析式为（　　）

A．y＝sin　　　 B．y＝sin

C．y＝sin  D．y＝sin

解析：函数y＝sin的图像所有点的横坐标伸长为原来的2倍得y＝sin的图像，再将所得图像向右平移个单位长度得y＝sin＝sin的图像．

答案：B

2．（2020·高考全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝cos在[－π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由题图知解得＜T＜，

排除选项A，D．

法一：若T＝，则|ω|＝＝，

经检验，此时f≠0，排除选项B．故选C．

法二：由题图知－是函数的零点，且图像在零点附近上升，

所以－ω＋＝2kπ－，k∈Z，

得ω＝－＋，k∈Z．

当T＝时，|ω|＝＝，此时k∉Z，排除选项B．

当T＝时，|ω|＝＝，此时k＝0，符合题意．

答案：C

3．（2021·衡水模拟）设函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）对任意的x∈R，都有f＝f，若函数g（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）＋2，则g的值是（　　）

A．2  B．0

C．2或4  D．1或3

解析：∵f＝f，∴f（x）的图像关于直线x＝对称．

∴f＝2cos＝±2，

即cos＝±1．

∴g＝cos＋2．

当cos＝1时，原式＝3；

当cos＝－1时，原式＝1．

答案：D

4．（2021·湖南株洲模拟）若函数f（x）＝cos－a恰有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由题意得方程cos＝a有三个不同的实数根．

画出函数y＝cos的大致图像，如图所示．

 由图像得，当≤a<1时，方程cos＝a恰好有三个不同的实数根．

令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z．

当k＝0时，x＝．

不妨设x1<x2<x3，由题意得点（x1，0），（x2，0）关于直线x＝对称，

所以x1＋x2＝．

又结合图像可得π≤x3<，所以≤x1＋x2＋x3<．

故x1＋x2＋x3的取值范围为．

答案：A

5．（2021·河南郑州三测）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的部分图像如图所示，要使f（a＋x）－f（a－x）＝0成立，则a的最小正值为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由函数图像可得，函数的最大值为2，即A＝2．因为函数图像过点（0，1），即f（0）＝1，所以sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝．故f（x）＝2sin．因为函数图像过点，

所以f＝0，即2sin＝0，又x＝在函数f（x）的增区间内，所以令ω＋＝2kπ（k∈Z），解得ω＝（k∈Z）．由函数图像可得最小正周期T>，即>，

解得ω<．又ω>0，故k＝1，从而ω＝＝2．所以f（x）＝2sin．

由f（a＋x）－f（a－x）＝0，得f（a＋x）＝f（a－x），所以该函数图像的对称轴为直线x＝a．

令2a＋＝nπ＋（n∈Z），解得a＝π＋（n∈Z）．

要求a的最小正值，只需n＝0，得a＝．

答案：B

6．（2021·衡水中学调考）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0）的部分图像如图所示，其中M（m，0），N（n，2），P（π，0），且mn<0，则f（x）在下列区间中具有单调性的是（　　）

A．

B．

C．

D．

解析：因为mn<0，所以m，n异号，根据图像可得m<0，n>0，又P（π，0），所以T>π且<π，即π<T<；①当周期无限接近π时，图中的最低点自左向右无限接近，所以f（x）在区间上先减后增，不单调，故选项D错误；②当周期无限接近又小于时，图中最高点N的横坐标大于0小于，所以f（x）在区间上先增后减，不单调，故选项A错误；图中最低点的横坐标大于小于，f（x）在区间上先减后增，不单调，故选项C错误．

答案：B

7．（2021·福州期末测试）将函数y＝2sin x＋cos x的图像向右平移φ个单位长度，得到函数y＝2sin x－cos x的图像，则sin φ的值为_________．

解析：因为y＝2sin x＋cos x＝sin（x＋θ），所以y＝2sin x－cos x＝sin（x－θ），其中cos θ＝，sin θ＝，所以φ＝2θ，所以sin φ＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝．

答案：

8．（2021·扬州七校联考）设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图像如图所示，则A＋ω＋φ＝_________．

解析：由题图可知A＝2，＝－，则T＝2π，ω＝1．再根据f＝2，得sin＝1，则＋φ＝＋2kπ（k∈Z），即φ＝＋2kπ（k∈Z）．又－<φ<，所以φ＝．因此A＋ω＋φ＝3＋．

答案：3＋

9．已知函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像过点P，图像上与点P最近的一个最高点是Q．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数f（x）的单调递增区间．

解析：（1）依题意得A＝5，

周期T＝4＝π，

所以ω＝＝2．

故y＝5sin（2x＋φ），

又图像过点P，

所以5sin＝0，

由已知可得＋φ＝kπ，k∈Z，

因为|φ|<，所以φ＝－，

所以y＝5sin．

（2）由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

故函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

10．已知函数f（x）＝sin＋sin2x．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）＝f，求函数g（x）在上的值域．

解析：（1）f（x）＝sin＋sin2x＝＋sin2x＝sin 2x＋cos 2x＋sin2x＝sin 2x＋cos2x－＋sin2x＝sin 2x＋1－＝sin 2x＋，

所以f（x）的最小正周期T＝＝π．

（2）因为函数g（x）对任意x∈R，有g（x）＝f，

所以g（x）＝sin＋＝sin

＋．

当x∈时，2x＋∈，

则－≤sin≤1，

则－×＋≤g（x）≤＋，

即≤g（x）≤1．

综上所述，函数g（x）在上的值域为．

[B组　能力提升练]

1．若将函数f（x）＝sin图像上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g（x）的图像，则函数g（x）的单调递增区间为（　　）

A．（k∈Z）

B．（k∈Z）

C．（k∈Z）

D．（k∈Z）

解析：将函数f（x）＝sin图像上的每一个点都向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin＝sin（2x＋π）＝－sin 2x的图像，令＋2kπ≤2x≤＋2kπ（k∈Z），可得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），因此函数g（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

答案：A

2．将函数g（x）＝2sin x＋1的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数f（x）的图像，若f（x1）＝f（x2）＝3，且－π≤x2<x1≤π，则x1－2x2的值为（　　）

A．π  B．

C．  D．

解析：易求得f（x）＝2sin＋1，因为f（x1）＝f（x2）＝3，即sin＝1，所以2x＋＝2kπ＋（k∈Z），所以x＝＋kπ（k∈Z），由－π≤x2<x1≤π，得x2＝－，x1＝，

则x1－2x2＝－2×＝．

答案：D

3．设ω>0，函数y＝sin（ωx＋φ）（－π<φ<π）的图像向左平移个单位长度后，得到如图所示的图像，则ω，φ的值为（　　）

A．ω＝2，φ＝  B．ω＝2，φ＝－

C．ω＝1，φ＝－  D．ω＝1，φ＝

解析：函数y＝sin（ωx＋φ）（－π<φ<π）的图像向左平移个单位长度后可得y＝sin．由函数的图像可知，＝－＝，所以T＝π．根据周期公式可得ω＝2，所以y＝sin．由图知当y＝－1时，x＝×＝，

所以函数的图像过，

所以sin＝－1．因为－π<φ<π，所以φ＝．

答案：A

4．（2021·南昌模拟）将函数f（x）＝sin  ωx（ω>0）的图像向左平移个单位得到函数g（x）的图像，若函数g（x）的图像关于直线x＝ω对称且在区间（－ω，ω）内是增加的，则ω的值为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由题意得g（x）＝sin．

因为g（x）在区间（－ω，ω）内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以g（ω）必是函数g（x）一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以w2＝＋2kπ，k∈Z，又ω－（－ω）≤，即ω2≤，所以ω2＝，所以ω＝．

答案：A

5．（2021·长春质检）将函数f（x）＝sin ωx（其中ω>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则ω的最小值为_________．

解析：函数向右平移个单位长度得到函数

g（x）＝f＝sin

＝sin．

因为g（x）过点，

所以sin＝0，

即ω＝＝kπ，k∈Z．

所以ω＝k，又因为ω>0，所以ω的最小值为．

答案：

6．（2021·武汉调研）函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（ω>0）的部分图像如图所示，给出以下结论：

①f（x）的最小正周期为2；

②f（x）图像的一条对称轴为直线x＝－；

③f（x）在，k∈Z上是减函数；

④f（x）的最大值为A．

则正确的结论为_________．（填序号）

解析：由题图可知，函数f（x）的最小正周期T＝2×＝2，故①正确；因为函数f（x）的图像过点和，所以函数f（x）图像的对称轴为直线x＝×＋＝＋k（k∈Z），故直线x＝－不是函数f（x）图像的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT（k∈Z），即2k－≤x≤2k＋（k∈Z）时，f（x）是减函数，故③正确；若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故④不正确．

答案：①③

7．已知函数f（x）＝sin（ω>0）的图像与x轴相邻两个交点的距离为．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若将f（x）的图像向左平移m（m>0）个单位长度得到函数g（x）的图像恰好经过点，求当m取得最小值时，g（x）在上的单调递增区间．

解析：（1）函数f（x）的图像与x轴相邻两个交点的距离为，

得函数f（x）的最小正周期为T＝2×＝，得ω＝1，

故函数f（x）的解析式为f（x）＝sin．

（2）将f（x）的图像向左平移m（m>0）个单位长度得到函数g（x）＝sin＝sin的图像，根据g（x）的图像恰好经过点，

可得sin＝0，即sin＝0，

所以2m－＝kπ（k∈Z），m＝＋（k∈Z），

因为m>0，

所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为．

此时，g（x）＝sin．

因为x∈，所以2x＋∈．

当2x＋∈，即x∈时，g（x）单调递增，

当2x＋∈，即x∈时，g（x）单调递增．

综上，g（x）在区间上的单调递增区间是和．

[C组　创新应用练]

1．（2021·武汉市高三二调）函数f（x）＝2sin（ω>0）的图像在[0，1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为（　　）

A．[2π，4π]  B．

C．  D．

解析：法一：由函数f（x）在[0，1]上恰有两个极大值点，及正弦函数的图像可知ω＋∈，则≤ω<．

法二：取ω＝2π，则f（x）＝2sin，

故2πx＋＝＋2kπ，k∈Z，得x＝＋k，k∈Z，

则在[0，1]上只有x＝，不满足题意，排除A，B，D．

答案：C

2．（2021·济南模拟）已知函数f（x）＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1．

（1）若函数f（x）的图像关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f（x）的单调递增区间；

（2）在（1）的条件下，当x∈时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．

解析：（1）函数f（x）＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1

＝sin 2ωx＋＋b＋1＝sin＋＋b．

因为函数f（x）的图像关于直线x＝对称，所以2ω·＋＝kπ＋，k∈Z，且ω∈[0，3]，所以ω＝1．

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），所以函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．

（2）由（1）知f（x）＝sin＋＋b．

因为x∈，所以2x＋∈．

当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递增；

当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递减．

又f（0）＝f，所以当f>0≥f或f＝0时，函数f（x）有且只有一个零点，即sin≤－b－<sin或1＋＋b＝0，所以b∈∪．