新高考数学一轮复习课时讲练 第5章 第1讲　平面向量的概念及线性运算 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习课时讲练 第5章 第1讲　平面向量的概念及线性运算 (含解析)，共18页。试卷主要包含了向量的有关概念，向量的线性运算，已知a，b是非零向量，命题p等内容，欢迎下载使用。



知识点
最新考纲
平面向量的几何
意义及基本概念
理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.
向量的线性运算
掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.
平面向量的基本
定理及坐标表示
理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题．
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.
平面向量的数量
积及向量的应用
理解平面向量数量积的概念及其几何意义．
掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系．
会用坐标表示平面向量的平行与垂直．
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
复　数
了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念．
了解复数的加、减运算的几何意义．
理解复数代数形式的四则运算.
第1讲　平面向量的概念及线性运算


1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量
运算
定义
法则(或几
何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)
续　表
向量
运算
定义
法则(或几
何意义)
运算律
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与 a的方向相反；当λ＝0时，λ a＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μ__a；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.两个向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．
[说明]　三点共线的等价关系
A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量．(　　)
(2)＋＋＝.(　　)
(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)
(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)
(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
[教材衍化]
(必修4P108B组T5改编)在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．
解析：如图，因为＋＝，－＝，所以||＝||.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
[易错纠偏]
(1)对向量共线定理认识不准确；
(2)向量线性运算不熟致错；
(3)向量三角不等式认识不清致错．
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．
2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________．
解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝.
答案：－　
3．已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________．
解析：当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况．
答案：[2，6]


　　　　　　平面向量的有关概念
给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
其中真命题的序号是________．
【解析】　①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．
②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反．
③是正确的，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．
④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．
【答案】　③

平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．　
　给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中正确命题的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选A.①错误．两向量共线要看其方向而不是看起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．

　　　　　　平面向量的线性运算(高频考点)
平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：
(1)用已知向量表示未知向量；
(2)求参数的值．
角度一　用已知向量表示未知向量
如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么等于(　　)
A.－
B.＋
C.＋
D.－
【解析】　在△CEF中，有＝＋.
因为点E为DC的中点，所以＝.
因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，
所以＝.
所以＝＋＝＋
＝－，故选D.
【答案】　D
角度二　求参数的值
如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
【解析】　因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.
因为点M为AH的中点，
所以＝＝(＋)
＝＝＋，
又＝λ＋μ，
所以λ＝，μ＝，
所以λ＋μ＝.
【答案】　

向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．　

1．(2020·嘉兴质检)已知平行四边形ABCD，点M1，M2，M3，…，Mn－1和N1，N2，N3，…，Nn－1分别将线段BC和DC进行n等分(n∈N*，n≥2)，如图，若＋＋…＋AMn－1＋＋＋…＋ANn－1＝45，则n＝(　　)

A．29 B．30
C．31 D．32
解析：选C.由题图知，因为＝＋，＝＋，…，AMn－1＝＋，
＝＋，＝＋，…，ANn－1＝＋.＝，＝.
所以＋＋…＋AMn－1＋＋＋…＋ANn－1＝·
(＋)＝，
所以＝45，解得n＝31.故选C.
2．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________．
解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最大值＝2.
答案：0　2

　　　　　　平面向量共线定理的应用
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解】　(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，所以，共线，
又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.所以k＝±1.

　

1．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线的充要条件是(　　)
A．λ＝0 B．λ＝－1
C．λ＝－2 D．λ＝－
解析：选D.因为a＝2e1－e2，b＝e1＋λe2，e1，e2不共线，
因为a，b共线⇔b＝a⇔b＝e1－e2⇔λ＝－.
2.如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近点B，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设＝a，＝b.
(1)试用a，b表示，，；
(2)证明：B，E，F三点共线．
解：(1)△ABC中，＝a，＝b，
所以＝－＝b－a，
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b，
＝＋＝－＋＝－a＋b.
(2)证明：＝－a＋b，
＝＋＝－＋
＝－a＋＝－a＋b＝，
所以＝，
所以与共线，且有公共点B，
所以B，E，F三点共线．

核心素养系列10　数学运算——共线定理的推广与应用
[共线定理]　已知，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1.
[推广形式]　如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设＝x＋y(x，y∈R)．
当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得＝m ，则＝m＝mλ＋mμ.
又＝x＋y(x，y∈R)，所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.
以上过程可逆．
因此得到结论：＝x＋y，
则x＋y＝m(定值)，反之亦成立．
(应用实例)
如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．
【解析】　当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈＝[3，4]．

【答案】　[3，4]
如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
【解析】　由点D是圆O外的一点，可设＝λ(λ＞1)，则＝＋＝＋λ＝λ＋(1－λ).因为C，O，D三点共线，令＝－μ(μ＞1)，所以＝
－－·(λ＞1，μ＞1)．因为＝m＋n，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．
【答案】　(－1，0)
如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的动点，若＝x＋y，则x＋3y的取值范围是________．
【解析】　＝x＋3y，如图，作＝，则考虑以向量，为基底．显然，当C在A点时，经过m＝1的平行线，当C在B点时，经过m＝3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x＋3y的取值范围是[1，3]．

【答案】　[1，3]

[基础题组练]
1．下列各式中不能化简为的是(　　)
A.＋(＋)　 　　 B．(＋)＋(－)
C.－＋ D.＋－
解析：选D.＋(＋)＝＋＋＝＋＝；(＋)＋(－)＝(＋)＋(－)＝＋＝；－＋＝＋＝；
＋－＝－，
显然由－得不出，
所以不能化简为的式子是D.
2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a
解析：选B.对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
3．(2020·浙江省新高考学科基础测试)设点M是线段AB的中点，点C在直线AB外，||＝6，|＋|＝|－|，则||＝(　　)
A．12　　　　　　　　　　 B．6
C．3 D.
解析：选C.因为|＋|＝2||，|－|＝||，所以2||＝||＝6，
所以||＝3，故选C.
4．已知a，b是任意的两个向量，则下列关系式中不恒成立的是(　　)
A．|a|＋|b|≥|a－b|
B．|a·b|≤|a|·|b|
C．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
D．(a－b)3＝a3－3a2·b＋3a·b2－b3
解析：选D.由三角形的三边关系和向量的几何意义，得|a|＋|b|≥|a－b|，所以A正确；
因为|a·b|＝|a||b||cos a，b|，又|cos a，b|≤1，
所以|a·b|≤|a||b|恒成立，B正确；
由向量数量积的运算，得(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，C正确；根据排除法，故选D.
5．已知a，b是非零向量，命题p：a＝b，命题q：|a＋b|＝|a|＋|b|，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a＝b，则|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q，
若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的运算知a与b同向共线，
即a＝λb，且λ＞0，故q p.
所以p是q的充分不必要条件，故选A.
6．(2020·温州市普通高中模考)已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ(λ＞0，μ＞0)，则λ＋μ的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(1， ] D．(0， )
解析：选B.由题意可得＝k＝kλ＋kμ(0＜k＜1)，又A，D，B三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B正确．
7．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．
解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
答案：b－a　－a－b
8．(2020·温州质检)如图所示，在△ABC中，BO为边AC上的中线，＝2，设∥，若＝＋λ(λ∈R)，则λ的值为 ________．

解析：因为＝2，所以＝＋＝＋，又∥，可设＝m，从而＝＋＝＋＋＝＋.因为＝＋λ，所以＝，λ＝1＋＝.
答案：
9．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是________．
解析：＝－，当，同向时，||＝8－5＝3；当，反向时，||＝8＋5＝13；当，不共线时，3＜||＜13.综上可知3≤||≤13.
答案：[3，13]
10．(2020·杭州中学高三月考)已知P为△ABC内一点，且5－2－＝0，则△PAC的面积与△ABC的面积之比等于________．
解析：因为5－2－＝0，
所以＝＋，
延长AP交BC于D，则＝＋＝，
从而可以得到D是BC边的三等分点，且CD＝CB，
设点B到边AC的距离为d，则点P到边AC的距离为×d＝d，
所以△PAC的面积与△ABC的面积之比为.
答案：
11.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.
解：＝(＋)＝a＋b.
＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋(－)＝＋＝a＋b.
12．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．
解：设＝a，＝b，则＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，
即nb－ma＝λa＋λb，
从而
消去λ，得＋＝3.
[综合题组练]
1．设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B.因为＝2，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以＝＝.
2．(2020·福建省普通高中质量检查)已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x＋y，则xy的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.由题意，知P，B，C三点共线，则存在实数λ使＝λ，所以－＝λ(－)，所以＝－λ＋(λ＋1)，则，所以x＋y＝1且≤x≤，于是xy＝x(1－x)＝－＋，所以当x＝时，xy取得最大值；当x＝或x＝时，xy取得最小值，所以xy的取值范围为，故选D.
3．(2020·浙江名校协作体高三联考)如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB的延长线，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n＝________．

解析：作BG∥AC，则BG∥NC，＝.
因为O是BC的中点，所以△NOC≌△GOB，
所以|BG|＝|NC|，又因为|AC|＝n|AN|，
所以|NC|＝(n－1)|AN|，所以＝n－1.
因为|AB|＝m|AM|，所以|BM|＝(1－m)|AM|，
所以＝1－m，所以n－1＝1－m，m＋n＝2.
答案：2
4.(2020·温州市四校高三调研)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足＋＝1，若＝x＋y，则x＋y的最小值为________．
解析：连接MN交AC于点G，由勾股定理，知MN2＝CM2＋CN2，所以1＝＋＝，
即MN＝CM·CN，所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半径的圆的一条切线．因为＝x＋y＝(x＋y)·，
所以由共线定理知，＝(x＋y)，
所以x＋y＝＝，
又因为||max＝5－1＝4，
所以x＋y的最小值为.
答案：
5．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若＝a，＝b，＝2.

(1)用a，b表示；
(2)证明A，M，C三点共线．
解：(1)＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b，
又E为AD中点，
所以＝＝a＋b，
因为EF是梯形的中位线，且＝2，
所以＝(＋)＝＝a，
又M，N是EF的三等分点，所以＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＋a＝a＋b.
(2)证明：由(1)知＝＝a，
所以＝＋＝a＋b＝，
又与有公共点M，所以A，M，C三点共线．
6．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．求证：A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.
证明：充分性：若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，
所以－＝m(－)，
即＝m，
所以与共线．
又因为与有公共点B，则A，P，B三点共线．
必要性：若A，P，B三点共线，
则存在实数λ，使＝λ，
所以－＝λ(－)．
又＝m＋n.
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
因为O，A，B不共线，所以，不共线，
所以所以m＋n＝1.
所以A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.