北师大版高考数学一轮复习第4章第3节平面向量的数量积课时作业理含解析

第三节 平面向量的数量积

授课提示：对应学生用书第319页

[A组　基础保分练]

1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为60°，向量m＝5e1－2e2，则|m|＝（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．2  D．7

解析：|m|＝＝＝＝．

答案：A

2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝4，则（a－b）·b＝（　　）

A．－16  B．－13

C．－12  D．－10

解析：（a－b）·b＝a·b－b2＝|a||b|cos 60°－|b|2＝2×4×－42＝－12．

答案：C

3．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|∶|b|∶|c|＝1∶∶2，则a，c的夹角为（　　）

A．30°  B．60°

C．90°  D．120°

解析：法一：设向量a，c的夹角为θ．∵a＋b＋c＝0，∴a＋c＝－b，∴（a＋c）2＝（－b）2，即|a|2＋|c|2＋2|a|·|c|cos θ＝|b|2．又|a|∶|b|∶|c|＝1∶∶2，∴cos θ＝＝－，∴θ＝120°．

法二：在△ABC中，依题意可设＝a，＝c，＝b，向量a，c的夹角为θ．∵|a|∶|b|∶|c|＝1∶∶2，∴C＝90°，A＝60°，∴θ＝120°．

答案：D

4．（2021·长春模拟）已知在边长为4的正方形ABCD中，＝，＝，则在方向上的投影为（　　）

A．4  B．

C．2  D．

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则由已知可得C（4，4），E（2，0），F（0，1），所以＝（－2，－4），＝（－4，－3），则在方向上的投影为＝＝4．

答案：A

5．已知x>0，y>0，a＝（x，1），b＝（1，y－1），若a⊥b，则＋的最小值为（　　）

A．4  B．9

C．8  D．10

解析：依题意，得a·b＝x＋y－1＝0⇒x＋y＝1．

法一：＋＝＋＝5＋＋≥9，当且仅当x＝，y＝时取等号．

法二：设f（x）＝＋＝＋（0<x<1），则f′（x）＝，当<x<1时，f′（x）>0，f（x）单调递增；当0<x<时，f′（x）<0，f（x）单调递减，所以f（x）min＝f＝9．

答案：B

6．（2021·衡水模拟）已知向量a＝（1，k），b＝（2，4），则“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得（1，k）·（2，4）＝0，解得k＝－，所以“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要条件．

答案：C

7．（2021·临川九校联考）已知平面向量a＝（2m－1，2），b＝（－2，3m－2），且a⊥b，则|2a－3b|＝_________．

解析：因为a⊥b，所以a·b＝－2（2m－1）＋2（3m－2）＝0，解得m＝1，

所以a＝（1，2），b＝（－2，1），所以2a－3b＝（2，4）－（－6，3）＝（8，1），

所以|2a－3b|＝＝．

答案：

8．（2020·高考天津卷）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为　　　　，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为_________．

解析：∵＝λ，∴AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠B＝120°，

·＝λ·＝λ||·||cos 120°

＝λ×6×3×＝－9λ＝－，

解得λ＝，

以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，

∵BC＝6，∴C（6，0），

∵|AB|＝3，∠ABC＝60°，∴A的坐标为A，

∵又∵＝， 则D，设M（x，0），则N（x＋1，0）（其中0≤x≤5），

＝，＝，

·＝＋＝x2－4x＋＝（x－2）2＋，

所以，当x＝2时，·取得最小值．

答案：　

9．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角为．

（1）求|a＋3b|；

（2）若向量a＋2b与ta＋2b垂直，求实数t的值．

解析：（1）∵向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角为，

∴|a＋3b|＝＝

＝＝3．

（2）∵向量a＋2b与ta＋2b垂直，∴（a＋2b）·（ta＋2b）＝0，

∴ta2＋（2t＋2）a·b＋4b2＝0，

∴9t＋（2t＋2）×3×1×cos＋4＝0，解得t＝－．

10．（2021·合肥模拟）已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2）．

（1）设c＝4a＋b，求（b·c）a；

（2）若a＋λb与a垂直，求λ的值；

（3）求向量a在b方向上的投影．

解析：（1）∵a＝（1，2），b＝（2，－2），

∴c＝4a＋b＝（4，8）＋（2，－2）＝（6，6）．

∴b·c＝2×6－2×6＝0，

∴（b·c）a＝0a＝0．

（2）a＋λb＝（1，2）＋λ（2，－2）＝（2λ＋1，2－2λ），

由于a＋λb与a垂直，

∴2λ＋1＋2（2－2λ）＝0，∴λ＝．

（3）设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cos θ．

∴|a|cos θ＝＝＝－＝－．

[B组　能力提升练]

1．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|a－2b|＝2，则|b|＝（　　）

A．4　　　　　　 B．2

C．  D．1

解析：|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝4－4×2×|b|cos 60°＋4|b|2＝4，解得|b|＝1或|b|＝0（舍去）．

答案：D

2．如图所示，已知G是△ABC的重心，H是BG的中点，且AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，则·＝（　　）

A．  B．2

C．  D．

解析：设D是△ABC的边BC的中点，连接GD（图略），因为G是△ABC的重心，所以A，G，D三点共线，＝＝×（＋）＝（＋）．又H是BG的中点，所以＝（＋）＝＝（4＋），则·＝（＋）·（4＋）＝（4||2＋5||·||cos∠BAC＋||2）＝×＝．

答案：A

3．已知||＝6，||＝2，∠AOB＝30°，若t∈R，则|＋t|的最小值为（　　）

A．6  B．2

C．3  D．6－2

解析：依题意得|＋t|2＝|（1－t）＋t|2＝36（1－t）2＋12t2＋36（1－t）t＝12t2－36t＋36＝12＋9≥9，当且仅当t＝时取等号，因此|＋t|的最小值是3．

答案：C

4．（2020·高考全国卷Ⅲ）已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝（　　）

A．－  B．－

C．  D．

解析：∵|a＋b|2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝．

答案：D

5．如图所示，AB是半圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·＝_________．

解析：连接AP，BP（图略），则＝＋，＝＋＝－，所以·＝（＋）·（－）＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5．

答案：5

6．已知向量a＝，＝a－b，＝a＋b．若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为_________．

解析：由题意得，|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以⊥，||＝||．由⊥，得（a－b）·（a＋b）＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|＝1，由||＝||，得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0．所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以||＝||＝，故S△OAB＝××＝1．

答案：1

7．已知向量m＝（sin α－2，－cos α），n＝（－sin α，cos α），其中α∈R．

（1）若m⊥n，求角α；

（2）若|m－n|＝，求cos 2α的值．

解析：（1）若m⊥n，则m·n＝0，

即为－sin α（sin α－2）－cos2 α＝0，

即sin α＝，

可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z．

（2）若|m－n|＝，即有（m－n）2＝2，

即（2sin α－2）2＋（2cos α）2＝2，

即为4sin2α＋4－8sin α＋4cos2 α＝2，

即有8－8sin α＝2，

可得sin α＝，

即有cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－．

[C组　创新应用练]

1．已知将函数f（x）＝4cos的图像和直线g（x）＝x－1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，…，A5．若P点坐标为（0，），则|＋＋…＋|＝（　　）

A．0  B．2

C．6  D．10

解析：依题意，A1和A5，A2和A4都关于点A3对称，由P（0，），A3（1，0），得＝（1，－），则＋＋…＋＝5＝5（1，－）＝（5，－5），所以|＋＋…＋|＝10．

答案：D

2．已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则·的最大值是（　　）

A．2  B．4

C．4  D．8

解析：如图所示，建立平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，2），D（2，2），圆B的方程为x2＋y2＝2，∴P（cos θ，sin θ），∴＝（－2，－2），＝（cos θ，sin θ－2），

∴·＝－2cos θ－2sin θ＋4＝4－4sin，∴当sin＝－1时，·的最大值是8．

答案：D

3．在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量a＝（1，0），则满足不等式2＋a·≤0的点A（x，y）构成的集合用阴影表示为（　　）

解析：∵A（x，y），向量与关于y轴对称，∴B（－x，y），＝（－2x，0）．∵2＋a·≤0，∴x2＋y2－2x

＝（x－1）2＋y2－1≤0，故满足要求的点A（x，y）在以（1，0）为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部．

答案：B

4．设θ为两个非零向量e1，e2的夹角，若对任意实数λ，|e1＋λe2|min＝1，则下列说法正确的是（　　）

A．若θ确定，则|e1|唯一确定

B．若θ确定，则|e2|唯一确定

C．若|e1|确定，则θ唯一确定

D．若|e2|确定，则θ唯一确定

解析：|e1＋λe2|min＝1，即|e1－（－λe2）|min＝1，如图所示，|e1－（－λe2）|表示线段EF的长度，其中E为定点，F为动点，当⊥e2时，|e1－（－λe2）|最小，所以|e1|sin θ＝1，故当θ确定时，|e1|是确定的，但当|e1|确定时，因为θ∈[0，π]，故θ可能会有两个不同的解．|e2|总是不确定的．

答案：A