高考数学一轮复习第四章第一节平面向量的概念及线性运算课时作业理含解析北师大版

第一节 平面向量的概念及线性运算

授课提示：对应学生用书第315页

[A组　基础保分练]

1．如图所示，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝（　　）

A．0　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：由题图知＋＋＝＋＋＝＋＝．

答案：D

2．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于（　　）

A．  B．2

C．3  D．4

解析：＋＋＋＝（＋）＋（＋）＝2＋2＝4．

答案：D

3．（2021·合肥模拟）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16－12－3＝0，则（　　）

A．＝12＋3

B．＝12－3

C．＝－12＋3

D．＝－12－3

解析：对于A，＝12＋3＝12（－）＋3（－）＝12＋3－15，整理，可得16－12－3＝0，这与题干中条件相符合．

答案：A

4．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0．若a∥b，则等于（　　）

A．－　　　　　　　 B．

C．－2  D．2

解析：∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ（ne1－e2），则故＝－2．

答案：C

5．（2021·潍坊模拟）若M是△ABC内一点，且满足＋＝4，则△ABM与△ACM的面积之比为（　　）

A．  B．

C．  D．2

解析：设AC的中点为D，则＋＝2，于是2＝4，从而＝2，即M为BD的中点，于是＝＝＝．

答案：A

6．如图所示，在等边△ABC中，O为△ABC的重心，点D为BC边上靠近B点的四等分点．若＝x＋y，则x＋y＝（　　）

A．　　　　　 B．

C．　　　　　 D．

解析：设点E为BC的中点，连接AE（图略），可知O在AE上，由＝＋＝＋＝（＋）＋（－）＝－，故x＝，y＝－，x＋y＝．

答案：B

7．如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB．若用和来表示向量，则＝_________．

解析：易知＝＋＝＋＝＋（－）＝＋．

答案：＋

8．（2021·邯郸模拟）设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝_________．

解析：由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ（a＋2b），即（λ－μ）a＋（1－2μ）b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝．

答案：

9．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．

解析：设＝a，＝b，则＝（a＋b），

＝－＝nb－ma，

＝－＝（a＋b）－ma＝a＋b．

由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，

即nb－ma＝λa＋λb，

则消去λ，得＋＝3．

10．在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上．若c与xa＋yb（x，y为非零实数）共线，求的值．

解析：设e1，e2分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ（xa＋yb），所以e1－2e2＝2λ（x－y）e1＋λ（x－2y）e2，所以所以

所以的值为．

[B组　能力提升练]

1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b．若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．

答案：A

2．（2021·丹东五校协作体联考）P是△ABC所在平面上的一点，满足＋＋＝2，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为（　　）

A．2  B．3

C．4  D．8

解析：因为＋＋＝2＝2（－），所以3＝－＝，所以∥，且方向相同．所以＝＝＝3，所以S△PAB＝＝2．

答案：A

3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于（　　）

A．a＋b  B．a＋b

C．a＋b  D．a＋b

解析：如图所示，＝＋，由题意知，＝a＋b，＝a－b，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，所以＝．所以＝＋＝a＋b＋＝a＋b．

答案：B

4．如图所示，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则＝（　　）

A．－

B．2－2

C．－

D．2－2

解析：连接CD（图略），因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD，所以＝2＝2（－）＝2－2．

答案：D

5．在△ABC中，＝2，＝＋λ，则λ＝_________．

解析：∵A，D，B共线，∴＋λ＝1，∴λ＝．

答案：

6．（2021·包头模拟）如图所示，在△ABC中，AH⊥BC交BC于点H，M为AH的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝_________．

解析：因为＝（＋）＝[＋x（－）]＝[（1＋x）－x]，又因为＝λ＋μ，所以1＋x＝2λ，2μ＝－x，所以λ＋μ＝．

答案：

7．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2．

（1）求证：A，B，D三点共线；

（2）若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．

解析：（1）证明：由已知得＝－＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2．

因为＝2e1－8e2，所以＝2．

又，有公共点B，所以A，B，D三点共线．

（2）由（1）可知＝e1－4e2，且＝3e1－ke2，

由B，D，F三点共线得＝λ，

即3e1－ke2＝λe1－4λe2，

得解得k＝12．

[C组　创新应用练]

1．（2021·郑州模拟）如图所示，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤－．

若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（　　）

A．①②  B．②④

C．①③  D．③⑤

解析：在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA（图略），则＝＋2，其终点不在阴影区域内，排除A，C；取线段OA上一点E，使AE＝OA，作EF∥OB，交AB于点F，则EF＝OB，由于EF＜OB，所以＋的终点不在阴影区域内，排除选项D．

答案：B

2．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D．若AB＝4，且＝＋λ（λ∈R），则AD的长为_________．

解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图所示，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，

因为△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，所以四边形AMDN是菱形，因为AB＝4，所以AN＝AM＝3，AD＝3．

答案：3

3．如图所示，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设＝α＋β（α，β∈R），则α＋β的取值范围是_________．

解析：当P在△CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以α＋β∈＝[3，4]．

答案：[3，4]