青岛版初中数学九年级上册第二单元《解直角三角形》单元测试卷（较易）（含答案解析）

青岛版初中数学九年级上册第二单元《解直角三角形》单元测试卷

考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，在中，，，，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

2. 已知在中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 中，，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点，若，，，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，是正方形的对称轴，沿折痕，折叠，使顶点，落在上的点给出个结论：；∽；；其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，底边上的高为，底边上的高为，则有(    )

A.  B.  C.  D. 以上都有可能

7. 如图，点、、都在格点上，则的正弦值是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，小明和小华同时从处分别向北偏东和南偏东方向出发，他们的速度分别是和，则后他们之间的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，甲、乙两船同时从港口出发，其中甲船沿北偏西方向航行，乙船沿南偏西方向航行，已知两船的航行速度相同，如果小时后甲、乙两船分别到达点、处，那么点位于点的(    )

A. 南偏西
B. 南偏西
C. 南偏西
D. 南偏西

10. 如图，在某次火箭发射过程中，从地面到达处时，在处测得点的仰角为，与两点的距离为千米；它沿铅垂线上升到达处时，此时在处测得点的仰角为，则从处到处的距离为参考数据，(    )

A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米

11. 如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高，坡面的坡度为：，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 小明去爬山，在山脚看山顶角度为，小明在坡比为：的山坡上走米，此时小明看山顶的角度为，山高为米(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 在中，，，，______．
14. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为___________。   

15. 在中，，，，则的长为______．
16. 我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作周髀算经作注解时，用个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，那么______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 在中，，，求的三个三角函数值．
18. 在中，，，，求的值．
19. 如图，已知在中，，，求的长和的值．

20. 先化简，再求值．，其中．
21. 计算：；
    先化简，再求值：，其中．
22. 如图，梯形中，，是的中点，，，．
    求的长；
    求的余弦．

23. 如图，已知矩形中，对角线、相交于点，过点作，交的延长线于点．
    求证：；
    若，，求矩形的面积．

24. 如图，为东西走向的滨海大边，小宇沿滨海大道参加“低碳生活绿色出行”健步走公益活动，小宇在点处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东的点处，观光船到滨海大道的距离为米．当小宇沿滨海大道向东步行米到达点时，观光船沿北偏西的方向航行至点处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从处航行到处的距离．
    参考数据：，，，，，

25. 如图为某景区五个景点，，，，的平面示意图，，在的正东方向，在的正北方向，，在的北偏西方向上，在的西北方向上，，相距，在的中点处．
    求景点，之间的距离；
    求景点，之间的距离．结果保留根号

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
则，
故选：．
根据余弦的定义计算即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了锐角三角函数值的求法，熟记公式才能正确运用．直角三角形中，正切值是角的对边与邻边的比值．
【解答】
解：如图，

，，，
．
故选B．  

3.【答案】 

【解析】解：，
则，
，
，
，
故选：．
根据的正弦值是求出，根据直角三角形的性质求出，根据的正切值计算．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图所示，过作于，则，
，
在中，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
过作于，通过解直角三角形，即可得到的长，进而得到平行四边形的面积，再根据全等三角形的性质，即可得到图中阴影部分的面积．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质的运用，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设，，根据折叠的性质得，，，
四边形是正方形，则，
，
设正方形的边长为，则，
是正方形的对称轴，
，
，
，
，
，
，故正确；
，
，，
，，
∽；故正确；
设，则，
在中，，
，
解得：，
即，
，
，故不正确；
，
，
，
，，
，
，故正确，
故正确，
故选：．
设，，根据折叠的性质得，，，根据轴对称的性质得出，即可判断，从而得出，，，继而判断，设，则，解，即可判断，分别求得，即可判断．
本题考查正方形的性质，折叠的性质，解直角三角，相似三角形的判定，综合运用以上知识是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，分别作出底边上的高为即，底边上的高为即，

在中，，
在中，，
，
故选：．
分别作出底边上的高为即，底边上的高为即，再利用锐角三角函数分别表示出和即可选出正确答案．
本题考查解直角三角形相关知识，本题理解题意构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
，
由勾股定理可知：，，
设，
，
，
解得：，
，
，
故选：．
过点作于点，根据勾股定理可求出，，设，再由勾股定理可求出的值，从而可的正弦值．
本题考查解三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，
答：后他们之间的距离为，
故选：．
根据题意得到，，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：甲船沿北偏西方向航行，乙船沿南偏西方向航行，两船的航行速度相同，
，，
，
，
点位于点的南偏西的方向上，
故选：．
由甲船沿北偏西方向航行，乙船沿南偏西方向航行，得出的度数，由两船的航行速度相同，得出，
得出，以及求出的度数，得出点位于点的方向．
此题主要考查了方向角问题，关键是由已知得出各角的度数，进而得出所求问题中度数．
 

10.【答案】 

【解析】解：在中，，千米，
，
，
千米，千米，
，
为等腰直角三角形，
千米，
千米．
故选：．
在中，，千米，，，可求出，，根据，可知为等腰直角三角形，即可得，最后根据即可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、等腰直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：坡面的坡度为：，
，
．
故选：．
由坡面的坡度为：，可得，再根据勾股定理可得．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，理解坡度的定义是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设米，
斜坡的坡度为：，
米，
由勾股定理得：，
解得：，
则米，米，
由题意可知，四边形为矩形，
米，，
在中，，
则，
在中，，
，
解得：，
山高米，
故选：．
设米，根据坡度的概念用表示出，根据勾股定理求出，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：中，，，，
．
故答案为：．
根据锐角三角函数的定义知，将相关线段的长度代入计算即可．
本题主要考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，解答本题的关键有两点，掌握菱形的四边相等，理解三角函数的定义，及各三角函数在直角三角形中的表示形式．
根据菱形的性质，作轴，先利用三角函数求出、的长度，从而得出点坐标，然后利用菱形的性质求得点的坐标．
【解答】
解：作轴于，
由题意可得，，
，，
点的坐标为，
则点的坐标为．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于．
，，
，
，
．
故答案为：．
过点作于，解直角得出，再解直角，得出．
本题考查了解直角三角形，含角的直角三角形的性质，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：大正方形的面积是，
，
小正方形的面积是，
小正方形的边长为，
，
设，则，
由勾股定理得，，
解得或负值舍去，
，，
，
故答案为：．
根据两个正方形的面积可得，，设，则，由勾股定理得，，解方程可得的值，从而解决问题．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出的长是解题的关键．
 

17.【答案】解：在中，， 

，
可设，，则，
， 
， 
． 

【解析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，设，，则，即可分别求解．
 

18.【答案】解：如图：

，，，
，
． 

【解析】本题考查了勾股定理及其应用，锐角三角函数的求法解答本题的关键是理解锐角三角函数的概念首先利用勾股定理求出线段的长，然后根据锐角三角函数的概念求出的值即可．
 

19.【答案】解：，，，
，
．
答：的长为，的值为． 

【解析】根据勾股定理求的长，根据正弦的定义求的值．
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式

，
，
原式． 

【解析】直接利用分式的加减运算法则将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，结合特殊角的三角函数值代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值、分式的混合运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
 

21.【答案】解：

；



，
当时，原式． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可化简题目中的式子，再将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、实数的运算、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：在中，，，
，
，
，
；
取的中点，连接，
是的中点，
，
，
，点是的中点，
，
由勾股定理得：，
在中，，，，
，
，即的余弦为． 

【解析】根据正切的定义求出，根据勾股定理求出；
取的中点，连接，根据梯形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据余弦的定义解答即可．
本题考查的是梯形中位线定理、正切和余弦的定义、勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】证明：在矩形中，，，
又，
四边形是平行四边形．
．
；
解：，，
．
，
．
，
．
由勾股定理得：，
矩形的面积为． 

【解析】由矩形的性质，可得，欲求，证即可．可通过证四边形是平行四边形，从而得出的结论；
首先根据等腰三角形的性质得到的长，然后利用锐角三角函数求得的长，从而利用勾股定理求得的长，最后求得面积即可．
本题考查了矩形的性质，了解矩形的特殊性质是解答本题的关键，本题难度不大，但综合性较强．
 

24.【答案】解：过点作于，

由题意得，，，
在中，，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
在中，，
，
，
答：观光船从处航行到处的距离约为． 

【解析】过点作于，根据的正切值可得，则可得的长，再根据的正弦可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键．
 

25.【答案】解：由题意得，，，，
，
，
，
在的中点处，
米；
过作与，
在中，，
在中，，
米． 

【解析】根据已知条件得到，，，解直角三角形即可得到结论；
过作与，在中，求得，在中，求得，于是得到结论．
此题考查直角三角形的问题，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．