青岛版初中数学九年级上册第二单元《解直角三角形》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）

青岛版初中数学九年级上册第二单元《解直角三角形》单元测试卷

考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是，小正方形面积是，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，中，，，，于，若将绕点逆时针方向旋转得到，当点恰好落在上，连接则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

3. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是(    )

是的平分线；      

点在的中垂线上；      ：：．

A.  B.  C.  D.

4. 如图，，，若，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在中，，，，则为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，，，的垂线，交各边于点，，，，则四边形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在中，，，运用计算器计算，的度数为精确到(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，以下结论：；；；其中正确结论的个数为(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

9. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，，则房顶离地面的高度为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为：，斜坡长，则背水坡的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在某监测点处望见一艘正在作业的渔船在南偏西方向的处，若渔船沿北偏西方向以海里小时的速度航行，航行半小时后到达处，在处观测到在的北偏东方向上，则、之间的距离为(    )

A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里

12. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距米的、两点分别测定对岸一棵树的位置，在的正北方向，且在的北偏西方向，则河宽的长可以表示为(    )

A. 米 B. 米 C.  米 D. 米

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为______．

14. 如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，若，，则的值是______．

15. 如图，≌，，，点为中点，连结，在绕点旋转的过程中，当点落在直线上时，的值为______．

16. 小菁同学在数学实践活动课中测量校园路灯的高度．如图，已知她的眼睛到地面的距离为，她先站在处看路灯顶端的仰角为，再往前走站在处，看路灯顶端的仰角为，则路灯顶端到地面的距离约为______结果精确到已知，，，，，

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，在中，，于点．
     

作斜边上的中线，交于点要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明

在的条件下，已知，，求的长．

18. 如图，在正方形中，点在边上不与点，重合，连结，作于点，于点，设．
    求证：．
    连结，，设，求证：．
    设线段与对角线交于点，和四边形的面积分别为和，求的最大值．
     

19. 计算：；
    解不等式组：．
20. 如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接．
    求证：≌；
    若，，求矩形的面积．

21. 如图，已知在中，，平分，，、交于点．
    求证：；
    已知，，求的值．

22. 如图，已知是矩形对角线的交点，，，作，，，交于点．
    记，求的值．
    求四边形的周长与面积．

23. 如图，中，．
    尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点和点保留作图痕迹，不写作法；
    连接，若，求的长．
    在的条件下，______．

24. 某商场拟将地下一楼改建为地下停车库，将原步行楼梯入口改造为车库斜坡入口已知入口高，且，点处测得，新坡面坡角．
    求斜坡底部增加的长度为多少米？保留根号
    入口处水平线，地下停车库坡道入口上方点处有悬挂广告牌，，根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入，请求出限制高度为多少米？结果精确到，参考数据：，

25. 在某湖中有一瞭望台，小明在处测得沙滩标志物在南偏西的方向上，测得沙滩标志物在南偏西的方向上，标志物在标志物的正东方向，且米，参考数据：，，，
    求点到的距离；
    周末小华和小明在湖中游泳，当他们游到处时，在沙滩上的小西让他们回到处吃午餐，小明从处沿方向直接游到处，小华从处沿方向游到沙滩处，再沿方向快走到处．已知小华在沙滩上快走的速度为，小明和小华在水中游泳的速度均为请用数据说明，小明和小华谁先到达处？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义，正方形的面积，难度适中．
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【解答】
解：大正方形的面积是，小正方形面积是，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
，
，
．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．过点作于点，由锐角三角函数的定义求出，，由勾股定理求出的长，由旋转的性质得出，，，证出，设，，由勾股定理得出，求出可得出答案．
【解答】
解：过点作于点，

，，
，
，
设，
，
，
，
，，
，
将绕点逆时针方向旋转得到，
，，，
，
，
设，，
，
，
，
，
．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线的作图、线段垂直平分线的判定、特殊角的三角函数值，含度角的直角三角形的性质等知识根据作图的过程可以判定是的角平分线；利用角平分线的定义可以推知，再由直角三角形的性质来求的度数，进而得解；利用线段垂直平分线的判定可得；利用度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【解答】
解：根据作图方法可得是的平分线，故正确；
，，
，
是的平分线，
，
，
，故正确；
，，
，
点在的中垂线上，故正确；
，
，
，
，
，
，，

：：，故正确，
故选D．

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形等知识点，掌握相似三角形的判定和性质定理是解题关键．
首先证明∽，得出，然后在等腰直角三角形中求出，把数值代入计算即可．
【解答】
解：，
．
，
∽，
．
，，
．
，
，
，
．  

5.【答案】 

【解析】解：中，，，，
，
，
，
，
故选：．
由勾股定理得，则，再由直角三角形的性质即可得出的度数．
本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的判定等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，．

四边形是菱形，，
，，，
，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等边三角形，
，
同法可证，，，都是等边三角形，
，，
四边形的周长，
故选：．
证明是等边三角形，求出，同法可证，，都是等边三角形，求出，，，即可．
本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查在直角三角形中解题，根据角的正弦值求出三角形的角度根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后求出．
【解答】
解：，
可设，，，
由勾股定理得，
，

利用计算器可求得．
故选B

8.【答案】 

【解析】解：旋转得到，
，
为正方形，，，在同一直线上，
，
，故正确；
旋转得到，
，，
，
，
，
∽，
，
，故正确；
设正方形边长为，
，，
，
，
∽，
，即，
是等腰直角三角形，
，
，，
∽，
，即，解得：，
，
，故正确；
过点作交于点，

，
，
，
，
，
，，
，
，故正确
综上所述：正确结论有个，
故选：．
利用旋转的性质，正方形的性质，可判断正确；利用三角形相似的判定及性质可知正确；证明∽，得到，即，利用是等腰直角三角形，求出，再证明∽即可求出可知正确；过点作交于点，求出，再证明，即可知正确．
本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图，

它是一个轴对称图形，
，
，
，
在中，
，
．
房顶离地面的高度，
故选：．
过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，用即可表示出房顶离地面的高度．
本题主要考查了解直角三角形的意义，轴对称的性质，等腰三角形的三线合一，利用直角三角形的边角关系定理求得的长是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，

，
，
在中，，，
，
，
在中，，
，
，
故选：．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据已知易证，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义先求出，再进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．解题的难点是推知是等腰直角三角形．如图，根据题意易求是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求的长度．
【解答】
解：如图，，，
，
．
又，，，
．
在直角中，，
海里．
故选D．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
在直角三角形中，利用的长，以及的度数，进而得到的度数，根据三角函数即可求得的长．
【解答】
解：在中，
，，
，
，
，
即河宽米，
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，
，，
，
又点为边的中点，
，
在中，，
故答案为：．
过点作，由平行线平分线段定理可得是的中点，再根据三角函数的定义，可求出答案．
本题考查直角三角形的边角关系，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提，作高构造直角三角形是常用的方法．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
连接，由矩形的性质得出，，，证出，，由证明≌，得出，，即可得，证得是等腰直角三角形，得出，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
【解答】
解：连接，如图所示：

四边形是矩形，
，，，
，
，，
，
是的中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为．  

15.【答案】或 

【解析】解：设，
则在中，，，
，，
≌，
，，．
点为的中点，
．
过点作于点，
，
．
根据题意可知，需要分两种情况：
当点在射线的上时，如图，

在中，由勾股定理可知，，
，
．
当点在射线上时，如图，

在中，由勾股定理可知，，
，
．
综上，的值为或．
故答案为：或．
设，则，，由点为的中点，可得过点作于点，所以，所以当点落在直线上时，需要分两种情况讨论，分别画出图形，求解即可．
本题主要考查全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，分类讨论思想等相关知识，解题的关键是进行正确的分类讨论，画出正确的图形．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为点，交于点，

则，，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
，
路灯顶端到地面的距离约为，
故答案为：．
过点作，垂足为点，交于点，则，，，设，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，即为所求

，
，
，
，
，
点为的中点，
． 

【解析】根据要求作出图形即可；
根据锐角三角函数的定义得出，进一步得出，再利用直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
本题考查作图基本作图，直角三角形斜边上的中线，锐角三角函数的定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
≌，
，
由知，，
，
∽，
，

在中，，
在中，，
，
；
方法、如图，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
∽，
，
，
设的边上的高为，的边上的高为，
∽
，

，
，

时，的最大值为

方法、如图，

设正方形的边长为，
连接交于，过作交于，于，
设，，
，
，
，，
，





，
时，的最大值为． 

【解析】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，比例的性质，判断出是解本题的关键．
利用同角的余角相等判断出，进而得出≌，即可得出结论；
先判断出∽，进而得出，再根据锐角三角函数即可得出结论；
方法、先判断出，再判断出，即可得出结论．
方法、先表示出，，即可得出结论．
 

19.【答案】解：


；

，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是． 

【解析】先根据负整数指数幂，绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值进行计算，再算加减即可；
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算和解一元一次不等式组等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解的关键，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解的关键．
 

20.【答案】证明：四边形为矩形，

，，．
．
，
．
，
．
，
在与中，
，
≌ ；
解：≌，
，
，
，
，
在中，，
，
解方程，得，
． 

【解析】根据矩形的性质和证明≌ 即可；
根据全等三角形的性质和矩形的面积公式解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
 

21.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
；
解：过点作，垂足为，

，
，，，
，
，，，
≌，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
在中，，
的值为． 

【解析】根据角平分线和等腰三角形的性质可证，即可解答；
过点作，垂足为，先在中，利用勾股定理求出的长，再证明≌，从而利用全等三角形的性质可得，进而求出的长，然后证明∽，利用相似三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：在矩形中，，，
，
，
，
；
解：，，
四边形是平行四边形，
在矩形中，，
，
四边形是菱形，
四边形的周长为，
，
四边形的面积为． 

【解析】根据矩形的性质，由勾股定理得出的长，根据平行线的性质得出，进而解答即可；
得出四边形是菱形，进而得出周长，再求出面积即可．
此题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，关键是根据矩形的性质，由勾股定理得出的长解答．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图，直线即为所求；


如图，

点在的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
负值已经舍去，
；

过点作于点．
，，
，
．
故答案为：．
根据要求作出图形即可；
求出证明，再利用相似三角形的性质证明即可；
过点作于点求出，可得结论．
本题考查作图基本作图，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：，
，
在中，，，
，
在中，，
，
，
斜坡底部增加的长度为；
延长交于点，过点作，垂足为，

由题意得：
，，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
限制高度约为米． 

【解析】根据垂直定义可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，进行计算即可解答；
延长交于点，过点作，垂足为，根据题意可得，，从而求出，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了含度角的直角三角形，解直角三角形的应用坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，过点作，交的延长线于点，
由题意得，米，，，
，
设米，则米，米，
在中，，
，
，即，
米，
答：点到的距离为米；
由得，米，米，
米，
米，
小明所用的时间为秒，
小华所用的时间为秒，
由于，
所以小华先到处． 

【解析】通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系列方程求解即可；
根据勾股定理求出，的长，进而计算出小明、小华所用的时间即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．