第2章 解直角三角形单元测试（A卷基础篇）（含解析）-2024-2025学年九年级上学期数学同步单元检测AB卷(青岛版)

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青岛版9上数学第2章解直角三角形单元测试（ A卷基础篇）（含解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，在中，，，则的值为(    )A. 2B. 3C. D. 2.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为(    )A. B. C. D. 3.在中，，，，那么下列结论正确的是(    )A. B. C. D. 4.在中，，，，则AC等于(    )A. 3 B. 4 C. D. 65.如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足，则的正切值是(    )A. B. 7C. D. 6.如图，在中，，点D在AC上，若，，则BD的长为(    )A. B. C. D. 47.在中，，，，则(    )A. B. C. D. 8.如图，边长为2的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕原点O旋转，则旋转后顶点D的坐标为(    )A. B. C. D. 9.如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在处，，垂足为若，，则A. B. C. D. 10.如图1是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支撑杆的端点A离地面的高度AE为(    )A. B. C. D. 第II卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到，使点与点C重合，连接，则的值为__________.12.如图，在中，，，，则AC的长为__________.13.如图，将矩形ABCD折叠，使得点D落在AB边的三等分点G上，且，点C折叠后的对应点为H，折痕为EF，连接BH，若，，则BH的长为______.14.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则____.15.在中，若、满足，则__________.16.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点E，则__________.三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.本小题6分自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：求斜坡CD的长．结果保留根号18.本小题6分如图，在中，，垂足为若，，求的值.19.本小题8分某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为和，求桥AB的长度．20.本小题8分龙光塔落座于江门市江海区白水带风景名胜区最高点的牛山上，为十一层仿宋琉璃瓦塔，是广东省最高的八角琉璃瓦仿古塔.登上龙光塔顶层，极目远眺，整个江门市区的建筑、河流、山川、田野尽收眼底，呈现出一幅美丽的侨乡画卷.小明某日携带好友到龙光塔游玩，并用无人机拍下多幅漂亮的照片.期间，他还利用无人机的测量功能，不断调整距离和角度，以期找到最佳的拍摄位置.如图为其中一个拍摄情景.已知龙光塔高为AB，当无人机位于空中点P位置时，测得与塔身距离米，俯角，仰角，根据无人机获得的数据，请计算出龙光塔高结果精确到整数位参考数据：，，21.本小题10分如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为秒，已知，求B，C之间的距离；保留根号如果此地限速为，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．参考数据：，22.本小题10分三晋名刹双塔寺，本名“永祚寺”，位于山西省太原市城区东南方向，距市中心4公里左右的郝庄村南之向山脚畔.这里绿树红墙，宝塔梵殿，碑碣栉比，花卉溢香，松柏凝翠，古香古色.数学兴趣小组在周末时间参观了双塔寺，对寺内“舍利塔”的高度做了测量，如图所示，点A为塔底中心点，观测者小明在点D测得塔顶B的仰角为，沿着DA向前走40米到达点C，此时测得塔顶B的仰角为，测量时点A，C，D在同一水平直线上，且与点B在同一竖直平面内，根据该小组所获得的数据，请你求出塔AB高度是多少？结果精确到整数，参考数据，，23.本小题12分山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面如图所示已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，求的度数；求结果精确到个位，参考数据：，，24.本小题12分如图，王聪学了《解直角三角形》内容后，想借助无人机测量高楼AB的高度，他先在高楼前距离高楼180米米的C处测得高楼的观光台D处的仰角为，然后遥控无人机旋停在点C的正上方的点E处，测得高楼顶部B处的仰角为，D处的俯角为点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，A，C在同一水平线上填空：______度，______度；求无人机离地面的高度结果保留根号；求高楼AB的高度结果保留根号答案和解析1.【答案】D 【解析】解：在中，，，，设，则，，则的值为：故选：直接根据题用同一未知数表示出三角形各边长，进而得出答案．此题主要考查了同角三角函数关系，正确表示出各边长是解题关键．2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，过点A作于利用勾股定理求出AC即可解决问题．【解答】解：如图，过点A作于在中，，，，，故选：3.【答案】B 【解析】解：中，，，，，，，，故选：先利用勾股定理计算出，然后根据正弦、余弦和正切的定义对各选项进行判断．本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角的正弦、余弦和正切的定义是解决问题的关键．4.【答案】A 【解析】解：在中，，则故选：首先由正切的定义得到：；接下来再代值进行计算，即可得到题目的结论．本题是锐角三角函数的知识，熟练掌握正切等于对边比邻边并灵活运用是解决本题的关键．5.【答案】A 【解析】解：连接OD，，O是AB中点，，点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，，故选：连接OD，证明点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，把求的正切值转化为求的正切值．本题考查了解直角三角形，掌握四点共圆的证明及三角函数的应用是解题关键，其中连接OD，证明点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上是本题的难点．6.【答案】C 【解析】解：，，，，，，，故选：在中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在中由三角函数求得本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．7.【答案】A 【解析】【分析】本题考查锐角三角函数的定义．在中，利用锐角三角函数的定义求出，然后利用勾股定理求出，最后利用锐角三角函数的定义即可解答．【解答】解：在中，，，，，，8.【答案】A 【解析】解：多边形ABCDEF是正六边形，，，，在中，，，如图，连接BD，过点C作于点H，则，，在中，，，点，该图形绕原点O旋转后点D的坐标为故选：先利用正多边形的性质可得，，从而可得，再利用解直角三角形可得OA长，进而可得OB长，连接BD，过点C作于点H，则，，再利用解直角三角形可得BH长、BD长，即可得点D的坐标，最后利用旋转的特征即可得到旋转后点D的坐标．本题主要考查正多边形与解直角三角形，结合已知条件构造合适的辅助线是解题关键．9.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是折叠的性质，锐角三角函数的定义，菱形的性质，勾股定理有关知识，过点E作于点H，由折叠的性质可得，，由菱形的性质可得，，，结合，易得，进而可得，利用勾股定理解得；再证明为等腰直角三角形，可得；然后利用三角形函数，，可得BE，BE，易得，求解即可获得答案．【解答】解：过点E作于点H，如下图，则，，，，由折叠的性质可得，，，四边形ABCD为菱形，，，，，即，，，，，，，，，BE，BE，，cm.10.【答案】B 【解析】解：，，，，，在中，，故选：根据等腰三角形的性质可得的度数，再根据正弦的定义可得答案．此题考查的是解直角三角形的应用，掌握等腰三角形的性质及正弦的定义是解决此题的关键．11.【答案】 【解析】如图，过作，垂足为D，则在等腰直角三角形中，是底边上的中线，，12.【答案】 【解析】如图，过A作于D，则，，，，，在中，由勾股定理得，故答案为13.【答案】 【解析】解：作交AB的延长线与N，作交AD于M，连接DG交EF于L，四边形ABCD为矩形，，，，，由折叠的性质，，，EF垂直平分DG，，，，，，设，三等分AB，则，，，，，，，，即，，，，即解得或舍去，，，，设，则，，即，解得，即，，，故答案为：作交AB的延长线与N，作交AD于M，连接DG交EF于L，，，根据折叠和矩形的性质以及解直角三角形的知识，分别表示FM和ME，借助勾股定理即可求得k的值，在中解直角三角形求得HN和NG，从而求得BN，利用勾股定理即可求得本题考查解直角三角形，矩形的性质和判断，勾股定理，折叠的性质．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．14.【答案】 【解析】【分析】本题考查了锐角三角比的定义，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，构造出一个锐角等于的直角三角形是解题的关键．利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，进而可得，，设等边三角形的边长为a，则，，由勾股定理求出AD的长，再利用余弦的定义即可得出结论．【解答】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示．在中，，，同理可得又，设等边三角形的边长为a，则，，，，，故答案为15.【答案】 【解析】略16.【答案】 【解析】略17.【答案】解：，米，坡度为1：，，，米，米，米，，斜坡CD的坡度为1：4，，即，解得，，米，答：斜坡CD的长是米． 【解析】根据题意和锐角三角函数可以求得AE的长，进而得到CE的长，再根据锐角三角函数可以得到ED的长，最后用勾股定理即可求得CD的长．本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．18.【答案】在中，，，所以，所以在中，，所以，，所以 【解析】见答案19.【答案】解：如图示：过点C作，垂足为D，由题意得，，，米，在中，米，在中，，米，米答：桥AB的长度为米． 【解析】过点C作，垂足为D，根据在C处测得桥两端A，B两点的俯角分别为和，可得，，利用特殊角的三角函数求解即可．本题考查了解直角三角形的应用，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．20.【答案】解：如图，由题意得，米，，，在中，米，，米，在中，米，，米，米米，答：龙光塔高AB约为79米． 【解析】根据锐角三角函数的定义以及直角三角形的边角关系求出AQ，BQ即可．本题考查解直角三角形的应用，理解仰角、俯角的定义以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．21.【答案】解：如图作于则，在中，，，在中，，，，结论：这辆汽车超速．理由：，汽车速度，，这辆汽车超速． 【解析】如图作于则，求出CD、BD即可解决问题．求出汽车的速度，即可解决问题，注意统一单位；本题考查解直角三角形的应用，锐角三角函数、速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：由题意得：，米，设米，米，在中，，米，在中，，米，，解得：，米，塔AB高度约为55米． 【解析】根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．23.【答案】解：如图所示，将BA延长交EF于点M，，，，，；过点A作于点D，，，，，，米，米，答：CD的长为8米． 【解析】将BA延长交EF于点M，根据三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解；过点A作于点D，得出，，分别求得CN，AN，DN，进而根据，即可求解．本题考查了解直角三角形的应用；掌握三角函数概念是关键．24.【答案】90 75 【解析】解：作，垂足为F，，，四边形ACEF是矩形，，，，；由得四边形ACEF是矩形，米，在中，米，在中，米，米；在中，，，米．作，得到四边形ACEF是矩形，据此求解即可；在和中，分别求得AD和DF的长，据此求解即可；在中，求得BF的长，据此求解即可．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．