2021-2022学年山东省东营市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省东营市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 在复平面内，复数对应的点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 一个棱长为的正方体的个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积和体积之比值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若向量，满足，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在中，，则角是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在直角梯形中，，，，，，现在以所在直线为轴旋转一周，其他各边旋转形成的平面围成的几何体的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若向量，，则在上的投影为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 下列结论正确的有(    )

A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B. 等底面积、等高的两个柱体，体积相等
C. 有两个面是平行的相似多边形，其余各面都是梯形的几何体是棱台
D. 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，菱形的直观图还是菱形

10. 在中，下列命题正确的是(    )

A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则是等边三角形

11. 已知函数，，则(    )

A.  B.  在区间上只有个零点
C.  的最小正周期为 D. 为图象的一条对称轴

12. 在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是(    )

A. ，
B. 当点为中点时，
C. 的最大值为
D. 满足的点有且只有一个

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 的值是          ．
14. 若复数满足，其中为虚数单位，则______．
15. 已知在平面内，向量，，，，，则的最大值为______，的最小值为______．
16. 已知圆心角为的扇形的半径为，是弧上一点，作矩形，如图所示．这个矩形的面积最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知复数，，，为虚数单位．
    Ⅰ若是纯虚数，求实数的值；
    Ⅱ若，求的值．
18. 已知，．
    求的值；
    求的值．
19. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且．
    求角；
    若，，求的面积．
20. 如图，正四棱锥中，是这个正四棱锥的高，是斜高，且，．
    求这个四棱锥的全面积；
    分别求出该几何体外接球与内切球的半径．

21. 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得山顶在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，测得山顶位于北偏东方向上，此时测得山顶的仰角已知山高为．
    求船的航行速度；
    若该船继续航行分钟到达处，问此时山顶位于处的南偏东什么方向？

22. 对于函数，，任意，，且，，，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为上的“完美三角形函数”．
    设，，若函数是上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；
    在满足且的条件下，令函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
复数对应的点的坐标为，在第一象限．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为

．
故选：．
直接利用两角和的余弦公式代入即可求出结论．
本题主要考查两角和与差的余弦公式的应用．在应用两角和与差的余弦公式时，一定要注意公式中的符号的写法，避免出错．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意知正方体外接球的直径为，
．
故选：．
根据正方体外接球的表面积和体积公式计算．
本题考查了正方体外接球的表面积和体积公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由，，，，可得，
所以，
故选：．
运用向量模的公式直接求解．
本题考查向量模的计算，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由，根据正弦定理得，
所以，所以，
所以，所以．
故选：．
由正弦定理可得，利用两角和公式可得，可求．
本题考查了利用正弦定理解三角形，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：在直角梯形中，，，，，，
现在以所在直线为轴旋转一周，形成的几何体是圆台，
圆台的上底圆半径为，下底圆半径为，高为，
旋转形成的平面围成的几何体的体积为：
．
故选：．
旋转一周，形成的几何体是圆台，圆台的上底圆半径为，下底圆半径为，高为，由此能求出旋转形成的平面围成的几何体的体积．
本题考查旋转体性质、台体的结构特征和体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，．
所以根据数量积公式和模长公式可得：，．
根据投影公式可得：．
故选：．
根据向量投影的定义计算在上的投影即可．
本题考查了向量在向量方向上的投影向量的运算，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
则，
故选：．
先利用任意角的三角函数的定义求出和，再利用两角和与差的三角函数公式即可求出的值．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，以及两角和与差的三角函数公式，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由直棱柱的定义和性质可知A正确；
由柱体体积公式得B正确；
如果侧棱延长线不共顶点，也可能不是棱台，C错误；
菱形的直观图一定是邻边不等的平行四边形，也可能是矩形，D错误．
故选：．
利用棱柱、棱台的定义，分别进行判断，即可得出结论．
本题考查简单多面体棱柱、棱台及其结构特征，考查学生对概念的理解，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：选项，若，则或，
所以或，即是等腰三角形或直角三角形，故A错误；
选项，，满足，不是直角三角形，故B错误；
选项，若，则，，有且仅有一个为负，
不妨设，，即是钝角三角形，故C正确；
选项，若，
则，，，
则是等边三角形，故D正确；
故选：．
根据正弦函数性质确定角关系，进而判断三角形形状；根据诱导公式确定角关系，进而判断三角形形状；根据三角函数符号确定角大小，进而判断三角形形状；根据余弦值有界性确定角关系，进而判断三角形形状．
本题考查判断三角形形状、三角函数性质，考查基本分析求解判断能力，属基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式、辅助角公式和三角函数的性质，属于中档题．
利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，再利用三角函数的性质对每一个选项进行判断即可．

【解答】

解：已知函数
，，
则对于，正确，
对于，当，，即，， 在区间上只有个零点，故B错误．
对于， 的最小正周期为，正确．
对于，当时，函数，，
所以为图象的一条对称轴，正确．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，建立如图空间直角坐标系：
可得各点坐标：，，，．
可以设点坐标为．
由图像可知：，．
对于选项：由题干可知：，故得到：，，所以A正确．
对于选项：当点作为中点时，，，解得：，所以B正确．
对于选项：由题中信息可知：．
又因为，故当时，可以取得最大值，并且最大值为，故C正确．
对于选项：因为，并且，故令．
可知点不唯一，故D错误．
故选：．
建立空间直角坐标系，求出个点坐标，再利用题干构建方程，依次判断即可．
本题考查了平面向量的坐标运算及应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力．
方法一：利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．
方法二：利用两角和与差的三角函数公式化简求解即可．

【解答】

解：方法一：

．
方法二：原式

．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：设，
由，得，即，
，，
则，
．
故答案为：．
设，代入，利用复数相等的条件求得，，则可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
 

15.【答案】   

【解析】解：因为，，，．
所以可以设，．
可以得到，并且．
故．
根据圆的性质，可以得出如图两种情况：

如果四点都在圆上，即如上左图所示，则可知是直径时，故可以得到取得最大值，最大值为．
如果三点在圆上，是次元的圆心时，即如上右图所示，此时半径为，故可以得到取得最小值为．
故答案为：；．
可以设，，则根据圆的性质可以得到两种情况，分情况去讨论求值，即可求出最大值和最小值．
本题考查了向量的长度模的最值问题，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，扇形的半径为，圆心角为，
则，，


，
，
，
当，即时，
取得最大值，最大值为．
故答案为：．
设，扇形的半径为，圆心角为，则，，再结合矩形的面积公式，以及三角函数的恒等变换，即可求解．
本题考查解三角在平面几何的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：，，
，
是纯虚数，
，解得．
，
，解得，
，，
． 

【解析】结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．
结合实数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数和实数的定义，属于基础题．
 

18.【答案】解：，解得，
因为，所以，又，
解得或，又因为，所以；
，
所以． 

【解析】利用两角和的正切公式可求，再利用同角三角函数间的关系可求的值；
，可求值．
本题考查两角和的正切公式、余弦公式的应用，同角三角函数关系的应用，属中档题．
 

19.【答案】解：因为向量，且，
所以，由正弦定理得，
又因为，所以，因为，
所以；
由余弦定理得，因为，
所以，即因为，所以，
故的面积为． 

【解析】由向量平行得出关系式后，再由正弦定理化边为角可求解；
由余弦定理得，代入，后，求得，代入三角形面积公式即可求解．
本题考查利用正、余弦定理解三角形，三角形面积公式的运用，考查向量的数学运算，属于基础题．
 

20.【答案】解：如图所示：

正四棱锥中，是这个正四棱锥的高，是斜高，且，；
所以，故AB；
所以．
设外接球的半径为，设球心所在的位置为所在的直线，
所以，解得，
设内切球的半径为，
利用等体积转换法：，
解得． 

【解析】直接利用锥体的性质求出锥体的表面积；
利用勾股定理的应用建立，进一步求出外接球的半径，进一步利用等体积转换法的应用求出球的内切球的半径．
本题考查的知识要点：正四棱锥的性质，锥体的体积公式，锥体的外接求和内切球，等体积转换法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：在中，，，解得，
在中，，，，
所以，
所以，
船的航行速度是每小时千米．
在中，，，，
由余弦定理可得，解得
，
在中，由正弦定理可得，
所以，所以，
所以山顶位于处的南偏东方向． 

【解析】在中，结合三角形的性质，求出的值，再结合正弦定理，即可求解．
在中，运用余弦定理，先求出，再结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：根据题干可知：．
则可以得到的解析式为：．
由题意可知，为完美三角形函数，所以，则．
故得到如下三种情况：
当时，所以，则由题意可得：，解得；
当时，所以，则由题意可得，解得；
当时，所以，满足要求．
综上所述：
．
则可以设，故，其中．
可以得到：．
由题意可知：对于所有的，都要有，使成立．
则只需满足：，即．
所以． 

【解析】用数量积公式求出的解析式，由辅助角公式化简，分类讨论求出范围．
将展开并换元，由已知条件转化为求最值．
本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图像与性质，平面向量的坐标运算，不等式的存在性问题，属于较难题．