2021-2022学年山东省日照市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省日照市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若点在角的终边上，则实数的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知函数在单调递减，在单调递增，则的最小正周期为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条(    )

A. 相交 B. 异面 C. 相交或异面 D. 平行

5. (    )

A.  B.  C.  D.

6. 在正方形中，为的中点，为的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 方程的实根个数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知的三个内角，，满足，则(    )

A. 是锐角三角形 B. 角的最大值为
C. 角的最大值为 D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 下列各组向量中，可以作为基底的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10. 已知直线，，平面，，给出下列命题中正确的是(    )

A. 若，，且，则
B. 若，，且，则
C. 若，，且，则
D. 若，，且，则

11. 已知函数，则下列说法正确的是(    )

A. 是的周期 B. 的最小值为
C.  D. 在上有两解

12. 已知正方体，为对角线上一点不与点，重合，过点作垂直于直线的平面，平面与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论正确的是(    )

A. 只可能为三角形或六边形
B. 直线与直线所成的角为
C. 当且仅当为对角线中点时，的周长最大
D. 当且仅当为对角线中点时，的面积最大

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 棱长为的正方体的外接球的表面积为          ．
14. 若函数部分图像如图所示，则函数的图像可由的图像向左平移______个单位得到．

15. 九章算术中方田章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积弦矢矢矢弧田是由圆弧弧田弧和以圆弧的端点为端点的线段弧田弦围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差现有一弧田，其弧田弦等于米，其弧田弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则           ．
16. 已知不共线向量，夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为______．

四、解答题（本大题共6小题，共72分）

17. 在平面直角坐标系中，，，向量．
    若，求的值；
    若，求的值．
18. 已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，侧棱与底面所成的角为，，，，．
    求证：平面平面；
    若为的中点，求三棱锥的体积．

19. 已知、、为的三个内角，向量与共线，且．
    Ⅰ求角的大小；
    Ⅱ求函数的值域．
20. 已知在四面体中，，，点，，，分别为棱，，，上的点，且，，，．
    Ⅰ当时，求证：平面；
    Ⅱ当变化时，求证：平面平面．

21. 如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，索道长为，经测量，．
    求的长；
    问：乙从出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？
    为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？

22. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为．
    已知，，若函数为集合中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；
    已知点满足条件：，，若向量的“相伴函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围；
    当向量时，“相伴函数”为，若，方程存在个不相等的实数根，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数求值即可．
本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值，考查计算能力．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为点在角的终边上，
所以三角函数定义得，
所以．
故选：．
由已知利用任意角的三角函数的定义以及诱导公式即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于基础题．
由题意利用余弦函数的图象和性质，求得的值，从而得出结论．

【解答】

解：由函数在单调递减，在单调递增，
由题意，结合余弦函数图像可得，当 时，在轴的右侧第一次取得最小值，
，
，最小正周期，
故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题以判断两条直线的位置关系为载体，着重考查了立体几何的平行直线、异面直线等最基本的概念，属于基础题．给出几何体模型加以判别，是解决本题的关键．
因为直线与两条平行线中的一条直线成为异面直线，故它与另一条直线不可能平行，由此可得另一条直线与该直线可能相交，也可能异面．然后可以在正方体模型中，找出符合题意的位置关系，从而得到正确答案．
【解答】
解：举例说明：给出正方体模型，如右图
直线与直线平行，且直线与直线异面
此时，直线与直线相交；
直线与直线平行，且直线与直线异面
此时，直线与直线异面；
综上所述，一条直线与两条平行线中的一条异面，
则它与另一条可能相交，也可能异面．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数公式，化简求解即可．
本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数公式的应用，基本知识的考查．

【解答】

解：

．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：
．
故选：．
可画出图形，根据向量加法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算即可表示出向量．
本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，或时，，，两者无交点，
的周期为，在上含有个周期，在含有个周期，
，，在增区间上，在的增区间上，
因此在上的每个区间上，
与的图象都是两个交点，共个交点，即原方程有个解．
故选：．
设，，求出函数的周期，由的最大值为，时，，利用的周期，得出两者图象交点个数，从而得出结论．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对于，，
运用正弦定理可得，，即，
角为钝角，故选项A错误；
对于，，
运用余弦定理可得，化简可得，
，
当且仅当，即，取等号，
的最小值为，
又，
，故B选项错误；
对于，，
，
，
角为钝角，
，
，即，
，
当时，，，
即可取到大于的值，故选项C错误；
对于，角为钝角，
为的最大边，，
，
，
，
由正弦定理可得，，故D正确，
故选：．
对于选项，利用已知条件，运用正弦定理，可得，即可求解；
对于选项，运用余弦定理，以及均值不等式，即可求解；
对于选项，对原式利用三角函数的两角和公式，可得，再运用正切函数的两角和公式，可得的表达式，最后对取特殊值，即可解答；
对于选项，结合为的最大边，以及正弦定理做等量变换，即可求解．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理，以及均值不等式的应用，也考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，需要较强的综合能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，零向量与任意向量共线，与共线，A错误，
，，与不共线，B正确，
，，与不共线，C正确，
，，与共线，D错误，
故选：．
利用基底的定义，判断两个向量是否共线，即可得到结果．
本题考查向量共线的坐标运算，考查基底的定义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：若，，则或，又，则，故A正确；
若，，且，则或与相交，故B错误；
若，，则或，，则或与相交，相交也不一定垂直，故C错误；
若，，则，又，则，故D正确．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
是以为周期的函数，故A正确．
当时，，
则，，函数的最小值为，故B错误，
由，故C错误；
，，
在上有两解，
故选：．
利用正余弦函数的性质逐项计算可判断每个选项的正确性．
本题考查考查了三角恒等变换以及三角函数的性质应用问题，也考查了命题的真假性判断问题，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：正方体，体对角线与平面垂直，则平面，
若向点方向平移，则为三角形，若向点方向平移，则可能为六角形，A正确；
平面，直线与直线的夹角为，B正确；
当为对角线中点时，为正六边形，
而三角形为等边三角形，根据中位线定理，，易得两个截面周长相等，故C错误；
对于，当为对角线中点时，为正六边形，
设边长，面积为，当向下移动时，为六边形，
结合图形可知，两邻边一条增大，一条减小，且变化量相等，
设，，，
而且所有六边形的高都相等，且等于，两邻边夹角都为，
则，
当为三角形时，面积最大为，而，
当且仅当为对角线中点时，的面积最大，故D正确．

故选：．
由与平面垂直，可得平面，结合正方体的特征即可判断，根据平面即可判断，根据三角形为等边三角形，由中位线定理，，易得两个截面周长相等，可判断，由等边三角形，正六边形，以及一般的六边形的面积作比较即可判断正六边形时面积为最大．
本题考查了正方体中的截面的问题，异面直线所成角的计算，以及面积的最值问题，属于综合题．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正方体与球的知识，是基础题．
直接应用正方体的外接球的概念以及正方体棱长与其外接球的直径之间的数量关系，球的表面积的计算公式可得．

【解答】

解：正方体的棱长为，设正方体外接球的半径为，
则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：
，即；
所以外接球的表面积为：．
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】解：由图知，由五点作图法，得，解得，
，
函数的图像可由的图像向左平移个单位得到，
故答案为：．
由图可求得的解析式，再利用函数的图象变换可得答案．
本题考查由的部分图象确定其解析式及函数的图象变换，考查识图能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数值得求解，主要考查了扇形面积公式的应用，同角三角函数关系以及二倍角公式的应用，考查了化简运算能力与转化化归能力，属于中档题．
由弧田面积求出矢为，设半径为，利用圆心到弧田弦的距离与半径的关系，求出和，利用边角关系求出，由二倍角公式求出，最后由同角三角函数关系求解即可．

【解答】

解：如图，

由题意可得，弧田的面积矢矢平方米，解得矢或矢舍，
设半径为，圆心到弧田弦的距离为，则有，解得，，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】解：已知不共线向量，夹角为，，，，，
则，
所以，
又在处取最小值，且，
由二次函数图像的性质有：当时，取最小值，
即，
解得，
又，
即，
故答案为：．
由平面向量模的运算结合二次函数图像的性质有，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了向量模的运算，属基础题．
 

17.【答案】解：由题意可得，
，，
，解得．
，，
，解得． 

【解析】根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题．
 

18.【答案】证明：平面平面，平面平面，，
平面，
．
又，，
平面，
又平面，
平面平面；
解：由可知，平面，平面，
则平面，C.
点到平面的距离等于，又侧棱与底面所成的角为，
．
，．
则，
． 

【解析】本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查多面体的体积的求法，是中档题．
由已知条件可求出平面，再利用线面垂直、面面垂直的判定即可证得结论；
结合可得，进一步求出的面积，然后利用等体积法即可求出三棱锥的体积．
 

19.【答案】解：Ⅰ由题设知：；
；
；
又为三角形内角，所以；
由知为锐角；
；
Ⅱ由Ⅰ及题设知：；
所以：；
又；
；
；
；
因此函数的值域为． 

【解析】Ⅰ根据平行向量的坐标关系即可得到，这样即可解出，而由为三角形的内角及，从而判断出为锐角，这样即可求出；
Ⅱ由便得，从而得到，这样利用二倍角的余弦公式及两角差的正余弦公式即可化简原函数，由前面知，从而可得到的范围，结合正弦函数的图象即可得到的范围，这样即可得出原函数的值域．
考查平行向量的坐标的关系，，向量数量积的计算公式，已知三角函数值求角，以及三角形的内角和为，二倍角的余弦公式，两角差的正余弦公式，要熟悉正弦函数的图象．
 

20.【答案】证明：Ⅰ当时，，
四面体中，，，
点，，，分别为棱，，，上的点，，，，
，，又，，
平面平面，
平面，平面．
Ⅱ，，点，，，分别为棱，，，上的点，
，，，．
，，，
，平面，
，平面，
平面，
当变化时，平面平面． 

【解析】Ⅰ当时，，推导出，，从而平面平面，由此能证明平面．
Ⅱ推导出，，，从而平面，平面，由此能证明当变化时，平面平面．
本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

21.【答案】解：在中，因为，，
所以，，
，
由正弦定理，，
所以的长为米．
假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，
所以由余弦定理得，
由于，即，
故当时，甲、乙两游客距离最短．
由正弦定理，
，
甲共需要分钟，乙已经用去分钟．
乙从出发时，甲已走了米，还有米到达．
设乙步行的速度为，由题意得解得，
所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在单位：范围内． 

【解析】先利用两角和的正弦公式求得，再根据正弦定理求出的长；
设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，由余弦定理可求的范围；
设乙步行的速度为，由题意得，即可求出的取值范围．
本题考查了正余弦定理的应用，锐角三角函数定义，属中档题．
 

22.【答案】解：证明：，
函数的相伴向量，
即，
又，
时，；时，，
的取值范围为；
的相伴函数，其中，，
当，，即，时，取得最大值，
，
，

．
；
，
当时，，
由，得：，
或，
由，即，
又，解得或，
即在上有两个根，
则方程在上存在个不相等的实数根，
等价于当且仅当且在上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，如图所示，
由方程在上有两个不等实根等价于函数在上的图像和直线有两个公共点，
观察图像知：或，
解得或，
所以实数的取值范围是，． 

【解析】由平面向量的模的运算，结合三角函数的有界性求解即可；
由辅助角公式及三角函数的性质可得，然后求解即可；
由，得：，可得或，又，可得或，则方程在上存在个不相等的实数根，等价于当且仅当且在上有两个不等实根，在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，观察图像求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数的图像及数形结合的数学思想方法，属中档题．