2021-2022学年山东省枣庄市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省枣庄市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 平行四边形中，为边的中点，在边上且，则(    )

A.  B.
C.  D. --

3. 抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是”的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 用斜二测画法画一个边长为的正三角形的直观图，则直观图的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在平面直角坐标系中，，，点满足，，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若复数，，，在复平面内对应的点在同一个圆上，则正实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，位评委的打分如下：，，，，，，，，，，则(    )

A. 该组数据的平均数为，众数为
B. 该组数据的第百分位数为
C. 如果再增加一位评委给该班也打分，则该班得分的方差变小
D. 评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数

8. 在中，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 已知，为复数，则(    )

A. 存在唯一的，使
B. 存在唯一的，使
C. 存在唯一的，使
D. 存在唯一的，使

10. 袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个白球、个黑球，从中不放回地依次随机摸出个球，则(    )

A. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件
B. “都是白球”与“都是黑球”是互斥事件
C. “至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件
D. “第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立

11. 设，，，，，，，则(    )

A.  B. 的取值范围是
C. 的最大值是 D. 的最小值是

12. 我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体：如图，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为，若该几何体的所有顶点都在球的表面上，则(    )

A. 正四棱柱和正四棱锥的高均为
B. 正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为
C. 球的表面积为
D. 正四棱锥的侧面、侧棱与其底面所成的角分别为、，则

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 棣莫佛是出生于法国的数学家．由于在数学上成就卓著，他被选为柏林科学院和巴黎科学院的外籍院士．棣莫佛定理为：，这里，若，则______．
14. 轴截面是边长为的正三角形的圆锥的侧面积为______．
15. 高一某班有男生人，女生人，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从该班全体同学中抽取出一个容量为的样本，已知抽出的男生的平均身高为，抽出的女生的平均身高为，估计班全体同学的平均身高是______．
16. 棱长为的正四面体的中心为，是该正四面体表面的点构成的集合，，若集合恰有个元素，则的值为______注：正四面体，是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 在中，，，，是线段的靠近点的三等分点．
    用，表；
    求的长度．
18. 如图，在正三棱柱中，，，为棱的中点．
    证明：平面；
    求与平面所成角的大小．

19. 年月日中国神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功．在太空停留期间，航天员们开展了两次“天宫课堂”，在空间站进行太空授课，极大的激发了广大中学生对航天知识的兴趣．为此，某班组织了一次“航空知识答题竞赛”活动，竞赛规则是：两人一组，两人分别从个题中不放回地依次随机选出个题回答，若两人答对题数合计不少于题，则称这个小组为“优秀小组”现甲乙两位同学报名组成一组，已知个题中甲同学能答对的题有个，乙同学答对每个题的概率均为，并且甲乙两人选题过程及答题结果互不影响．若甲同学选出的两个题均能答对的概率为求：
    ；
    甲乙二人获“优秀小组”的概率．
20. 已知，，分别是三个内角，，的对边，且．
    求；
    若，的面积为，求，．
21. 某学校名学生参加信息技术学分认定考试，用按性别比例分层随机抽样的方法决中抽取了名学生的成绩，记录他们的分数，并将数据分成组：，，，，整理得到如下频率分布直方图：
    
    求图中的值，并估计全校学生中成绩不低于分的学生人数；
    已知样本中分数不低于的男生占样本中全部男生人数的，且样本中分数不低于的男生与女生人数之比为：，求总体中男生人数和女人数之比；
    估计该校名学生成绩的平均值．
22. 斜三棱柱的体积为，侧面侧面，▱的面积为．
    求点到平面的距离；
    如图，为的中点，，，，求二面角的大小．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：平行四边形中，
则，，
为边的中点，在边上且，
，，
．
故选：．
根据已知条件，结合平行四边形的性质，以及向量的线性运算法则，即可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，以及向量的线性运算法则，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：抛掷两枚骰子的基本事件数为：；
抛掷两个骰子的点数之和为的基本事件为：，，，，共种，
所以，
故选：．
分别计算出抛掷的两个骰子的点数之和是的基本事件数，抛掷两枚骰子的基本事件数，即可解出．
本题考查了古典概型的概率计算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图是边长为的正三角形的直观图，

则，为正三角形的高的一半，
即，
则高，
的面积为．
故选：．
根据题意画出图形，结合图形利用斜二测画法规则求出的面积．
本题考查了斜二测画法与应用问题，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，，，设，
，，，
又，，
，，
点的坐标为
故选：．
设，由，，，，建立方程组即可求解．
本题考查平面向量数量积的坐标运算，向量共线的坐标运算，方程思想，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于复数，，，在复平面内对应的点在同一个圆上，
则：，
故，
由于为正实数，
故．
故选：．
直接利用复数的模的相等建立关于的方程，进一步求出的值．
本题考查的知识要点：复数的运算，复数的模，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：对于，这组数据从小到大排列为、、、、、、、、、，
故平均数为，众数为和，中位数为，故A错误；
对于，因为，所以第百分位数为，故B错误；
对于，方差为，
如果再增加一位评委给该班也打分，则平均分不变也为，
此时的方差为，故C正确；
对于：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故D错误．
故选：．
首先将数据从小到大排列，再根据平均数、众数、中位数、方差的定义计算可得．
本题考查了求平均数与方差、百分位数的问题，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，可得，，
则







．
故选：．
由题意利用正弦定理可得，，进而利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可求解．
本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于：因为，所以，
又，所以，此时复数有无数多个，故A错误；
对于：且，所以，故B正确；
对于：且，所以，故C正确；
对于：且，所以，故D正确；
故选：．
根据复数模的性质判断，再根据复数代数形式的运算法则计算，即可判断、、．
本题考查复数的模，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个白球、个黑球，从中不放回地依次随机摸出个球，
对于，“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
对于，“都是白球”与“都是黑球”不能同时发生，是互斥事件，故B正确；
对于，至少有一个白球”与“都是黑球”既不能同时发生，又不能同时不发生，是对立事件，故C正确；
对于，“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互间有影响，不是相互独立事件，故D错误．
故选：．
利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义直接判断．
本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，，，，，，
，即，故A正确，
，当，，都同向时，的长度最大为，
当，同向，且与方向相反时，的长度最小为，即的取值范围是，故B正确，
，
则当，同向，且与同向时，最小为，故D正确，
当，同向，且与反向时，最大为，故C错误，
故选：．
根据向量的基本运算以及向量数量积的定义分别进行计算判断即可．
本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量的基本运算以及向量数量积的运算性质进行判断是解决本题的关键，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设正四棱柱和正四棱锥的高均为，
根据对称性可知：该几何体的外接球的球心为正四棱柱的体心，
球的直径即为正四棱柱的体对角线，
且正四棱柱的体心到正四棱锥的顶点的距离，
根据正四棱柱的体对角线公式得，
，，
所求球的表面积为，故C正确，
，即正四棱柱和正四棱锥的高均为，故A错误，
，，，
则四棱锥的侧面积为，
四棱柱的侧面积，四棱柱的底面积为，则几何体的表面积为，故B正确，
是侧面和底面所成的角，则，
是侧棱和底面所成的角，则，
，，即成立，故D错误，
故选：．
根据几何体的所有顶点都在球的表面上，先求出球的半径，然后分别进行判断即可．
本题主要考查空间几何体与外接球的关系，根据条件求出球的半径是解决本题的关键，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，，
，又，．
故答案为：．
由已知结合棣莫弗定理列式求得值．
本题考查棣莫弗定理的应用，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆锥的轴截面是边长为的正三角形，
则该圆锥的底面圆半径为，母线长为；
它的侧面积为．
故答案为：．
由题意知圆锥的底面圆半径和母线长，计算它的侧面积即可．
本题考查了圆锥的侧面积公式应用问题，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：高一某班有男生人，女生人，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从该班全体同学中抽取出一个容量为的样本，
抽出的男生的平均身高为，抽出的女生的平均身高为，
估计班全体同学的平均身高为，
故答案为：．
由题意，利用分层抽样的定义，求平均数的方法，求得结果．
本题主要考查分层抽样，求平均数的方法，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可知，此时为该正四面体的内切球半径，
如图，记点在底面的投影为，
由正四面体的性质可知，为的外心，由正弦定理得，
所以，
因为，
所以，即，

故答案为：．
根据题意知此时为该正四面体的内切球半径，然后利用等体积法可得．
本题考查球内接正四面体，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：是线段的靠近点的三等分点，
．
，，，
，
． 

【解析】根据已知条件，结合向量的线性运算法则，即可求解．
根据已知条件，结合的结论，以及平面向量的数量积公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，以及向量的线性运算，属于基础题．
 

18.【答案】证明：在平行四边形中，可得为的中点．又因为为棱的中点，
所以为的中位线，所以．
又平面，平面，所以平面D.

解：因为为等边三角形，
又为棱的中点，所以．
因为三棱柱为正棱柱，所以平面．
又平面，所以．
又平面，平面，
所以平面C.所以即为与平面所成的角．
在中，．
在中，．
在中，，
所以所以与平面所成角的大小为． 

【解析】证明，原题即得证；
证明即为与平面所成的角，解三角形求出即得解．
本题考查线面角，考查学生的推理运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：从个题中不放回地依次随机选出个题，共有个样本点，
由古典概型的概率公式可得．
解得或舍，
故的值为．
设表示“甲答对的题数为”，表示“乙答对的题数为“，
表示”甲、乙两人获得优秀小组“，
由古典概型得：
，，
由事件的独立性，，
由题意，
而事件，，两两互斥，事件与相互独立，


． 

【解析】计算出样本点的总数，结合古典概型的概率计算公式能求出的值；
设表示“甲答对的题数为”，表示“乙答对的题数为“，表示”甲、乙两人获得优秀小组“，利用独立事件和互斥事件的概率公式能求出的值．
本题考查古典概型、互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

20.【答案】解：，
由正弦定理可得，
，
，
，又，
，
，将其代入中整理可得：
，
，
，又，
；
由知，又，的面积为，
，
，
，
，
． 

【解析】根据正弦定理及两角和的三角函数公式，将转化成角的方程，再解方程即可求解．
将，，的面积为转化成，的方程组，再解方程即可得解．
本题考查正弦定理，余弦定理，两角和的三角函数公式，三角形的面积公式，方程思想，属中档题．
 

21.【答案】解：由频率分布直方图得：
，
解得．
估计全校学生中成绩不低于分的学生人数为：
人．
样本中分数不低于分的人数为：
人，
样本中分数不低于的男生与女生人数之比为：，
样本中分数不低于的男生人数为人，
样本中分数不低于的男生占样本中全部男生人数的，
样本中分数不低于的男生人数为人，
样本是用按性别比例分层随机抽样的方法抽取的，
总体中男生人数和女人数之比为：：：．
估计该校名学生成绩的平均值为：
． 

【解析】由频率分布直方图列方程能求出，由此能估计全校学生中成绩不低于分的学生人数．
样本中分数不低于分的人数为人，从而求出样本中分数不低于的男生人数为人，进而求出样本中分数不低于的男生人数人，由此能求出总体中男生人数和女人数之比．
利用频率分布直方图能估计该校名学生成绩的平均值．
本题考查频率、频数、分层抽样、平均数、频率分布直方图性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
 

22.【答案】解：设点到平面的距离为．
因为，
所以，解得，
即点到平面的距离为；
因为，由，可得平面，
所以，
过点作于，连接，

又，所以平面，所以，
因此即为二面角的平面角，
在中，因为为的中点，，
，所以，即，
因为侧面侧面，侧面侧面，
，侧面，所以侧面，
所以，，
又，，
所以平面所以，
在等腰中，，
在矩形中，，所以，
在中，，
在等腰中，，
在中，，
所以，
在中，，
所以，
所以二面角的大小为． 

【解析】三棱柱体积是三棱锥体积的三倍，利用棱锥体积公式即可．
过点作于，连接，则即为二面角的平面角．求出、即可．
本题考查了锥体体积的计算，二面角的作法与计算，属于中档题．